¡Descarga derivades y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
3. La derivada
En aquest capítol anem a estudiar les funcions contínues, aquelles per a les quals la seua gràfica es pot dibuixar sense alçar el llapis, i també anem a determinar la recta tangent en un punt de la gràfica d’una funció. Això ens permetrà introduir el concepte de derivada d’una funció en un punt. Arribarem al concepte de derivada d’una funció en un punt a partir de la “raó de canvi instantani”. En particular,
- si la funció f (t) ens dóna l’espai recorregut per un objecte en l’instant t, la seua derivada f ′(t) ens donarà la velocitat instantània de l’objecte.
- si f (t) descriu la població de bacteris en l’instant t, la seua derivada ens diu com canvia la població de bacteris instantàniament.
Exemple.- Suposem que realitzem un experiment sobre la velocitat de reacció d’una zebra. Hem obtingut els metres recorreguts a intervals de 2 segons. Així tenim les següents dades:
temps 0 2 4 6 8 10 metres 0 10. 28 41. 12 95. 52 164. 48 257
Aquestes dades es poden aproximar mitjançant la funció y = f (t) = 2. 57 t^2. Suposem que ara volem saber la velocitat de la zebra en l’instant t = 4. Amb les dades que tenim podem calcular la velocitat mitjana en un interval de temps. Així la velocitat mitjana en l’interval de temps [4, 8] està donada per
distància recorreguda temps transcorregut
f (8) − f (4) 8 − 4
= 30. 84 metres/segon.
Evidentment aquesta no és la velocitat de la zebra en l’instant t = 4 però ens dóna una aproximació. Si reduïm l’interval i realitzem els mateixos càlculs, obtindrem una aproximació millor. Així la velocitat mitjana en l’interval de temps [4, 6] és
f (6) − f (4) 6 − 4
= 25. 7 metres/segon.
En l’interval de temps [4, 4 .5] és
f (4.5) − f (4)
- 5 − 4
= 21. 84 metres/segon
i en l’interval de temps [4, 4 .2] és
f (4.2) − f (4)
- 2 − 4
= 21. 05 metres/segon.
Amb la qual cosa podem veure que la velocitat mitjana per a t = 4 es va aproximant a 21 me- tres/segon. Adoneu-vos que d’aquesta manera no podem determinar la velocitat en un instant (t = 4), és a dir, en l’instant [4, 4], ja que dividiríem per 0. És per això que la velocitat instantània es defineix com a un límit
V (t) = lim t→ 4
- 57 · t^2 − 41. 12 t − 4
3.1 Límits i continuïtat.
La idea anterior ens condueix a la següent definició intuïtiva de límit d’una funció quan tendeix(s’apropa) a un punt x 0.
Definició 3.1 Direm que una funció f té per límit a L quan x s’aproxima a x 0 , i ho denotem per
lim x→x 0
f (x) = L
si el valor f (x) es pot fer tan pròxim a L com vulguem quan prenem x suficientment a prop (però no igual) de x 0.
En l’exemple anterior, el límit de f (t) = 2. 57 t^2 quan t s’aproxima a(tendeix a) 4 és
lim t→ 4 f (t) = lim t→ 4 2. 57 t^2 = 2.57 4^2 = 41. 12 metres,
i el límit de la funció velocitat mitjana en l’interval [4, t], V (t) = f^ (t) t−−f 4 (4) , quan t tendeix a 4 és
lim t→ 4
V (t) = lim t→ 4
f (t) − f (4) t − 4
= 20. 56 metres/segon.
Com hem calculat aquest valor? Més endavant donarem una resposta, però de moment podem dir que és el pas al límit dels quocients que hem fet abans, és a dir, amb intervals d’amplitud cada vegada més menuda [4, 6], [4, 4 .5], [4, 4 .2], [4, 4 .01], [4, 4 .001],...
Exemple 3.1.1 Suposem que la funció del temps f (t), que ens dóna el nombre de mosques de la fruita (Drosophilia) que hi ha en un contenidor en un experiment que estem realitzant, té la gràfica següent
10 20 30 40 50 60
100
200
300
mosques^400
dies De la gràfica es dedueix fàcilment que, a mesura que va augmentant el nombre de dies, el nombre de mosques s’aproxima a 400 , aquest nombre està determinat per certs factors ambientals, com són la capacitat del contenidor, la quantitat de menjar,...
La recta y = 400, a la qual tendeix la funció f (x), direm que és una asímptota horitzontal de f.
Intuïtivament podem definir,
Definició 3.2 Una funció, f (x), té per límit L quan x creix infinitament (x → +∞), i ho denotem per
lim x→+∞
f (x) = L
si f (x) està tan a prop com vulguem de L per a x suficientment gran. De la mateixa manera, una funció, f (x), té per límit M quan x decreix infinitament
lim x→−∞
f (x) = M
si podem aconseguir f(x) tan a prop com vulguem de M per a x negatiu i el seu valor absolut suficientment gran. Quan els nombres L i M no són ±∞ a les rectes horitzontals y = L i y = M les anomenarem asímptotes horitzontals de f.
Una vegada estudiat el concepte de límit podem parlar de la continuïtat de funcions. Un definició intuïtiva és la següent: una funció és contínua si es pot dibuixar la seua gràfica sense alçar el llapis del paper. Vejam com ho formalitzem.
Definició 3.4 Direm que una funció f és contínua en el punt x = x 0 si es compleix que:
- Està definit el valor f (x 0 ).
- Existeix limx→x 0 f (x).
- Es verifica que limx→x 0 f (x) = f (a).
En cas contrari, direm que f (x) és discontínua en x = x 0.
Direm que una funció f és contínua en un conjunt, si es contínua en tots els punts del conjunt.
Exemple 3.1.3 La gràfica de la funció
f (x) =
x^3 + 1 si x < 0 x^2 + 1 si x ≥ 0
és contínua en x = 1, ja que el límits laterals
lim x→ 0 −
f (x) = lim x→ 0 −
x^3 + 1 = 1 lim x→ 0 +
f (x) = lim x→ 0 +
x^2 + 1 = 1
són iguals, i per tant, limx→ 0 f (x) = 1 i també f (0) = 1. A continuació teniu tres exemples de gràfiques de funcions discontinues
Les respectives funcions són
f (x) =
x^3 + 1 si x < 0 3 2 si^ x^ = 0 x^2 + 1 si x > 0 ,
f (x) =
x^3 + 1 si x < 0 x^2 + 12 si x ≥ 0 , f^ (x) =
x^3 + 1 si x < 0 x^2 + 1 si x > 0.
Propietat 3.5 Es verifiquen les propietats següents:
- Les funcions polinòmiques, les exponencials, el sinus i el cosinus són contínues en tots els punts.
- Les funcions racionals i la funció tangent són contínues en els punts on estan definides.
- La suma(resta) i el producte de funcions contínues és una funció contínua.
- La composició de funcions contínues és contínua si ho són les funcions en els punts corresponents, és a dir, (f ◦ g)(a) = f (g(a)) és contínua si g és contínua en a i f ho és en g(a).
La derivada
3.2 Derivació.
Desenvolupem un poc més els conceptes matemàtics presentats en l’exemple de la Introducció.
Siga f (x) una funció i siguen x 0 , x 1 dos punts del domini de f. Anomenarem increment, canvi o variació de x a la quantitat, △x = x 1 − x 0 , i increment, canvi o variació de y a △y = f (x 1 ) − f (x 0 ). Si escrivim ara x 1 = △x + x 0 , aleshores
△y = f (x 1 ) − f (x 0 ) = f (△x + x 0 ) − f (x 0 ),
i podem escriure l’increment de y com △y = f (x + △x) − f (x).
x 0 x 1
f (x 0 )
f (x 1 )
△y
△x x 0 x 1
f (x 1 )
f (x 0 )
△y
△x
△y = f (x 1 ) − f (x 0 ) > 0 △y = f (x 1 ) − f (x 0 ) < 0
Això ens permet donar la següent definició.
Definició 3.6 Anomenarem raó de canvi o raó de creixement d’una funció f (x) en l’interval [x 0 , x 1 ] al quocient △y △x
f (x 1 ) − f (x 0 ) x 1 − x 0
Aquest quocient representa una mesura del canvi de y respecte de x. Noteu que pot prendre qualsevol valor: negatiu si el valor de la funció en l’extrem superior és menor que en l’extrem inferior(la funció decreix), zero si pren el mateix valor en els extrems, i positiu si el valor de la funció en l’extrem superior és major que en l’extrem inferior(la funció creix). Podeu voreu gràficament en el dibuix anterior.
Nota 3.7 1. Noteu que per a què el quocient estiga definit cal que l’interval [x 0 , x 1 ] siga un subconjunt del domini de la funció f.
- Adoneu-vos també que la raó de canvi no és altra cosa que la pendent de la recta que passa pels punts P = (x 0 , f (x 0 )) i Q = (x 1 , f (x 1 )) = (x 0 + △x, f (x 0 + △x)).
P
Q
△y
△x
La derivada
Nota. La derivada d’una funció en un punt x 0 es pot interpretar com a la pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en eixe punt.
En la gràfica anterior s’han dibuixat varies rectes secants a la gràfica de la funció(tallen la gràfica en dos punts) però amb un dels punts de tall fix. Com s’observa la recta tangent s’obtindria com a “límit” d’aquestes rectes secants quan l’altre punt tendeix al punt fix. Per tant, una forma de trobar l’equació de la recta tangent a una funció (gràfica) en un punt (x 0 , f (x 0 )) és utilitzar l’equació punt-pendent
y − f (x 0 ) = m · (x − x 0 )
i on la pendent és justament la derivada de la funció en el punt x 0 , m = f ′(x 0 ), és a dir, l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f (x) en el punt d’abscisses x = x 0 és
y − f (x 0 ) = f ′(x 0 ) · (x − x 0 ).
Exemple 3.2.3 Dóna l’equació de la recta tangent a la corba f (x) = x^2 en el punt (2, 4).
En aplicacions pràctiques, de vegades ens podem trobar funcions, f (x), que no són derivables en algun punt, x = a, del domini de f. Els dos casos més habituals són:
- Quan la gràfica d’una funció contínua, f , presenta un canvi de direcció sobtat(un vèrtex) en el punt (a, f (a)), aleshores la funció no és derivable en x = a (gràfica de l’esquerra). Penseu en la recta tangent en eixe punt!
- Quan la recta tangent a la gràfica de f en el punt (a, f (a)) és paral·lela a l’eix OY ja que, en aquest cas, la pendent de la recta tangent en el punt és infinita.
(a, f (a))
(a, f (a))
Vejam com es comporten les operacions entre funcions amb la derivació.
Propietat 3.9 Es verifiquen les propietats següents:
- Si una funció f (x) és derivable en x = x 0 , aleshores és contínua en x = x 0.
- Si f (x) és una funció derivable i c és una constant, aleshores
(c · f )′(x) = c · f ′(x).
O bé, d( dxc·f )= c · (^) dxdf.
- Si f (x) i g(x) són funcions derivables, aleshores
(f ± g)′^ = f ′^ ± g′.
Nota. La derivada de la suma(resta) de funcions és la suma(resta) de les derivades de les funcions.
O bé, d(f dx^ ± g)= (^) dxdf ± dg dx.
- Si f (x) i g(x) són funcions derivables, aleshores
(f · g)′^ =
d(f · g) dx
df dx
· g + f ·
dg dx
= f ′^ · g + f · g′.
Nota. La derivada del producte és igual a la derivada de la primera per la segona sense derivar més la primera sense derivar per la derivada de la segona.
O bé, d( dxf^ ·g )= df dx · g + f · dg dx.
- Si f (x) i g(x) són funcions derivables, aleshores
( f g
f ′^ · g − f · g′ g^2
Nota. La derivada el quocient de funcions és igual a la derivada del de dalt pel de baix sense derivar menys el de dalt per la derivada del de baix, i tot això dividit pel quadrat del de baix.
O bé, (^) dxd
f g
dxdf ·g−f^ ·^ dg dx g^2.
- IMPORTANT: regla de la cadena. Derivada de la composició de funcions. Siguen y = f (u) una funció de u i u = u(x) una funció de x tals que podem fer la composició de les dues funcions. La derivada de la funció composició (f ◦ u)(x) = f (u(x)) és igual a
(f ◦ u)′(x) = f ′(u(x)) · u′(x).
Nota. La derivada de la composició és igual a la derivada del de fora per la derivada del de dins. Sempre de fora cap a dins.
A vegades ho podeu vore escrit si y(x) = (f ◦ u)(x) com dy dx = dy dudu dx =.
Amb totes aquestes propietats ja només ens falta conèixer les derivades de les funcions elementals per tal de poder donar exemples i començar a derivar funcions més complicades.
En la següent proposició apareixen les derivades d’algunes de les funcions elementals, la forma en que s’obtenen és a partir de la definició, veure definició 3.8, però ací no anem a demostrar-ho. Nogensmenys, és molt important que les aprengueu de memòria. A més a més, la columna de la dreta és l’expressió de la derivada de la composició de dues funcions.
Demostració. Prenem logaritmes neperians
ln y = g(x) · ln f (x)
ara, fent servir la regla de la cadena derivem respecte de x els dos membres de la igualtat
y′ y
dg dx
ln f (x) +
g(x) f (x)
df dx
Si aïllem y′^ obtenim el que buscàvem.
Exemple 3.2.5 Calcula la derivada de la funció y = xx^ quan x > 0.
Evidentment, si y = f (x) és una funció, la seua derivada, y′^ = (^) dxdf (x) = f ′(x) també és una altra funció. Per tant, té sentit preguntar-se si té derivada en un punt x.
Definició 3.12 La funció f ′(x) té derivada en un punt x 0 del domini de f ′(x) si existeix el límit
lim △x→ 0
f ′(x 0 + △x) − f ′(x 0 ) △x
i a aquest límit se l’anomena derivada segona de f en el punt x 0 i es denota per f ′′(x 0 ) o bé d
(^2) f dx^2 (x^0 ). Podem continuar amb aquest procés i tenim la tercera derivada, la quarta, ...
y′^ = f ′(x) =
df dx
(x), y′′^ = f ′′(x) =
d^2 f dx^2
(x), y′′′^ = f ′′′(x) =
d^3 f dx^3
(x), · · ·
Noteu que així com la derivada primera d’una funció en un punt ens dóna la raó de canvi instantani o velocitat en eixe punt, la derivada segona ens dóna la raó de canvi instantani de la velocitat, que és el que es coneix com a acceleració.
Exemple 3.2.6 Trobeu les derivades primera, segona i tercera de:
y = ax, y = sin x.
La derivada
3.3 Exercicis
- Utilitza la gràfica de la funció
f (x) =
2 x − 3 si x ≤ 2 −x + 3 si x > 2
per tal de calcular en el punt a = 2 els límits següents, si existeixen,
lim x→a+^
f (x), lim x→a−^
f (x), lim x→a
f (x).
- Utilitza la gràfica de la funció
f (x) =
4 − x si x ≤ 2 x + 2 si x > 2 per tal de calcular en el punt a = 2 els límits següents, si existeixen,
lim x→a+^
f (x), lim x→a−^
f (x), (^) xlim→a f (x).
- Determina els valors de x on les funcions següents són discontinues
a) f (x) =
x + 3 si x 6 = 2
0 si x = 2
b) f (x) =
3 x + 4 4 x^2 − 2 x − 2
c) f (x) =
(x + 1)^2
si x 6 = − 1
2 si x = − 1
d) f (x) =
| 2 x| x
- Donada la funció
f (x) =
x^2 si x ≤ 1 ax + b si x > 1 troba els valors de a i b per als quals f és contínua i té derivada per a x = 1. Dibuixa la gràfica de f (x).
- Dibuixa la gràfica de la funció f (x) = x
(^23) . És contínua en x = 0? Té derivada en x = 0? Justifica les respostes.
- Troba la pendent de la recta tangent a la gràfica de les funcions següents en el punt indicat en cada cas i determina l’equació de la recta tangent.
a) f (x) = 2x + 7 en (2, 11); b) f (x) = − 3 x + 4 en (− 1 , 7);
c) f (x) = 3x^2 en (1, 3); d) f (x) = 3x − x^2 en (− 2 , −10);
e) f (x) = −
x
en (3, −
); f) f (x) = −
2 x
en (1, −
g) f (x) = 2x^2 − 3 x + 4 en (2, 6); h) f (x) = −
x^2 + 2x + 2 en (− 1 , −
i) f (x) = x^4 − 3 x^3 + 2x^2 − x + 1 en (1, 0); j) f (x) =
x +
x
en (4,
La derivada
- La concentració mitjana de monòxid de carboni existent en l’atmosfera i mesurada en parts por milió en volum, es pot aproximar mitjançant la funció
f (t) = 0. 881443 t^4 − 1. 45533 t^3 + 0. 695876 t^2 + 2. 87801 t + 293 0 ≤ t ≤ 4
on t es mesura cada 40 anys i la primera mesura és de principis de l’any 1860 (t = 0).
(a) Utilitza el Maxima per a donar la gràfica de la funció. (b) Usa la gràfica per a donar una estimació de la velocitat de canvi de la concentració mitjana de monòxid de carboni a principis de 1900 (t = 1) i a principis del 2000 (t = 3. 5 ).
- El nombre estimat de nous xiquets infectats de HIV per contacte amb la seua mare està donat per la funció f (t) = − 0. 2083 t^3 + 3. 0357 t^2 + 44. 0476 t + 200. 2857 0 ≤ t ≤ 12 on f (t) es mesura en milers i t en anys, on t = 0 és l’any 1990.
(a) Utilitza el Maxima per a donar una gràfica de la funció. (b) Usa la gràfica per a donar una estimació de la velocitat de canvi en el nombre de xiquets infectats en l’any 2000.
- Sabem que a la temperatura de 20 oC, el volum V (en litres) de 1. 33 gr d’oxigen està relacionat amb la pressió p (en atmosferes) a què està subjecte mitjançant la fórmula
V (p) =
p
(a) ¿Quina és la raó de canvi del volum, V , respecte de la pressió, p, quan p creix de p = 2 atmosferes a p = 3 atmosferes? (b) ¿Quina és la raó instantània de canvi de V respecte de p per a p = 2?
- Sabem que la mida d’una població de bacteris, sota certes condicions del laboratori, es pot descriure mitjançant la funció P = f (t) = 3t^2 + 2t + 1 on t representa el temps en minut. Dóna la raó de canvi instantani per a t = 10 minuts.
- Un grup de biòlegs de l’Institut Oceanogràfic Neptú, recomanen que, al llarg dels pròxims 10 anys es prenguen una sèrie de mesures en vistes a la conservació d’una espècie de balena que està en vies d’extinció. Ells estimen que, després d’implementar les mesures de conservació, la població d’aquesta espècie de balenes, N (t), en acabar l’any t estarà donada per
N (t) = 3t^3 + 2t^2 − 10 t + 600 con 0 ≤ t ≤ 10.
Dóna la raó de creixement instantani d’aquesta població de balenes per a t = 2 i t = 6. ¿Quina serà la població de balenes d’aquesta espècie quan hagen passat 8 anys des què s’iniciaren a implementar les mesures conservacionistes?
- El volum d’un tumor cancerigen està donat per
V (r) =
πr^3
on r denota el radi del tumor mesurat en centímetres. Calcula la velocitat de canvi en el volum del tumor quan aquest té un radi de 23 cm i quan el seu radi mesura 54 cm.
- Se sap que la velocitat (en cm per segon) de la sang arterial que dista rcm del centre de l’artèria està donada per v(r) = k(R^2 − r^2 ) on k és una constant i R el radi de l’artèria. Si suposem k = 1000 i R = 0. 2 cm. Troba v(0.1) i v′(0.1) i interpreta els resultats.
r R
- Segons un estudi de la Cambra de Comerç, la població d’una certa ciutat creixerà segons la fórmula
P (t) = 5 · 104 + 30
t^3 + 20t
on P (t) denota la mida de la població d’ací a t mesos. Calcula la velocitat de creixement d’aquesta població d’ací a 9 mesos i també d’ací a 16 mesos.
- Fa 5 anys, la Conselleria d’Agricultura va decidir controlar la població de conills en una determinada zona. Suposant que la població de conills (en milers) està donada per la fórmula
P (t) = −
t^3 + 64t + 3 · 103
on t es mesura en anys, i on t = 0 és el moment en què es va iniciar la campanya de control. Calcula la raó de canvi de la població de conills al final dels anys, 1 , 2 , 3 i 4 ¿Està tenint èxit el pla de la Conselleria?
- Hi ha una espècie de tortuga en perill d’extinció donat que els seus ous es consideren afrodisíacs i per tant són molt buscats. Després de que s’apliquen severes mesures de conservació, s’espera que la població d’aquesta espècie de tortugues s’incremente segons la fórmula
N (t) = 2t^3 + 3t^2 − 4 t + 1000 0 ≤ t ≤ 10
on N (t) és la població de tortugues al final de l’any t. Troba la velocitat de creixement de la població de tortugues per a t = 2 i per a t = 8. ¿Quina serà la població de tortugues 10 anys després d’haver establert les mesures de conservació?
- Quan es llancen restes orgàniques a una bassa de reg, el procés d’oxidació redueix el contingut d’oxigen de l’aigua de la bassa. Malgrat això, amb el temps, el contingut d’oxigen de l’aigua torna als seus nivells habituals. Suposem que el tant per cent (respecte del contingut habitual) d’oxigen en l’aigua d’una bassa, de- sprés de t dies d’haver llançat restes orgàniques està donat per la fórmula
f (t) = 100
t^2 + 10t + 100 t^2 + 20t + 100
0 < t < ∞.
(a) Dóna l’expressió per a la raó de canvi instantani de f (t). (b) ¿Com de ràpid està variant el contingut d’oxigen de la bassa després de 1 dia, després de 10 dies i després de 20 dies?
- Sabem que la concentració d’antibiotic en sang, t hores després d’injectat, està donada per
C(t) =
- 2 t t^2 + 1
(a) Troba la fórmula que dóna la raó de canvi en la concentració d’antibiotic en la sang. (b) ¿Com de ràpid canvia la concentració d’antibiotic després de mitja hora, de 1 hora i de 2 hores després de la injecció?
- Donada la funció
f (x) =
a + ln(1 − x) x < 0 x^2 e−x^ x ≥ 0
es demana
(a) Calcula el valor de a per tal que la funció f (x) siga contínua en tot R. (b) Estudiar la derivabilitat de f i calcular f ′^ on siga possible.
- Calcula les derivades de les funcions següents:
a) f (x) = (x^2 − 3 x + 5)^3 , b) g(x) = (x^4 − x−^2 )^4 , c) h(x) = (^) (3x+5)^22 ,
d) j(x) = x
(^3) +2x x^2 − 1 ,^ e)^ k(x) =^
√ x^2 − 1 x− 1 ,^ f^ )^ ℓ(x) =^
√ (^3) (x (^2) − 2 x) (^4).
- Calcula les derivades de les funcions següents:
a) f (x) = (sin(x^2 ))^3 , b) g(x) = cos(sin(x)), c) h(x) = tan( cos 2 x (^) x) ,
d) j(x) = cos^2 (5x), e) k(x) =
√ex+ ex+2 ,^ f^ )^ ℓ(x) =^
√ (^3) e 4 x (^) − ex.
- Calcula les derivades de les funcions següents:
a) f (x) = e−^3 x+4, b) g(x) = ln(x^2 + 1), c) h(x) = e
2 x+ ex^ ,
d) j(x) = ln(5 x (^2) −x 1 ) , e) k(x) =
ln(x^2 ), f ) ℓ(x) = log 3 (9^4 x^ − 1).
- Calcula les derivades de les funcions següents:
a) f (x) = 4x
(^2) − 3 x+ , b) g(x) = log 2 (x^2 + 16), c) h(x) = arcsin(x^2 + 1),
d) j(x) = arccos(x^3 − x), e) k(x) = arctan(3x − 1), f ) ℓ(x) = arctan( 32 x^2 + x − 4).
- Calcula les derivades de les funcions següents:
a) f (x) = e−^3 x+4^ cos(x), b) g(x) = e^3 x(x^2 − x), c) h(x) = e−^2 x(x^2 − x),
d) j(x) = ln(2 ln(3xx−+2)1) , e) k(x) = ln( 23 xx−+2^1 ), f ) ℓ(x) = arctan(sin(x)).
- Calcula les derivades de les funcions següents:
a) f (x) = e
− 3 x+ e−^2 x+3^ ,^ b)^ g(x) =^
6 e^3 x ex−^2 ,^ c)^ h(x) = (x
(^2) − x) cos x,
d) j(x) = x^2 ln(3x − 1), e) k(x) = 5x
(^2) + (3x − 2), f ) ℓ(x) = arctan( x 2 ).
- Calcula les derivades de les funcions següents:
a) f (x) = ex^ sin^ x, b) g(x) = e
√x , c) h(x) = x+e
−x 1+xe−x^ ,
d) j(x) = ln
x^2 + 1, e) k(x) = (ln(x^2 ))^3 , f ) ℓ(x) = ex
2 x 3 x^2 +5x
