Cambios de variable para integrales trigonom´etricas
1) Si R(−sen x, cos x) = −R(sen x, cos x) (integrando impar en seno), se hace cos x=t
con lo que
sen x=√1−t2;−sen x dx =dt =⇒dx =−dt
√1−t2
Ejemplo: Zsen3xcos2x dx =Zsen2x
| {z }
1−t2
cos2xsen x dx
| {z }
−dt
=−Z(1 −t2)t2dt.
2) Si R(sen x, −cos x) = −R(sen x, cos x) (integrando impar en coseno), se hace sen x=t
con lo que
cos x=√1−t2; cos x dx =dt =⇒dx =dt
√1−t2
Ejemplo: Z(cos3x+ cos x) sen2x dx =Z(cos2x+ 1
| {z }
2−t2
) sen2xcos x dx
| {z }
dt
=Z(2 −t2)t2dt.
3) Si R(−sen x, −cos x) = R(sen x, cos x), se hace tan x=t, con lo que
cos x=1
√1 + t2; sen x=t
√1 + t2; (1 + tan2x)dx =dt =⇒dx =dt
1 + t2
Ejemplo: Zcos2x
sen4xdx =Zdt
t4.
4) En los restantes casos, se hace tan x
2=t, con lo que
cos x
2=1
√1 + t2; sen x
2=t
√1 + t2=⇒sen x=2t
1 + t2; cos x=1−t2
1 + t2
³1 + tan2x
2´d³x
2´=dt =⇒dx =2dt
1 + t2
Ejemplo: Z2 + sen x
2 + cos xdx =Z1 + t+t2
(3 + t2)(1 + t2)dt.
5) Cambio de productos en sumas. A partir de
cos(x+y) = cos xcos y−sen xsen y
cos(x−y) = cos xcos y+ sen xsen y
sen(x+y) = sen xcos y+ cos xsen y
sen(x−y) = sen xcos y−cos xsen y
se obtiene
sen xsen y=cos(x−y)−cos(x+y)
2
cos xcos y=cos(x−y) + cos(x+y)
2
sen xcos y=sen(x−y) + sen(x+y)
2