Derivades, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Derivades y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

5. DERIVACIÓ5.1 Concepte de derivada d’una funció en un punt5.2 Càlcul de derivades5.3 derivabilitat en intervals5.4 Extrems relatius5.5 Concavitat i convexitat5.6 Aproximació lineal

5.3 Derivabilitat en intervals (I)

Recta [(a,f(a)),(b,f(b))] Si^ f^ és una funció contínua en l’interval

(a,b) , aleshores existeix un punt^

∈^ , c a b (^ )

( )^ ( ) f b^ f a^ −'( ) f c = b^ a −

TEOREMA DEL VALOR MITJÀ o de Lagrange Gràficament, això vol dir quela corbay = f(x)^ conté almenys un punt on la tangentés paral·lela^ a^ la^ recta^ quepassa per(a,f(a)) i ( b,f(b))

Tangent en el punt (c,f(c))f(b)f(c) f(a) b^ ca

5.3 Derivabilitat en intervals (III) TEOREMA DEL VALOR MITJÀ GENERALITZAT

o de Cauchy Siguin^ f(x)^ i^ g(x)^ dues funcions contínues en l’interval

I=[a,b]^ i derivables en el seu interior^ (a,b). Si f’(x) i g’(x) no s’anul·len simultàniament a

(a,b)^ , llavors existirà un punt^ ∈ c^ a b , (^ )^ ( )^

( )^ '( ) f b f a^ f^ c − =( ) ( )^ '( ) g b g a^ g c −

REGLA DE L’HÔPITAL^ Suposem que les funcions^ f(x)^ i

g(x)^ satisfan les condicions del teorema de, c^ a b ∈Cauchy en un cert interval [a,b] i s’anul·len en un punt c^ (^ ) ( )^ '( ) f x^ f^ x f(c)=g(c)=0 lim^ lim= x^ c^ x^ c →^ →( )^ '( ) g x^ g x

5.3 Derivabilitat en intervals (IV)^ (^ )^0 0 (^ )

0 1

(^0 ) sin^ sin^ '^ cos. lim lim^ lim^

cos' −^ =^ =^ →^ →^ →

=^ = x^ x^ x x^ x

x x x^11 ( )( ) 1 1 0 0 0 ( )

2 ln^ '^11 +ln( )+ (^). lim lim lim→ → →'

−^ =^

=^ = x^ x^ xx x xx x ( ) ( ) (^ ) (^ ) 0 0 0 (^ ) (^ ) 0 0

'^1

.^ lim^ lim^

limsin sin ' cos' '

lim^ lim^

−− − → → → − −− − lim^ limcos ' sin sin^ '^ cos

→^ →^

−^ −− − +^ − →^ →

−^ =^

=^ =− − −

+^ −^

−− +^ += = =^ =^ =

x^ xx x −

x^ x x^ x^

x x^ x^

x^ xx x x^ x x^ x^

e^ e^ xe e x e^ e x x x^ x^ x e e e^ ee e^ e^ e x^ xx x^ x^ x

EXEMPLES

(^ )^1 (^ ) 4

'^0

.^ lim^ lim^ lim ∞^ lim→∞ →∞^ →∞^ →∞' −^ =^ ⇒^ =^

=^ = x x x x ∞ x^ x^ x^

x x^ x^ x e^ e^ e^

e

5.3 Derivabilitat en intervals (VI) Direm que^ f^ és^ decreixent a l’interval

∈ , x x I I=[a,b] si per a tots llavors 1 2 si x x f x f x < ⇒ ≥ ( ) ( ) 1 2 1 2 I=[2,6]xx 1 2 -2 2 4 6 x > x 1 2 f(x ) 1 -50 f(x) < f(x) 12 f(x ) 2 -100 En l’interval I=[2,6] lafunció f(x) és -150 estrictamentdecreixent -

EXEMPLE

5.3 Derivabilitat en intervals (VII) Si^ f(x)^ és derivable a l’interval^ I=[a,b]

, la relació entre^ f’(x)^ i el^ creixement- decreixement^ de^ f^ en^ I^ es dedueix del teorema del valor mitjà i és:^ ¾^ Si f’ > 0 en I llavors^ f^ és estrictament creixent en I^ ¾^ Si f’ < 0 en I llavors^ f^ és estrictament decreixent en I^ ¾^ Si^ f^ és estrictament creixent en I

llavors^ f’ > 0 en I ¾^ Si^ f^ és estrictament decreixent en I

llavors^ f’ < 0 en I

-^2

(^4 6) - (^50) - (^100) - (^150) - 200 DECREIXENT

5.4 Extrems relatius (I) direm que^ f^ té un^ mínim (relatiu o local)^ ⊂^ →^ \ f^ A :^

per^ x = a^ ∈^ A^ si : ( )

0 ,^

( )^ ( ) tal quesi^ x^ a^ a^ A^ llavors

f a^ f x ∃δ >^ ∈^ −δ^ +δ ∩

≤ 3 2 f(x)> f(a) (^1). a δ x - 1 1 2 3 δ f(x) - (^1) f(a) - 2 Si en el punt^ x = a^ la funció^ f(x)^ té un mínim relatiu, llavors

f’(a)=0 i f’’(a) > 0

5.5 Concavitat i convexitat (I) :^ ,^ →^ \ Sigui f^ a b^ (^ ) ( )→ x^ f x

,^ ,^ ,^ ,∈^ <^ < i x x^ x^ a b^ x^ x^ x^ (^ ) 1 2 3 1 2 3

Direm que^ f és convexa en l’interval (a,b)

(^3) si

(^ )^ (^ )( ) ( ) f x^ f xf x f x^ −− 12 1 < x x x^ x − − 2 1 3 1 0.5 1 1.5^2

3 2 1 x^ x^21 - x^3 f(x^ )^3 f(x^ )^1 A^ f(x^ )^2 B

C També podem interpretargràficament la condició deconvexa^ d’una^ corbaobservant que el segmentde^ recta^ que^ uneix^ dospunt^ de^ la^ corba^ quedaper sobre d’aquesta^ Si f és convexa en x = a llavors

f’’(a) >

5.5 Concavitat i convexitat (III)PUNTS D’INFLEXIÓ^ Són els punt on la corba passa de ser convexa a còncava ode còncava a convexa^ -3^ -2^ -^

(^4) punt d’inflexió (^3) còncava 2 còncava (^1) convexaconvexa^1 2 x^2 x 1 - Si f presenta un punt d’inflexió en x = a llavors

f’’(a) = 0

 - -3 -2 -1^1 

• 6 5 4 3 2^4 1^3^3 -1 4 −
• 5.4 Extrems relatius (III) EXEMPLE^3 = − +^4 2 f x x x ( ) , té un màxim en el punt a = -1.1547?^42 3 4 0 1 1547 '( ) f x x x = − = → = − = −^3 ⎛ ⎞^4 46 6 0 ''( ) ''( ) f x x f = → − = ⋅ − <⎜ ⎟^3 3 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞^4 46 6 0 ''( ) ''( ) f x x f = → = ⋅ >⎜ ⎟^3 3 ⎝ ⎠^42 3 4 0 1 1547 '( ) f x x x = − = → = =
• 5.6 Aproximació d’una funció (I) -^3 -^2 - - 3 ( ) = p x x^121 -^1^5 -^1 -^0^5 0 1 2 3 - 1 - 2 - - 1^5 ( ) = p x x^110^5^5 1 1^5 - 0^5 -^1 -
  • 10 5 f(x)= sin(x) - 3 - 2 - 1 1 2 3 - 0 5 - 1 3 x^2 ( )= − p x x^2 61 - 3 - 2 -^1 1 2 3 -^1 - - 3 52 x x ( ) = − + p x x 3 1 56 12010 5 - 3 - 2 - 1 1 2 3 - 0 5 - 1 - 1 5 -

19

5.6 Aproximació d’una funció (III)^ FÓRMULA DE TAYLOR^ ¾^ Hem de trobar^ un polinomi P

(x)^ de grau no superior a^ n^ que en n^

un punt^ a^ compleixi^ P^ (a)= f(a)n^

¾^ El valor de les seves derivades fins el n-èssim ordre, en el punt

a

han de ser iguals^ als valors de les derivades corresponents de la funcióf(x) en el puntx = a.^ (^ )^

2 n = + ⋅ − + ⋅ − +^ +^ ⋅^ − ( ) P x c c x a c x a c^ x^ a "( ) (^ ) 0 1 2 n n

(^ )^ (^ )^ (^

)^ (^ ) =^ +^ −^ +^ −^

(^ )''( ) '''( ) (^ ) 2 3 + − + + − (^ )^ (^ )^ '(^ )^ 2!^

n^ n 3!! f^ a^ n f^ a^ f^ a P^ x^ f^ a^ f^ a^ x^ a^

x^ a^ x^ a^

x^ a " n

5.6 Aproximació d’una funció (IV) FÓRMULA DE TAYLOR^

2 n = + ⋅ − + ⋅ − +^ +^ ⋅^ − ( ) P x c c x a c x a c^ x^ a "( ) ( ) (^ ) 0 1 2 n n

(^ )^ (^ )^ (^ )^ 2 (^ ) 0 1

(^02) ( )^

n n c^ c^ a^ a^ c^ a^ a^ cP a (^) n

c^ f aa a =^ +^

=⋅ − + − + + ⋅ − =⋅ " ( ) ( ) ( ) ( ) (^ ) (^1) ' ) (^2121) '( ) (^2 11 ) ' −( = + ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − − = + ⋅ ⋅ ⋅ n " =+ + ⋅ =− −" P^ x^ c^ c^ x^ a^ c^ n^ x^ ann n c^ c^ a^ a^ c^ n^ a^ aP^ a^ nn

c^ f^ a^2 ( ) ( )( ) 2 3 2 ( ) ( )( )^ (^ ) 2 3 2

''( )^2 3 2^1 ''( )^2

− −^2 '' 2 1 =^ ⋅^ +^ ⋅ ⋅ ⋅^ −^ +^ +^ ⋅^ ⋅^ −^ − =^ ⋅ =^ ⋅^ +^ ⋅ ⋅ ⋅^ −^ +^ +^ ⋅^ ⋅^ −^ −

n " =" n^ n

n P^ x^ c^ c^ x^ a^ c^ n^ n^ P^ an^ n

xa cc c a a c n n fa^ a^ a^3 ( ) ( ) (^ ) (^ ) 3 4 3 ( ) ( ) (^ ) (^ )^ (^ )^33

'''( )^ 3 2^ 4 3 2^ '''

(^1 2) 3 2 4 ( )^

3 2^ ''' −= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −3 2 1 2 − = ⋅ ⋅ =^ ⋅ ⋅ +^ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅^ −^

n " =+ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −" n^ n nn

n P^ x^ c^ c^ x^ a^ c^ n^ P^ a

n^ n^ x^ a c c a c^ fa c n n^ n^ a^ a^ a ( ) ( ) n n = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅^ ⋅^ = ( ) 1 2 1 ( ) P a c n n n f^ a " ( ) ( ) n n

= ( ) c f a 0 = '( ) c f^ a 1 ''( ) f^ a = c 22 '''( ) f^ a = c 3 3! # ( )^ n ( ) f^ a = c n! n