bloque 1 psicometria, Apuntes de Psicometría

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Grado en Psicología

Psicometría, grupos C y E, curso 2015/

Esquemas: Teoría Clásica de los

Tests (TCT) y Teoría de la

Generalizabilidad (TG)

Teoría Clásica de los Tests (TCT): Contenidos

1. El modelo débil de la puntuación verdadera de un sujeto en tests (Spearman): Expresión, componentes y algunas consecuencias. El coeficiente de fiabilidad como expresión de la precisión de las medidas.
2. Medidas paralelas: Definición y consecuencias. La estimación empírica del coeficiente de fiabilidad.
3. La consistencia interna como aproximación a la fiabilidad/precisión.
4. La estimación de la puntuación verdadera de un sujeto en un test.
5. Comparación de puntuaciones.
6. Análisis de los ítems de un test.
7. Un apéndice: Valoración de la velocidad de ejecución de los sujetos.
8. Extensiones del modelo de Spearman: la Teoría de la Generalizabilidad (TG). Conceptos y términos básicos. Un ejemplo.

El modelo de medida en la Teoría Clásica de los Tests (TCT):

modelo débil de la puntuación verdadera (Spearman)

Xj = Vj + εj Xj : puntuación empírica (directa) del sujeto j en el test X. Habitualmente, se obtiene sumando las puntuaciones del sujeto en los n ítems del test, Xj=∑ i= n xij. Vj : puntuación verdadera del sujeto j en la variable que se pretende medir a través del test X, Vj=E(Xj). εj : error asociado a toda puntuación de un sujeto en un test. Es de carácter aleatorio (supuesto principal del modelo):  E(εj)=0.  ρVj,εj=0^ ⟷^ σVj,εj=0^ ⟷^ E(Vj,εj)-E(Vj)E(εj)=0^ ⟷^ E(Vj,εj)=0.  ρεj,εk=0^ ⟷^ σεj,εk=0^ ⟷^ E(εj,εk)-E(εj)E(εk)=0^ ⟷^ E(εj,εk)=0.

Algunas consecuencias del modelo de Spearman y la

(im)precisión de las medidas (I)

Además, se asume que: Xj → N(μx,σx 2 ) Vj → N(μv,σv 2 ) εj → N(με,σε 2 ) => εj → N(0,σε 2 ) Por tanto, en principio, la (im)precisión de las medidas se puede cuantificar colectivamente (para toda la población) en términos del error cuadrático medio, σε 2 (o de su raíz cuadrada positiva, el error típico de medida, σε ). [problema: calcular σε 2 ].

El concepto de medidas paralelas y el cálculo de la

varianza de las puntuaciones verdaderas

Dos (o más) medidas, X y X, se dice que son paralelas si miden lo mismo y con la misma precisión: Xj = Vj + εj | son paralelas si y solo si: Xj = Vj + εj | Vj = Vj y σε 2 = σε 2 . Entonces, como consecuencia: μx = μx. σx 2 = σx 2 . σxx = σv 2*

. [primera solución al problema de calcular σv 2 ] ρxv 2 = σv 2 /σx 2 = σxx/σx 2 = σxx/σxσx* = ρxx, coeficiente de fiabilidad* de las medidas. [primera solución al problema de calcular ρxx* ] σε 2 = σx 2 (1-ρxx)*. [primera solución al problema de calcular σε 2 ]

El coeficiente de fiabilidad como principal indicador de

precisión en la TCT: procedimientos de cálculo

Dos tests paralelos: ρxx = σv 2 /σx 2 = σxx/σx 2 = σxx/σx 2 = σxx/σxσx. Test-retest : ρxx = σv 2 /σx 2 = σxx/σx 2 = σxx/σx 2 = σxx/σxσx. Dos mitades paralelas, XA y XB [X(n)=XA(n/2)+XB(n/2)]: VA=VB y σεA 2 = σεB 2 . Se comprueba que: σx 2 = 2σxA 2 (1+ρxAxB) ; σv 2 = 4σvA 2 ; σε 2 = 2σεA 2 . Entonces: 3.1. ρxx = σv 2 /σx 2 = 4σvA 2 /σx 2 = 4 σxAxB/σx 2 . 3.2. ρxx = σv 2 /σx 2 = 4σvA 2 /2σxA 2 (1+ρxAxB) = 2 ρxAxB/(1+ρxAxB). ecuación de Spearman-Brown 3.3. ρxx =* σv 2 /σx 2 = 4σvA 2 /σx 2 = 4σxAxB/σx 2 = 2[1-(σxA 2 +σxB 2 )/σx 2 ]. ecuación de Guttman-Flanagan 3.4. ρxx =* σv 2 /σx 2 = 4σvA 2 /σx 2 = 4σxAxB/σx 2 = 1-σD 2 /σx 2 , D=XA-XB. ecuación de Rulon

Variaciones sobre la consistencia interna como

indicador, indirecto y aproximado, de la fiabilidad (I)

Si el test está formado por n ítems dicotómicos : (1) α ≡ KR20 = [n/(n-1)][1-∑ i= n piqi /σx 2 ] , pi: proporción de sujetos que responden correctamente el ítem i; qi=1-pi. Si además pi es igual para todos los ítems : (2) α ≡ KR21 = [n/(n-1)][1-(μx-(μx 2 /n))/σx 2 ].

Variaciones sobre la consistencia interna como

indicador, indirecto y aproximado, de la fiabilidad (II)

Otros indicadores: (3) L 1 = 1-∑ i= n σi 2 /σx 2 . (4) L 2 = 1-∑ i= n σi 2 /σx 2 +√[n∑ i= n ∑ h= n σih(i≠h)/(n-1)]/σx 2 . [L 1 < L 3 ≡α < L 2 , han sido todos desarrollados por Guttman] (5) ρn 2 = 1-MCPI/MCP , [correlación intraclase] [Hoyt, modelo ANOVA, un factor, medidas repetidas, efectos aleatorios] [Gulliksen: ρn 2 ≡L 3 ≡α] MCPI: media cuadrática interacción sujetosxítems (residual), MCP: media cuadrática inter sujetos.

Variabilidad y coeficiente de fiabilidad

Población 1: medidas X 1 [μX1; σX 2 ; ρX1X1…-todo conocido-] Población 2: medidas X 2 [μX2; σX 2 ; ρX2X2…-ρX2X2* desconocido-] Partiendo del presupuesto de que σε 1 2 = σε 2 2 , entonces: ρX2X2 = 1-(σX 2 /σX 2 )(1-ρX1X1). Problema inverso : σX 2 = σX 2 (1-ρX1X1)/(1-ρX2X2)

Longitud del test y coeficiente de fiabilidad

Situación 1: medidas X → nº de ítems=n; μX; σX 2 =σV 2 +σε 2 ; ρXX… Situación 2: medidas (kX) → nº de ítems=n+Δn; μkX; σkX 2 =σkV 2 +σkε 2 ; ρk(XX)… k = (n+Δn)/n , proporción en que se modifica la longitud del test Se comprueba que: σkX 2 = kσx 2 [1+(k-1)ρxx]* ; σkV 2 = k 2 σv 2 ; σkε 2 = kσε 2 , y σkX 2 =σkV 2 +σkε 2 Entonces: ρk(XX) =* σkV 2 /σkX 2 = k 2 σV 2 /(kσx 2 [1+(k-1)ρxx]) = kρxx/[1+(k-1)ρxx]* ecuación (general) de Spearman-Brown Problema inverso : k = ρk(1-ρXX)/ρXX(1-ρk)**

Comparaciones de puntuaciones: el problema

Comparar dos puntuaciones empíricas, XA y XB, quiere decir valorar si la relación que se observa entre ellas (=, > o <) se puede extrapolar a las puntuaciones verdaderas correspondientes, VA y VB. Se trata de valorar, con un determinado criterio probabilístico, si la diferencia entre XA y XB es suficientemente grande (estadísticamente significativa), y entonces es reflejo de una verdadera diferencia entre VA y VB, o si, por el contrario, no es suficientemente grande (estadísticamente significativa) y, por tanto, se puede atribuir a efectos aleatorios. El asunto equivale a un problema de inferencia estadística en el que a partir de estimaciones muestrales , XA y XB, se intenta conocer el estado de las cosas en referencia a los correspondientes parámetros ( poblacionales ), VA y VB.

Comparación de puntuaciones: el planteamiento

Procedimiento general: XA≠XB (lo observado) inferencia VA≠VB (lo que se desea saber) Se expresan XA y XB en una escala común, XA→CA y XB→CB. Se calcula la diferencia, expresándola de una forma convenientemente interpretable (estandarizada): RC = d/σd = (CA-CB)/[σC√(2-ρAA-ρBB)] → N(μC,σC 2 ) En la práctica, habitualmente: CA≡zA=(XA-μA)/σA, CB≡zB=(XB-μB)/σB, y RC = d/σd = (zA-zB)/√(2-ρAA-ρBB) → N(0,1)** Cuando XA y XB están expresadas en una escala común desde un principio ( un mismo test o dos tests paralelos ), se puede simplificar : RC = d/σd = (XA-XB)/(σε√2) → N(0,1)

Comparación de puntuaciones: la interpretación.

Caso 1: problema V

A

≠V

B

(continuación)

(3) Se calcula la diferencia interpretable , RC → N(0,1) [a los efectos, es una puntuación típica, z] (4) Se sítúa RC en relación con la partición de la superficie bajo la curva normal anteriormente descrita:

- si RC ≤ zα/2 → se rechaza H 0 : la diferencia es suficientemente grande **(estadísticamente significativa).

• si RC ≥ z1-α/2 → se rechaza H 0 : la diferencia es** suficientemente grande (estadísticamente significativa). Esto significa que las puntuaciones VA y VB son verdaderamente distintas (como parecen indicar los datos: XA≠XB). - si zα/2 < RC < z1-α/2 → NO se rechaza H 0 : la diferencia NO es suficientemente grande (estadísticamente significativa). Esto significa que las puntuaciones VA y VB NO son verdaderamente distintas (las apariencias, XA≠XB, engañan).

Comparación de puntuaciones: la interpretación.

Caso 2: problema V

A

>V

B Se observa que XA>XB inferencia H 1 : VA>VB; H 0 : VA≤VB. (mútuamente excluyentes y exhaustivas) (1) Se establece el nivel de confianza , 1-α: probabilidad de rechazar H 0 cuando NO es verdadera. Su complementario, α, es el nivel de riesgo. (2) Se buscan en la tabla de la distribución z→N(0,1) el valor z1-α, que divide la superficie bajo la curva en dos regiones mútuamente excluyentes y exhaustivas:

• la región de valores de z suficientemente grandes (con signo positivo) , cuya cota inferior es z1-α, y
• la región de valores de z que NO son suficientemente grandes , cuyo límite superior es z1-α.