Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Industrial. Grado en Ing. en Tecnolog´ıas Industriales
Examen de C´alculo. Jueves 17 de Septiembre de 2015. Curso 2014/2015
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Problema 1. Da, si es posible, ejemplos de: a) una sucesi´on con l´ımite un n´umero, b) una con l´ımite ∞,
c) una con l´ımite −∞, d) una sucesi´on sin l´ımite en ning´un sentido y e) una sucesi´on creciente y acotada
sin l´ımite.
Problema 2. Hal la la descomposici´on real y compleja del polinomio x4−81.
Problema 3. Define que se entiende por infinit´esimo y por infinit´esimos equivalentes en un punto. Da, si
es posible, infinit´esimos equivalentes a sen(x)y a cos(x)en el punto x= 0.
Problema 4. De una funci´on derivable, creciente y no polin´omica, se sabe que en 0vale a, en 1vale by
en 2vale c. Estima num´ericamente la integral de la funci´on entre 0y2y las derivadas en los puntos 0,1
y2.
Problema 5. Calcula el polinomio de Taylor de orden 2en el punto 0de la funci´on f(x) = ex2+x+1.
Calcula los polinomios de todos los ´ordenes de g(x) = 1
1+x2.
Problema 6. Calcula el coeficiente de sen(2x)en el desarrollo de Fourier de la funci´on peri´odica de
periodo 2πdada por f(x) = xen el intervalo [−π, π ].
Problema 7. Calcula el intervalo de convergencia y la suma en dicho intervalo de la serie
∞
X
n=2
xn
n!.
Problema 8. Sea f(x, y)=(e2x+y, x +xy +y2). Calcula df(0,0)y eval´uala en el punto (1,2).
Problema 9. Calcula el plano tangente en el punto (1,1,1) a la superficie de ecuaci´on z2= 4 −3xy.
Problema 10. Hal la los extremos absolutos de f(x, y) = x2−y2en el disco unidad x2+y2≤1.