Matemàtiques I dels graus de Biologia i Bioquímica.
Càlcul de derivades
Algunes notacions
Indicarem amb Rel conjunt dels nombres reals. Emprarem a més les notacions següents: per a tot
a, b ∈R∪ {−∞,∞} tals que a6b(i amb el conveni que, per a tot nombre real x,−∞ <x<∞),
•[a, b]indica el conjunt dels nombres reals ttals que a6t6b;
•[a, b[indica el conjunt dels nombres reals ttals que a6t<b;
•]a, b]indica el conjunt dels nombres reals ttals que a < t 6b;
•]a, b[indica el conjunt dels nombres reals ttals que a<t<b.
Ens referirem a tots aquests conjunts genèricament com a intervals de R. Els del primer tipus són
intervals tancats, els del segon, oberts a la dreta, els del tercer, oberts a l’esquerra i els del darrer,
simplement oberts.
Direm que un punt xd’un conjunt Xés interior quan Xconté tot un interval obert que conté a
x. Per exemple, 2és interior de [0,3], perquè per exemple 2∈]0.5,2.5[⊆[0,3], però en canvi 2no és
interior de [2,3]. En general, els únics punts no interiors d’un interval són els seus extrems tancats.
Recordem que una aplicació d’un conjunt Xen un conjunt Yés una regla que assigna a cada
element de Xun, i només un, element de Y. En aquest context, es diu que Xés el domini de
l’aplicació, que Yés l’abast de l’aplicació, i que l’element de Yque és assignat per la regla a cada
element xde Xés la imatge d’aquest x.
Direm una funció real a una aplicació amb domini un interval de R, o, més en general, una reunió
d’un nombre finit d’intervals de R, i abast tot R. De vegades emprarem la notació f:D→R
per indicar la funció real de nom fi domini D. Sovint també emprarem la notació “la funció real
y=f(t),” on f(t)és una expressió matemàtica aplicada a t. Amb això ens referirem a la funció
real que té com a domini el conjunt de tots els nombres reals ton l’expressió f(t)estigui definida i
tal que la imatge d’un element tdel domini sigui el valor f(t)∈R. Per exemple, y= ln(t)indica la
funció real de domini ]0,∞[(que és on està definit el logaritme neperià) que assigna a cada t∈]0,∞[
el seu logaritme neperià
Definició de derivada
Suposem que estam observant el volum de dues cèl.lules C1iC2. La cèl.lula C1a l’instant inicial 0
tenia un volum de 3 µ3(micres1cúbiques) i 5 segons després tenia un volum de 9 µ3; és a dir, en
5 segons el seu volum ha augmentat 6 µ3. La cèl.lula C2també tenia, a l’instant 0 un volum inicial
de 3 µ3, però al cap de 2 segons tenia un volum de 7 µ3; per tant, el seu volum ha augmentat 5 µ3
en 2 segons. En els temps indicats la cèl.lula C1ha augmentat més que la cèl.lula C2, però aquesta
informació no ens és útil, ja que també s’ha de tenir en compte que la cèl.lula C1ha adquirit el
volum final en més temps que la cèl.lula C2; vegeu la Figura 1.
La pregunta que ens plantejam és quina cèl.lula ha augmentat de volum més ràpidament, i per
a això fa falta saber l’augment de volum per segon. Per calcular-lo, dividirem l’augment de volum
1Recordau que una micra és una milionèsima part d’un metre: 1µ= 10−6m.
1
