¡Descarga Calcul de derivades y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Càlcul de derivades
Matemàtiques I
Curs 2017 - 18
En els apunts teniu algunes d’estes derivades i més. Estudieu les derivades
dels apunts abans d’intentar fer les propostes en la col·lecció.
Les explicacions que apareixen al llarg d’esta col·lecció no substituïxen les
explicacions de classe, les complementen o insistixen en alguns punts.
Alguns conceptes bàsics
Donada una funció vectorial
𝑓
𝑛
𝑚
la funció derivada parcial de 𝑓 respecte a la variable 𝑥
𝑖
és
𝑖
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖
𝑛
𝑚
𝑖
l’existència i càlcul de la qual hem vist en el tema 3.
Note’s que, donada una funció vectorial, el que col·loquialment anomenem
"la seua parcial respecte a 𝑥 𝑖
" és una funció el nom complet de la qual és
"funció derivada parcial de 𝑓 respecte a la variable 𝑥
𝑖
Ja que la derivada parcial de 𝑓 respecte a 𝑥
𝑖
és una funció, qualsevol problema
que pugam plantejar sobre una funció, el podem plantejar sobre una
derivada. En particular, com en el tema 2, podem preguntar-nos sobre el nom
de la funció, el nom de les variables, l’expressió funcional o analítica, l’espai
inicial, l’espai final, el domini i el càlcul de la funció derivada en un punt.
També podem classificar-la segons l’espai inicial i final o segons l’expressió
funcional. A més, podem operar amb altres funcions, preguntar-nos sobre la
seua homogeneïtat, sobre les seues corbes de nivell, etc. En particular, la
funció derivada es pot derivar. Aleshores apareixen les derivades d’ordre
superior, que també són funcions, per descomptat, i sobre les quals podem
repetir el raonament anterior.
Observació 1: Com estes consideracions són per a funcions vectorials, també
s’apliquen a funcions escalars i funcions reals de variable real. En este últim
cas, com només hi ha una variable es parla simplement de “la funció
derivada” i es representa
𝑑𝑓
𝑑𝑥
Observació 2: En esta col·lecció tractarem les preguntes anteriors per a punts
interiors del domini. Per als mateixos problemes sobre punts frontera, vore
Tema 3 i “Continuïtat, derivabilitat i diferenciabilitat.”
EXEMPLE
Considerem la funció 𝑔(𝑧) = 𝑧
3
Per a la funció derivada de 𝑔, respon:
a) Nom de la funció. El nom de la funció derivada és
𝑑𝑔
𝑑𝑧
b) Nom de la variable. El nom de la variable és 𝑧.
c) Expressió funcional o analítica. L’expressió funcional en els punts interiors
del domini es calcula per mitjà de les regles de derivació. En este cas, és 3 𝑧
2
Per tant, la funció derivada és
𝑑𝑔
𝑑𝑧
2
d) Espai inicial. L’espai inicial és ℝ perquè la funció derivada té una variable.
També es podria justificar com: L’espai inicial és ℝ perquè, per definició, una
funció i la seua funció derivada tenen el mateix espai inicial i 𝑔 té una variable.
Esta última justificació és especialment útil si no hem calculat, ni necessitem
calcular, la funció derivada.
e) Espai final. L’espai final és ℝ perquè l’expressió funcional de la funció
derivada té una coordenada. També es podria justificar com: L’espai final és
ℝ perquè, per definició, una funció i la seua funció derivada tenen el mateix
espai final i l’expressió funcional de 𝑔 té una coordenada. Esta última
justificació és especialment útil si no hem calculat, ni necessitem calcular, la
funció derivada.
Per tant, tenim que
𝑑𝑔
𝑑𝑧
𝑑𝑧
2
f) Domini. Per a calcular el domini, hem de tindre en compte que, en general,
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖
𝑓
𝑛
(no es pot derivar el que no existeix). Pot ocórrer que 𝐷 𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖
= ∅, i
en este cas es diu que la funció 𝑓 no és derivable. Per això, per a calcular el
domini d’una funció derivada, estudiarem les condicions d’existència de la
funció que estem derivant i les condiciones d’existència de la seua funció
derivada.
En este cas, la funció 𝑔 existeix en tot el seu espai inicial perquè és un
polinomi. La funció derivada existeix en tot el seu espai inicial perquè és un
polinomi. Per tant, 𝐷𝑑𝑔
𝑑𝑧
EXEMPLE
Considerem la funció ℎ
3
Per a la funció derivada parcial de ℎ respecte 𝑣, respon:
a) Nom de la funció. El nom de la funció derivada parcial de ℎ respecte 𝑣 és
𝜕ℎ
𝜕𝑣
b) Nom de les variables. Els noms de les variables són 𝑢, 𝑣.
c) Expressió funcional o analítica. L’expressió funcional en els punts interiors
del domini es calcula per mitjà de les regles de derivació. En este cas, és
𝑢
𝑣
Per tant, la funció derivada parcial és
𝜕ℎ
𝜕𝑣
𝑢
𝑣
d) Espai inicial. L’espai inicial és ℝ
2
perquè la funció derivada parcial té dos
variables. També es podria justificar com: L’espai inicial és ℝ
2
perquè, per
definició, una funció i la seua funció derivada parcial tenen el mateix espai
inicial i ℎ té dos variables. Esta última justificació és especialment útil si no
hem calculat, ni necessitem calcular, la funció derivada parcial.
e) Espai final. L’espai final és ℝ perquè l’expressió funcional de la funció
derivada parcial té una coordenada. També es podria justificar com: L’espai
final és ℝ perquè, per definició, una funció i la seua funció derivada parcial
tenen el mateix espai final i l’expressió funcional de ℎ té una coordenada.
Esta última justificació és especialment útil si no hem calculat, ni necessitem
calcular, la funció derivada parcial.
Per tant, tenim que
𝜕ℎ
𝜕𝑣
𝜕𝑣
2
𝑢
𝑣
f) Domini. Per a calcular el domini, hem de tindre en compte que, en general,
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖
𝑓
𝑛
(no es pot derivar el que no existeix). Pot ocórrer que 𝐷 𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑖
= ∅, i
en este cas es diu que la funció 𝑓 no és derivable. Per això, per a calcular el
domini d’una funció derivada, estudiarem les condiciones d’existència de la
funció que estem derivant i les condiciones d’existència de la seua funció
derivada parcial.
En este cas, la funció ℎ existeix quan 𝑣 > 0 perquè: el primer sumand existeix
sempre perquè és un polinomi, el segon sumand és un producte en el qual el
primer factor existeix sempre perquè és un polinomi i el segon factor és un
logaritme neperià que existeix quan el seu argument existeix (sempre,
perquè és un polinomi) i és major que zero. La funció derivada parcial és un
quocient: els seus numerador i denominador existeixen perquè són polinomis
i el denominador és distint de zero si 𝑣 ≠ 0. Per tant, la funció derivada parcial
de ℎ respecte a 𝑣 existirà si 𝑣 > 0 , 𝑣 ≠ 0. Com la segona condició és redundant,
tenim que
𝜕ℎ
𝜕𝑣
2
Note’s que si només tinguérem en compte l’expressió funcional de
𝜕ℎ
𝜕𝑣
𝑢
𝑣
, i no la de ℎ(𝑢, 𝑣) = 𝑢
3
- 𝑢 ln 𝑣, haguérem calculat 𝐷 𝜕ℎ
𝜕𝑣
2
|𝑣 ≠ 0 } i
haguera sigut incorrecte.
g) Calcula la funció derivada en els punts ( 1 , − 1 ) i ( 0 , 1 ). Com, en general, 𝐷 𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖
𝑓
, primer hem de assegurar-nos de que la funció que estem derivant existeix
en el punt. Hi ha dos formes de resoldre esta qüestió:
- Si tenim el domini de la funció que estem derivant o el de la funció
derivada calculat, comprovem si el punt pertany al domini.
- Si no tenim el domini calculat, comprovem antes de la substitució que
la funció que estem derivant existeix en el punt.
Punt ( 1 , − 1 ). Comprovem si − 1 > 0. com no és així, ( 1 , − 1 ) ∉ 𝐷 𝜕ℎ
𝜕𝑣
2
|𝑣 > 0 } i, per tant, no existeix
𝜕ℎ
𝜕𝑣
Nota 1: Observe’s que si substituïm directament
𝜕ℎ
𝜕𝑣
1
− 1
= − 1 i arribem
a una conclusió errònia.
Nota 2: Si no haguérem calculat el domini, podríem haver resolt el problema
de la manera següent: calculem ℎ
3
, que no existeix
perquè l’argument del logaritme és negatiu. Si la funció ℎ no existeix en el
punt ( 1 , − 1 ), les seues derivades parcials tampoc.
Punt ( 0 , 1 ). Comprovem si 1 > 0. com sí és així, ( 0 , 1 ) ∈ 𝐷 𝜕ℎ
𝜕𝑣
2
y, per tant
Nota: Si no haguérem calculat el domini, podríem haver resolt el problema
de la manera següent: calculem ℎ
3
- 0 ∙ ln 1 = 0. com la funció ℎ
existeix en el punt ( 0 , 1 ) podem continuar i obtenim
h) Classificació segons l’espai inicial i final. La funció derivada de ℎ respecte
a 𝑣,
𝜕ℎ
𝜕𝑣
, és una funció escalar. També és vectorial si considerem 𝑚 = 1 (esta
inicial i 𝑓 té dos variables. Esta última justificació és especialment útil si no
hem calculat, ni necessitem calcular, la funció derivada parcial.
e) Espai final. L’espai final és ℝ
3
perquè l’expressió funcional de la funció
derivada parcial té tres coordenades. També es podria justificar com: L’espai
final és ℝ
3
perquè, per definició, una funció i la seua funció derivada parcial
tenen el mateix espai final i l’expressió funcional de 𝑓 té tres coordenades.
Esta última justificació és especialment útil si no hem calculat, ni necessitem
calcular, la funció derivada parcial.
Per tant, tenim que
𝜕𝑓
𝜕𝑎
𝜕𝑓
𝜕𝑎
2
3
f) Domini. Per a calcular el domini, hem de tindre en compte que, en general,
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖
𝑓
𝑛
(no es pot derivar el que no existeix). Pot ocórrer que 𝐷 𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖
= ∅,
en este cas es diu que la funció 𝑓 no és derivable. Per això, per a calcular el
domini d’una funció derivada parcial, estudiarem les condiciones d’existència
de la funció que estem derivant i les condiciones d’existència de la seua funció
derivada parcial.
En este cas, la funció 𝑓 existeix en tot el seu espai inicial perquè les tres
coordenades existeixen sempre per ser polinomis. Com ocorre el mateix amb
la seua derivada parcial, tenim que 𝐷 𝜕𝑓
𝜕𝑎
2
g) Calcula la funció derivada parcial en el punt ( 0 , 1 ). Com, en general, 𝐷 𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖
𝑓
, primer hem de assegurar-nos de que la funció que estem derivant existeix
en el punt. Hi ha dos formes de resoldre esta qüestió:
- Si tenim el domini de la funció que estem derivant o el de la funció
derivada calculat, comprovem ( 0 , 1 ) ∈ 𝐷 𝜕𝑓
𝜕𝑎
2
- Si no tenim el domini calculat, comprovem antes de la substitució que
la funció que estem derivant existeix 𝑓( 0 , 1 ) = ( 0
2
2
2
2
Aleshores
h) Classificació segons l’espai inicial i final. La funció
𝜕𝑓
𝜕𝑎
és una funció vectorial
(esta pregunta també es pot respondre si no hem calculat, ni necessitem
calcular, la funció derivada – vore els apartats d’espai inicial i espai final).
i) Classificació de cada coordenada segons la “forma” de l’expressió funcional.
La funció derivada és
𝜕𝑓
𝜕𝑎
(𝑎, 𝑏) = ( 2 𝑎, 0 , 2 𝑎). La primera coordenada
𝜕𝑓 1
𝜕𝑎
és funció
escalar per funció, la segona coordenada
𝜕𝑓
2
𝜕𝑎
és una funció constant composta
i la tercera coordenada
𝜕𝑓
3
𝜕𝑎
és funció escalar per funció.
j) Calcula la seua derivada respecte a 𝑎. La derivada d’una funció derivada
s’anomena derivada de segon ordre. En este cas
2
2
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑎
2
es llig "derivada parcial de segon ordre de 𝑓 respecte a 𝑎 dos voltes."
Nota: Observe’s que la derivada de segon ordre també és una funció.
EXEMPLE
Considerem la funció 𝑙
2
a) Calcula
𝑑
3
𝑙
𝑑𝑡
3
i classifica-la.
𝑑
3
𝑙
𝑑𝑡
3
es llig "derivada de tercer ordre de 𝑙 respecte a 𝑡 tres voltes" o, com és una
funció amb una variable, simplement “tercera derivada de 𝑙.”
2
2 − 1
2
2
3
3
3
3
𝑑
3
𝑙
𝑑𝑡
3
Segons l’espai inicial i final,
𝑑
3
𝑙
𝑑𝑡
3
és una funció real de variable real. També és
escalar amb 𝑛 = 1 i vectorial amb 𝑛 = 𝑚 = 1.
Segons l’expressió funcional,
𝑑
3
𝑙
𝑑𝑡
3
és una funció constant elemental.
La funció
𝑑
2
𝑇
𝑑𝑎
2
és una funció quocient que existeix si el numerador existeix
(sempre, perquè és un polinomi), el denominador existeix (sempre, perquè
és un polinomi) i és distint de zero (el denominador val zero si (𝑎
2
2
2
Aleshores
𝑑
2
𝑇
𝑑𝑎
2
existeix si
𝑎
𝑎− 1
> 0 , 𝑎 ≠ 1 , 𝑎 ≠ 0 , 𝑎 ≠ 1 , 𝑎 ≠ 0 , 𝑎 ≠ 1. Eliminant les
condicions repetides i les condiciones redundants, obtenim que
𝑑
2
𝑇
𝑑𝑎
2
=] − ∞, 0
[
]
1 , +∞[
Note’s que si només tinguérem en compte l’expressió funcional de
𝑑
2
𝑇
𝑑𝑎
2
, i no
les de 𝑇(𝑎) i
𝑑𝑇
𝑑𝑎
(𝑎), haguérem escrit 𝐷
𝑑
2
𝑇
𝑑𝑎
2
= {𝑎 ∈ ℝ| 𝑎 ≠ 0 , 𝑎 ≠ 1 } i el resultat
haguera sigut incorrecte.
EXEMPLE
Considerem la funció 𝑘(𝑎, 𝑏) = 𝑎
2
3
a) Escriu formalment "derivada parcial de tercer ordre de la funció 𝑘 respecte
a 𝑎 dos voltes i respecte a 𝑏"
3
2
b) Escriu verbalment
𝜕
4
𝑘
𝜕𝑎𝜕𝑏
2
𝜕𝑎
Derivada parcial de quart ordre de la funció 𝑘 respecte a 𝑎, respecte a 𝑏 dos
voltes i respecte a 𝑎.
c) Calcula
𝜕
2
𝑘
𝜕𝑎𝜕𝑏
Calculem primer la funció derivada de segon ordre.
3
− sen
3
− 𝑏 sen
2
2
− [ 1 ∙ sen(𝑎𝑏) + 𝑏(cos(𝑎𝑏)) 𝑎] = 6 𝑎𝑏
2
− sen(𝑎𝑏) − 𝑎𝑏 cos(𝑎𝑏)
Calculem la funció derivada en el punt ( 1 , 0 ). Primero hem de comprovar que
existeix 𝑘
= 1 i
𝜕𝑘
𝜕𝑎
2
2
− sen
− 1 ∙ 0 ∙ cos
Funció derivada (nom, variables, expressió analítica)
C1, pàgina 15, 3
a)
𝑑𝐹
𝑑𝑥
1
2
2
−
1
2
− 1
𝑥+ 1
√(𝑥
2
3
b)
𝑑𝐹
𝑑𝑥
( 0 −(− 1 )𝑥
− 1 − 1
)( 1 −𝑥)−( 1 −𝑥
− 1
)( 0 − 1 )
( 1 −𝑥)
2
𝑥
− 2
− 2 𝑥
− 1
( 1 −𝑥)
2
c)
𝑑𝐹
𝑑𝑥
2 𝑥
𝑥
2
− 4
2
2 𝑥
𝑥
2
𝑥(𝑥
2
− 4 )
d)
𝑑𝐹
𝑑𝑥
1 (𝑥
2
1
2
−𝑥(
1
2
)(𝑥
2
1
2
− 1
( 2 𝑥+ 2 )
(√𝑥
2
2
𝑥
√(𝑥
2
3
e)
𝑑𝐹
𝑑𝑥
1 (𝑥− 1 )−(𝑥+ 1 ) 1
(𝑥− 1 )
2
𝑥+ 1
𝑥− 1 = −
2
(𝑥− 1 )
2
𝑥+ 1
𝑥− 1
f)
𝑑𝐹
𝑑𝑥
= 2 sen
2 − 1
2
cos
2
= 16 𝑥sen
2
cos
2
g)
𝑑𝐹
𝑑𝑥
𝑥
2
ln 3
h)
𝑑𝐹
𝑑𝑥
1
2
1
2
− 1
1
2
−
1
2
− 1
−
1
2 − 𝑥
−
3
2
i)
𝑑𝐹
𝑑𝑥
2
− 1 − 1
2 − 1
4 𝑥
( 4 −𝑥
2
)
2
C2, pàgina 17, 1
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2 − 1
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2
2
𝜕𝑓
𝜕𝑧
3 − 1
2
𝜕𝑝
𝜕𝑞
= 1 · cos𝑟 + 𝑟
5
1
𝑞
= cos𝑟 +
𝑟
5
𝑞
𝜕𝑝
𝜕𝑟
−sen 𝑟
5 − 1
ln 𝑞 = −𝑞 sen 𝑟 + 5 𝑟
4
ln 𝑞
𝜕ℎ
𝜕𝑢
4 − 1
2 𝑢−𝑣
3
4
2 𝑢−𝑣
3
3
2 𝑢−𝑣
3
4
2 𝑢−𝑣
3
𝜕ℎ
𝜕𝑣
4
3 − 1
2 𝑢−𝑣
3
4
2
2 𝑢−𝑣
3
𝜕ℎ
𝜕𝑤
𝑤
𝑤
ln 2 = 2
𝑤
𝑤
ln 2
𝜕𝑅
𝜕𝑎
1
5
(ln(𝑎
5
3
1
5
− 1
5
𝑎
1
𝑎
√ ln
4
(𝑎
5
√ 𝑏𝑐
3
)
5
𝜕𝑅
𝜕𝑏
1
5
(ln(𝑎
5
3
1
5
− 1
1
2 𝑏
1
10 𝑏
√ ln
4
(𝑎
5
√𝑏𝑐
3
)
5
𝜕𝑅
𝜕𝑐
1
5
(ln(𝑎
5
3
1
5
− 1
3
2 𝑐
3
10 𝑐
√ ln
4
(𝑎
5
√𝑏𝑐
3
)
5
𝜕𝑞
𝜕𝑢
(𝑢, 𝑣, 𝑤) = 5 ln
5 − 1
1
𝑢
√
𝑣
7
3
3
𝑤
5 ln
4
𝑢
𝑢
√
𝑣
7
3
3
𝑤
𝜕𝑞
𝜕𝑣
ln
5
1
7
1
7
− 1
√𝑣
7
3
3
𝑤
ln
5
𝑒
√
𝑣
7
7 √𝑣
6
7
3
3
𝑤
𝜕𝑞
𝜕𝑤
( 𝑢, 𝑣, 𝑤
)
( ln
5
𝑢
) 𝑒
√𝑣
7
( 3 𝑤
3 − 1
− 3 (− 1 )𝑤
− 1 − 1
)
( ln
5
𝑢
) 𝑒
√𝑣
7
( 3 𝑤
2
3
𝑤
2
)
13. és més fàcil si operem primer amb la funció 𝐹
−𝑀+𝑁
𝑀
3
𝑁+𝑀𝑁
3
𝜕𝐹
𝜕𝑀
( − 1 + 0
) (𝑀
3
𝑁+𝑀𝑁
3
)−
( −𝑀+𝑁
) ( 3 𝑀
2
𝑁+ 1 ∙𝑁
3
)
(𝑀
3
𝑁+𝑀𝑁
3
)
2
2 𝑀
3
− 3 𝑀
2
𝑁−𝑁
3
𝑀
2
𝑁(𝑀
2
+𝑁
2
)
2
𝜕𝐹
𝜕𝑁
( 0 − 1 )(𝑀
3
𝑁+𝑀𝑁
3
)−(−𝑀+𝑁)(𝑀
3
∙ 1 + 3 𝑀𝑁
2
)
( 𝑀
3
𝑁+𝑀𝑁
3
)
2
− 2 𝑁
3
2
+𝑀
3
𝑀𝑁
2
( 𝑀
2
+𝑁
2
)
2
𝜕𝑗
𝜕𝑦
3
𝑧 6
⁄
− 1 − 1
3 − 1
135 𝑦
2
( 5 𝑦
3
𝑧 ⁄ 6
)
2
𝜕𝑗
𝜕𝑧
3
𝑧 6
⁄
− 1 − 1
1
6
𝑧 6
⁄
ln 7
9 ∙ 7
𝑧 ⁄ 6
ln 7
6 ( 5 𝑦
3
𝑧 ⁄ 6
)
2
𝜕𝑥
𝜕𝑢
( 𝑢, 𝑣
)
( 2 + 0
) 𝑒
√
𝑢−𝑣
5
⁄ 3
( 2 𝑢 + 𝑣
) (
1
2
𝑢
1
2
− 1
− 0 ) 𝑒
√
𝑢−𝑣
5
⁄ 3
= 2 𝑒
√
𝑢−𝑣
5
⁄ 3
( 2 𝑢+𝑣)𝑒
√
𝑢−𝑣
5
⁄ 3
2 √𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
( 𝑢, 𝑣
)
( 0 + 1
) 𝑒
√
𝑢−𝑣
5
⁄ 3
( 2 𝑢 + 𝑣
) ( 0 −
1
3
5 𝑣
5 − 1
) 𝑒
√
𝑢−𝑣
5
⁄ 3
= 𝑒
√
𝑢−𝑣
5
⁄ 3
−
5 𝑣
4
( 2 𝑢+𝑣)𝑒
√
𝑢−𝑣
5
⁄ 3
3
𝜕𝑦
𝜕𝑢
1
2
(sen 𝑢)
1
2
− 1
cos 𝑢 𝑢
𝑣
− √
sen 𝑢 𝑢
𝑣
ln 𝑢
(𝑢
𝑣
)
2
cos 𝑢− 2 ln 𝑢 sen 𝑢
2 𝑢
𝑣
√
sen 𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= √sen 𝑢
𝑣
ln 𝑢 = −√sen 𝑢 𝑢
𝑣
ln 𝑢
𝜕𝐾
𝜕𝑥
5
(ln √
𝑦
5
− 1 1
2
1
𝑥
𝑦
5
(ln √
𝑥)
𝑦
5
− 1
2 𝑥
𝜕𝐾
𝜕𝑦
4
(ln √
𝑦
5
ln(ln √
𝜕𝑄
𝜕𝑎
3 𝑐+ 2 − 1
3 𝑐+ 1
𝜕𝑄
𝜕𝑏
3 𝑐+ 2 − 1
3 𝑐+ 1
𝜕𝑄
𝜕𝑐
3 𝑐+ 2
ln
3 𝑐+ 2
ln
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑦
2
3
− 17 − 1
2 − 1
3
17 (𝑒
𝑦
3
(𝑥
2
𝑦
3
+𝑥)
− 18
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑒
𝑦
2
𝑦
3
+𝑥)
17
−(𝑒
𝑦
2
𝑦
3
+𝑥)
17 − 1
(𝑥
2
3 𝑦
2
((𝑥
2
𝑦
3
+𝑥)
17
)
2
𝑒
𝑦
(𝑥
2
𝑦
3
+𝑥)− 51 𝑥
2
𝑦
2
(𝑒
𝑦
(𝑥
2
𝑦
3
+𝑥)
18
𝜕𝐿
𝜕𝑟
2
𝑟
ln 2 𝑠
sen 𝑡
sen
4
𝑟− 2
𝑟
𝑠
sen 𝑡
4 sen
3
𝑟 cos 𝑟
( sen
4
𝑟
)
2
2
𝑟
𝑠
sen 𝑡
(ln 2 sen 𝑟− 4 cos 𝑟)
sen
5
𝑟
𝜕𝐿
𝜕𝑠
2
𝑟
sen
4
𝑟
sen 𝑡 𝑠
sen 𝑡− 1
2
𝑟
sen 𝑡 𝑠
sen 𝑡− 1
sen
4
𝑟
𝜕𝐿
𝜕𝑡
2
𝑟
sen
4
𝑟
cos 𝑡 𝑠
sen 𝑡
ln 𝑠 =
2
𝑟
cos 𝑡 𝑠
sen 𝑡
ln 𝑠
sen
4
𝑟
𝜕𝑀
𝜕𝑓
2
−
5
7 5 (𝑓
3
5 − 1
3 − 1
15 𝑓
2
(𝑓
3
4
√( 𝑔
2
)
5
7
𝜕𝑀
𝜕𝑔
3
5
5
7
2
−
5
7
− 1
2 − 1
10 𝑔(𝑓
3
5
7 √(𝑔
2
12
7
𝜕𝑇
𝜕𝑡
1
𝑢
𝑡 𝑢
⁄
1 − 0
𝑡−𝑢
5 𝑒
𝑡 ⁄𝑢
𝑢
1
𝑡−𝑢
𝜕𝑇
𝜕𝑢
− 1 − 1
𝑡 ⁄𝑢
0 − 1
𝑡−𝑢
5 𝑡𝑒
𝑡 ⁄𝑢
𝑢
2
1
𝑡−𝑢
𝜕𝑓
𝜕𝑥
1
2
(ln(𝑥
4
sen
5
1
2
− 1
1
𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
1
2
(ln(𝑥
4
sen
5
1
2
− 1
1
sen √
𝑦
cos √
1
2
1
2
− 1
5 cos √
𝑦
4 √
𝑦 sen √
𝑦
√ ln
( 𝑥
4
sen
5
√
𝑦
)
𝜕𝑞
𝜕𝑢
3
( 2 sen 𝑣 cos
5
𝑤+ 4
)
5
𝜕𝑞
𝜕𝑣
(𝑢, 𝑣, 𝑤) = 3 𝑢(− 5 )( 2 sen 𝑣 cos
5
− 5 − 1
( 2 cos 𝑣 cos
5
30 𝑢 cos 𝑣 cos
5
𝑤
( 2 sen 𝑣 cos
5
𝑤+ 4 )
6
𝜕𝑞
𝜕𝑤
(𝑢, 𝑣, 𝑤) = 3 𝑢(− 5 )( 2 sen 𝑣 cos
5
𝑤 + 4 )
− 5 − 1
( 2 sen 𝑣 5 cos
5 − 1
𝑤 (− sen 𝑤) + 0 ) =
150 𝑢 sen 𝑣 sen 𝑤 cos
4
𝑤
( 2 sen 𝑣 cos
5
𝑤+ 4
)
6
𝜕𝑓
𝜕𝑢
𝑢+𝑣
ln 2 √cos
5
3
𝑢+𝑣
ln 2 √cos
5
3
𝜕𝑓
𝜕𝑣
(𝑢, 𝑣) = ( 0 + 1 ) 2
𝑢+𝑣
ln 2 √cos
5
𝑣
3
𝑢+𝑣
1
2
(cos
5
𝑣
3
)
1
2
− 1
5 cos
5 − 1
𝑣
3
(− sen 𝑣
3
) 3 𝑣
3 − 1
=
𝑢+𝑣
ln 2 √cos
5
3
15 ∙ 2
𝑢+𝑣
𝑣
2
cos
4
𝑣
3
sen 𝑣
3
2
√ cos
5
𝑣
3
𝜕𝑝
𝜕𝑢
5 − 1
𝑣 ⁄𝑤
4
𝑣 ⁄𝑤
𝜕𝑝
𝜕𝑣
5
1
𝑤
𝑣 𝑤
⁄
𝑢
5
𝑒
𝑣 ⁄𝑤
𝑤
𝜕𝑝
𝜕𝑤
(𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥) = 𝑢
5
(𝑣(− 1 )𝑤
− 1 − 1
)𝑒
𝑣 ⁄𝑤
𝑤 ln
5
𝑥 + 𝑢
5
𝑒
𝑣 ⁄𝑤
∙ 1 ∙ ln
5
𝑥 = −
𝑢
5
𝑣𝑤𝑒
𝑣 ⁄𝑤
ln
5
𝑥
𝑤
2
5
𝑒
𝑣 ⁄𝑤
ln
5
𝑥
𝜕𝑝
𝜕𝑥
1
𝑥
5 𝑤
𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2 ln 𝑧
1 + sen 𝑥
2 ln 𝑧− 1
0 + cos 𝑥
= 2 ln 𝑧 cos 𝑥
1 + sen 𝑥
2 ln 𝑧− 1
𝜕𝑓
𝜕𝑧
1
𝑧
1 + sen 𝑥
2 ln 𝑧
ln
1 + sen 𝑥
2 ( 1 +sen 𝑥)
2 ln 𝑧
ln( 1 +sen 𝑥)
𝑧
𝜕𝑔
𝜕𝑥
3 − 1
𝑥
2
4
3
2 − 1
𝑥
2
4
ln 5 =
= [( 3 𝑥
2
3
𝑥
2
4
𝜕𝑔
𝜕𝑡
3
4 − 1
𝑥
2
4
ln 5 = 12 ln 5 𝑡
3
3
𝑥
2
4
𝜕ℎ
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑡) = 3 𝑡
4
(𝑥
3
3 𝑡
4
− 1
( 3 𝑥
3 − 1
4
( 3 𝑥
2
3
3 𝑡
4
− 1
𝜕ℎ
𝜕𝑡
(𝑥, 𝑡) = 3 ∙ 4 𝑡
4 − 1
(𝑥
3
3 𝑡
4
ln(𝑥
3
3
(𝑥
3
3 𝑡
4
ln(𝑥
3
𝜕𝑝
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) =
1
(𝑦+ √
𝑦
3
)
3
5 (𝑥 + 𝑒
𝑥
)
5 − 1
( 1 + 1 ∙ 𝑒
𝑥
ln 𝑒) =
5 ( 1 +𝑒
𝑥
)(𝑥+𝑒
𝑥
)
4
(𝑦+ √
𝑦
3
)
3
𝜕𝑝
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑒
𝑥
)
5
(− 3 )(𝑦 + √
𝑦
3
)
− 3 − 1
( 1 +
1
3
𝑦
1
3
− 1
∙ 1 ) = −
( 𝑥+𝑒
𝑥
)
5
( 3
√ 𝑦
2
3
√𝑦
2
3
(𝑦+ √
𝑦
3
)
4
𝜕𝐴
𝜕𝑓
(𝑓, 𝑔) = (− 1 )(𝑓
2
2
cos 𝑓)
− 1 − 1
( 2 𝑓 + 𝑔
2
(− sen 𝑓)) = −
2 𝑓−𝑔
2
sen 𝑓
(𝑓
2
+𝑔
2
cos 𝑓)
2
𝜕𝐴
𝜕𝑔
(𝑓, 𝑔) = (− 1 )(𝑓
2
2
cos 𝑓)
− 1 − 1
( 0 + 2 𝑔 cos 𝑓) = −
2 𝑔 cos 𝑓
(𝑓
2
+𝑔
2
cos 𝑓)
2
𝜕𝐵
𝜕ℎ
( ℎ, 𝑘, 𝑙
)
1
𝑙
6
[ 3 ℎ
2
ln
4
( ℎ
2
)
3
4 ln
4 − 1
( ℎ
2
)
2ℎ+𝑘
ℎ
2
+ℎ𝑘
] =
ℎ
2
ln
3
(ℎ
2
+ℎ𝑘)( 3 (ℎ+𝑘) ln(ℎ
2
+ℎ𝑘)+ 4 (2ℎ+𝑘))
𝑙
6
(ℎ+𝑘)
𝜕𝐵
𝜕𝑘
( ℎ, 𝑘, 𝑙
)
ℎ
3
𝑙
6
4 ln
4 − 1
( ℎ
2
)
0 +ℎ
ℎ
2
+ℎ𝑘
=
4 ℎ
3
ln
3
(
ℎ
2
+ℎ𝑘 )
𝑙
6
( ℎ+𝑘
)
𝜕𝐵
𝜕𝑙
(ℎ, 𝑘, 𝑙) = ℎ
3
ln
4
(ℎ
2
− 6 − 1
= −
6ℎ
3
ln
4
(ℎ
2
+ℎ𝑘)
𝑙
7
𝜕𝐶
𝜕𝑥
1
(𝑥
1
, 𝑥
2
) = (− 1 )𝑥
1
− 1 − 1
5
4
𝑥
1
5
4
− 1
7
𝑥 2
4 = −
1
𝑥
1
2
5 √𝑥 1
7
𝑥
2
4
4
𝜕𝐶
𝜕𝑥 2
( 𝑥
1
, 𝑥
2
) = 0 + 𝑥
1
5
4
1
4
7
𝑥 2
4 ln 7 =
ln 7 𝑥 1
√𝑥 1
7
𝑥 2
4
4
C2, pàgina 20, 10
𝜕𝑔
𝜕𝑥
1
2 𝑧 cos 𝑦
5 − 1
3 − 1
sen 𝑦) = (
5 𝑥
4
2 𝑧 cos 𝑦
2
sen 𝑦)
𝜕𝑔
𝜕𝑦
𝑥
5
2 𝑧
cos 𝑦
− 1 − 1
− sen 𝑦
3
cos 𝑦) = (
𝑥
5
sen 𝑦
2 𝑧 cos
2
𝑦
3
cos 𝑦)
𝜕𝑔
𝜕𝑧
𝑥
5
2 cos 𝑦
− 1 − 1
𝑥
5
2 𝑧
2
cos 𝑦
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= ( 1 − 0 , 2 ln
2 − 1
1
𝑡
3 𝑡
ln 5 ) = ( 1 ,
2 ln 𝑡
𝑡
, 3 ln 5 ∙ 5
3 𝑡
Compte amb la notació! 𝜕 (derivada parcial) s’utilitza quan hi ha més d’una
variable; 𝑑 (derivada) s’utilitza quan hi ha una variable el que no significa
necessàriament que siga una funció real de variable real. Veja’s ℎ(𝑡).
𝜕𝑎
𝜕𝑢
= ( 2 ln 𝑣
− 5 − 1
𝑣
3
𝑧
𝑤
1
𝑢
10 ln 𝑣
𝑢
6
𝑣
3
𝑧
𝑢𝑤
𝜕𝑎
𝜕𝑣
2
𝑢
5
1
𝑣
𝑧 ln 𝑢
𝑤
3 − 1
2
𝑣𝑢
5
3 𝑣
2
𝑧 ln 𝑢
𝑤
𝜕𝑎
𝜕𝑤
3
𝑧 ln 𝑢 (− 1 )𝑤
− 1 − 1
𝑣
3
𝑧 ln 𝑢
𝑤
2
𝜕𝑎
𝜕𝑧
𝑣
3
ln 𝑢
𝑤
C1, pàgina 2, 12
a)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
10 − 1
4 − 1
3 − 1
9
3
2
b)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 7 − 1
7
𝑥
8
c)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
3
2
7 − 1
3 − 1
2 − 1
3
2
6
2
d)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
3
2
3
e)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
3
1
2
−
1
2
− 1
1
6 √𝑥
3
f)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
4
2 − 1
1
3
3 − 1
1
2
2
g)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
( 4 𝑥
4 − 1
2
4
2 − 1
( 2 𝑥
2
2
4 𝑥
5
3
− 4 𝑥
( 2 𝑥
2
2
z)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= cos (
𝑥
2
− 1
𝑥
( 2 𝑥
2 − 1
− 0 )𝑥−(𝑥
2
− 1 )· 1
𝑥
2
− 1 − 1
𝑥
2
𝑥
2
cos (
𝑥
2
− 1
𝑥
1
𝑥
2
aa)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
2
sen
1
2
− 1
𝑥 cos𝑥 =
cos𝑥
2 √
sen 𝑥
bb)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
4
cos
1
4
− 1
−sen𝑥
sen𝑥
4 √cos
3
𝑥
4
cc)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 − 1
𝑥
2
𝑥
2
C1, pàgina 16, 8
a)
𝜕𝐹
𝜕𝑥
1
2
−
1
2
− 1
1
√(𝑦− 2 𝑥)
3
𝜕𝐹
𝜕𝑦
1
2
−
1
2
− 1
1
2
√( 𝑦− 2 𝑥
)
3
b)
𝜕𝐹
𝜕𝑥
1
1 −𝑦
− 1 − 1
𝑥
− 2
1 −𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑦
− 1
− 1 − 1
1 −𝑥
− 1
( 1 −𝑦)
2
c)
𝜕𝐹
𝜕𝑥
1
𝑥
2
− 4 𝑦
2 − 1
2 𝑥
𝑥
2
− 4 𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑦
1
𝑥
2
− 4 𝑦
4
𝑥
2
− 4 𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑧
1
𝑧
1
𝑧
d)
𝜕𝐹
𝜕𝑥
1
2
2
1
2
− 1
2 − 1
1
1 −𝑦
𝑥
√𝑥
2
1
1 −𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑦
1
2
2
1
2
− 1
− 1 − 1
1
√ 𝑥
2
𝑥
( 1 −𝑦)
2
e)
𝜕𝐹
𝜕𝑥
1
𝑦− 1
𝑥+ 1
𝑦− 1
1
𝑦− 1
𝑥+ 1
𝑦− 1
𝜕𝐹
𝜕𝑦
− 1 − 1
𝑥+ 1
𝑦− 1
= −
𝑥+ 1
(𝑦− 1 )
2
𝑥+ 1
𝑦− 1
f)
𝜕𝐹
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = −sen( 4 𝑥
2
2 − 1
2
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= −sen
2
= − 2 sen
2
g)
𝜕𝐹
𝜕𝑥
2 − 1
2
1
2
2
1
2
− 1
2 − 1
2
𝑥
√𝑥
2
+𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑦
2 − 1
1
2
2
1
2
− 1
1
2 √𝑥
2
+𝑦
h)
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝑥+ 2 𝑦+ 1
ln 3 = 3
𝑥+ 2 𝑦+ 1
ln 3
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝑥+ 2 𝑦+ 1
ln 3 = 2 · 3
𝑥+ 2 𝑦+ 1
ln 3
i)
𝜕𝐹
𝜕𝑥
1
2
1
2
− 1
−
1
2
𝜕𝐹
𝜕𝑦
−
1
2 = 𝑧
−
1
2
𝜕𝐹
𝜕𝑧
1
2
−
1
2
− 1
𝑦𝑧
−
3
2
2
C1, pàgina 16, 9
a)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
3 − 1
2
2
2
𝜕𝑓
𝜕𝑦
3
3
𝜕𝑓
𝜕𝑧
2 − 1
b)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
( 3 𝑥
3 − 1
− 2 · 1 𝑦)( 4 𝑥+𝑦
2
)−(𝑥
3
− 2 𝑥𝑦)( 4 · 1 + 0 )
( 4 𝑥+𝑦
2
)
2
8 𝑥
3
− 2 𝑦
3
2
𝑦
2
( 4 𝑥+𝑦
2
)
2
𝜕𝑓
𝜕𝑦
( 0 − 2 𝑥· 1 )( 4 𝑥+𝑦
2
)−(𝑥
3
− 2 𝑥𝑦)( 0 + 2 𝑦
2 − 1
)
( 4 𝑥+𝑦
2
)
2
8 𝑥
2
− 2 𝑥𝑦
2
3
𝑦
( 4 𝑥+𝑦
2
)
2
c)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = (−sen𝑥) 𝑦
cos𝑥
ln 𝑦 = −sen𝑥 ln 𝑦 𝑦
cos𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= cos𝑥 𝑦
cos𝑥− 1
d)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
( 𝑥, 𝑦
) = 8 sen
8 − 1
( 𝑥
2
3
) cos
( 𝑥
2
3
) ( 2 𝑥
2 − 1
) = 16 𝑥 sen
7
( 𝑥
2
3
) cos
( 𝑥
2
3
)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = 8 sen
8 − 1
(𝑥
2
3
) cos(𝑥
2
3
) ( 0 + 3 𝑦
3 − 1
) = 24 𝑦
2
sen
7
(𝑥
2
3
) cos(𝑥
2
3
)
e)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥+ 1
𝑥+ 1
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2 −𝑦
2 −𝑦
