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Teor´ıa de Control

Teor´ıa de Control

Cuadernillo de Apuntes

Cuadernillo de Apuntes

Luis Arturo Garc´ıa Delgado

Luis Arturo Garc´ıa Delgado

R(s)

−

E(s)

Gc(s) Gp(s)

C(s)

Cuadro 1: Calendario de clases

• 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL
  • 1.1. Introducción
  • 1.2. Ejemplos de sistemas de control
  • 1.3. Control en lazo cerrado en comparación con control en lazo abierto
  • 1.4. Panorama de las variables complejas y las funciones complejas
  • 1.5. Transformada de Laplace
  • 1.6. Teoremas de la transformada de Laplace
  • 1.7. Transformada inversa de Laplace
  • 1.8. Solución de ecuaciones diferenciales lineales e invariantes con el tiempo
  • 1.9. Problemas
• 1. MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DE CONTROL
  • 2.1. Introducción
  • 2.2. Función de transferencia y respuesta al impulso
  • 2.3. Sistemas de control automáticos
  • 2.4. Procedimiento para dibujar un diagrama de bloques
  • 2.5. Modelado matemático de sistemas mecánicos
  • 2.6. Modelado matemático de sistemas eléctricos
  • 2.7. Problemas
  • 2.8. Problemas B
• 1. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA Y ESTACIONARIA
  • 3.1. Introducción
  • 3.2. Sistemas de Primer Orden
  • 3.3. Sistemas de segundo orden
  • 3.4. Especificaciones de la respuesta transitoria de sistemas de segundo orden
  • 3.5. Respuesta transitoria de los sistemas de orden superior
  • 3.6. Análisis de la respuesta transitoria con MATLAB
  • 3.7. Criterio de estabilidad de Routh
  • 3.8. Efecto de las acciones de control P, I y D en el comportamiento de sistemas
  • 3.9. Errores en estado estacionario en los sistemas de control con realimentación unitaria
  • 3.10. Problemas
  • 3.11. Problemas B
  • GAR DE LAS RAÍCES 4. ANÁLISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL POR EL MÉTODO DEL LU-
  • 4.1. Introducción
  • 4.2. Gráficas del lugar de las raíces
  • 4.3. Reglas generales para dibujar el lugar de las raíces
  • 4.4. Gráficas del lugar de las raíces con MATLAB
  • 4.5. Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar de las raíces
  • 4.6. Compensación de adelanto
  • 4.7. Compensación de retardo
  • 4.8. Problemas A
• 1. MODELO DE ESTADO
  • 5.1. Introducción
  • 5.2. Descripción Matemática de Sistemas
  • 5.3. Ejemplos de Modelado de Sistemas en Ecuaciones de Estado
  • 5.4. Correlación entre FDT y Ec. de estado
  • 5.5. Problemas
• A. TABLAS Y FORMULARIOS
  • A.1. Transformadas de Laplace
  • A.2. Método de expansión en fracciones parciales
  • A.3. Diagramas de Bloques
  • A.4. Movimiento de bloques para crear formas conocidas
  • A.5. Sistemas de segundo orden
• B. Prácticas
  • B.1. Práctica 1: Funciones temporales
  • B.2. Práctica 2: Expansión en fracciones parciales con MATLAB
  • B.3. Práctica 3: Introducción a los sistemas de control con Simulink y con Xcos
  • B.4. Práctica 4: Instalación de librería de Arduino para Simulink
  • B.5. Práctica 5: Sistemas de Primer Orden
  • B.6. Práctica 6: Control Proporcional y PI de Sistemas de Primer Orden
  • B.7. Práctica 7: Control de un motor de CD. (Simulación)
  • B.8. Práctica 8: Control en lazo cerrado de un motor de CD, con Arduino y Simulink
    • lazo cerrado B.9. Práctica 9: Método del lugar geométrico de las raíces para sintonización de controladores en
  • B.10.Práctica 10: Compensadores de adelanto y retardo
• C. SOLUCIÓN A EJERCICIOS
  • Bibliografía
  • 1 U1 1.1, 1.2, 1. Clase Unidad Temas Práctica
  • 2 U1 1.4 - 1.5.
  • 3 U1 1.5.5 - 1.5.
  • 4 U1 P1 - B.
  • 5 U1 1.
  • 6 U1 1.7: 1.7.1 - 1.7.
  • 7 U1 1.7: 1.7.
  • 8 U1 P2 - B.
  • 9 U1 1.
• 10 U2 2.1, 2.2, 2.3: 2.3.1, 2.3.
• 11 U2 2.3: 2.3.3 - 2.3.
• 12 U2 2.
• 13 U2 P3 - B.
• 14 U2 2.
• 15 U2 2.6: 2.6.1, 2.6.
• 16 U2 2.6: 2.6.
• 17 U2 P4 - B.
• 18 U2 2.6: 2.6.42.6.
• 19 U2 2.6: 2.6.6, 2.6.
• 20 U2 2.6: 2.6.
• 21 U2 P5 - B.
• 22 U2 2.6: 2.6.9, 2.6.
• 23 U3 3.1, 3.
• 24 U3 3.
• 25 U3 3.4, 3.4.
• 26 U3 P6 - B.
• 27 U3 3.4.2, 3.4.3, 3.
• 28 U3 3.
• 29 U3 3.7, 3.7.
• 30 U3 P7 - B.
• 31 U3 3.7.
• 32 U3 3.8.1-3.8.
• 33 U3 3.8.5-3.8.
• 34 U3 P8 - B.
• 35 U3 3.
• 36 U4 4.1, 4.2-4.2.
• 37 U4 4.2.2, 4.3-4.3.
• 38 U4 4.3.
• 39 U4 4.4, 4.4.1, 4.4.
• 40 U4 P9 - B.
• 41 U4 4.4.3, 4.4.4, 4.4.5, 4.4.
• 42 U4 4.
• 43 U4 4.
• 44 U4 4.
• 45 U4 P10 - B.
• 46 U5 5.1, 5.
• 48 U 47 U5 5.3,
• 49 U5 5.

Unidad 1

INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS

DE CONTROL

1.1. Introducción

Variable controlada y señal de control. La variable controlada es la cantidad o condición que se mide y controla. La señal de control o variable manipulada es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Normalmente, la variable controlada es la salida del sistema. Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir o limitar la desviación del valor medido respecto del valor deseado. Planta. Una planta puede ser parte de un equipo, tal vez un conjunto de los elementos de una máquina que funcionan juntos y cuyo objetivo es efectuar una operación particular. Es cualquier objeto físico que se va a controlar. Procesos. Un proceso es una operación o un desarrollo natural progresivamente continuo, marcado por una serie de cambios graduales que se suceden unos a otros de forma relativamente fija y que conducen a un resultado o propósito determinado; una operación artificial o voluntaria que se hace de forma progresiva y que consta de una serie de acciones o movimientos controlados, sistemáticamente dirigidos hacia un resultado o propósito determinado. Llamaremos proceso a cualquier operación que se va a controlar. Algunos ejemplos son los procesos químicos, económicos y biológicos. Sistemas. Un sistema es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Un sistema no está necesariamente limitado a los sistemas físicos. Por lo tanto, la palabra sistema debe interpretarse en un sentido amplio que comprenda sistemas físicos, biológicos, económicos y similares. Control realimentado. El control realimentado se refiere a una operación que, en presencia de per- turbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia, y lo realiza tomando en cuenta esta diferencia.

1.2. Ejemplos de sistemas de control

1.2.1. Sistema de control de velocidad

La Figura 1.1 muestra un sistema regulador de velocidad. En el regulador de velocidad de Watt, la cantidad de combustible que admite la máquina se ajusta de acuerdo con la diferencia entre la velocidad que se desea de la máquina y la velocidad real. En este sistema de control la planta es la máquina y la variable controlada es la velocidad de la flecha. La diferencia entre la velocidad deseada y la velocidad real es la señal de error. La señal de control (cantidad de combustible) que se va a aplicar a la planta es la señal de actuación. La entrada externa que se aplica para alterar la variable controlada es la perturbación.

Figura 1.1: Sistema de control de velocidad

1.2.2. Sistema de control de temperatura

Figura 1.2: Sistema de control de temperatura

La temperatura del horno eléctri- co se mide mediante un termómetro, que es un dispositivo analógico. Me- diante un convertidor A/D esta señal se introduce en un controlador a tra- vés de una interfaz. Esta temperatura digital se compara con la temperatura de entrada programada, y si hay dis- crepancia (error) el controlador envía una señal al calefactor, para hacer que la temperatura del horno adquiera el valor deseado.

1.2.3. Sistemas empresariales

Un sistema empresarial es un sis- tema de lazo cerrado. Un buen diseño del mismo reducirá el control administrativo requerido. En este sistema las perturbaciones son la falta de personal o de materiales, la interrupción de las comunicaciones o los errores humanos.

El establecimiento de un buen sistema de estimación, basado en estadísticas, es imprescindible para lograr una administración adecuada. El comportamiento de tal sistema puede mejorar mediante el uso de tiempo de previsión o anticipación.

Figura 1.3: Diagrama de bloques de un sistema de organización en ingeniería.

Función compleja

F (s) = F x + jF y

La magnitud de F (s) es

√ F (^) x^2 + F (^) y^2 y el ángulo es θ = tan−^1 (F y /F x ). El complejo conjugado de F (s) es F^ ¯ (s) = F x − jF y Se dice que una función G(s) es analítica en una región si G(s) y todas sus derivadas existen en tal región. Los puntos en los cuales la función G(s) es analítica se denominan puntos ordinarios. Los puntos en los cuales G(s) no es analítica se denominan puntos singulares. Los puntos singulares en los cuales la función G(s) o sus derivadas tienden a infinito se denominan polos. Si G(s) tiende a infinito conforme s se aproxima a −p, y si la función

G(s)(s + p) n , para n = 1, 2 , 3 ,...

tiene un valor finito diferente de cero en s = −p, entonces s = −p se denomina polo de orden n. Los puntos en los cuales la función G(s) = 0 se denominan ceros.

Ejemplo 1.

Considere la función compleja

G(s) =

K(s + 2)(s + 10) s(s + 1)(s + 5)(s + 15)^2

G(s) tiene ceros en s = − 2 y s = − 10. Tiene polos simples en s = 0, s = − 1 , s = − 5 , y hay un polo doble en s = − 15. Observe que G(s) se vuelve cero en s = ∞, ya que

G(s) =

K

s^3 G(s) posee un cero triple en s = ∞. En resumen, G(s) tiene cinco ceros (s = − 2 , s = − 10 , s = ∞,s = ∞, s = ∞) y cinco polos (s = 0, s = − 1 , s = − 5 , s = − 15 , s = − 15 ).

1.5. Transformada de Laplace

Definiciones: f (t) Función del tiempo t, tal que f (t) = 0 para t < 0. s Variable compleja. L Símbolo que indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar mediante la integral de Laplace. F (s) Transformada de Laplace de f (t). La transformada de Laplace de f (t) se obtiene mediante

L[f (t)] = F (s) =

∫ (^) ∞

0

e− st dt[f (t)] =

∫ (^) ∞

0

f (t)e− st dt (1.1)

La transformada inversa de Laplace de F (s) se encuentra mediante la integral de inversión

L−^1 [F (s)] = f (t) =

2 πj

∫ (^) c + j ∞

c − j ∞

F (s)e st ds, para t > 0 (1.2)

1.5.1. Función exponencial

Considere la función f (t) =

{ 0 , para t < 0 Ae− αt , para t ≥ 0

en donde A y α son constantes. La transformada de Laplace de esta función es

L

[ Ae− αt

]

∫ (^) ∞

0

Ae− αt e− st dt = A

∫ (^) ∞

0

e−( α + s ) t dt =

A

s + α

se aprecia que la función exponencial produce un polo en el plano complejo.

1.5.2. Función escalón

Considere la función

f (t) =

{ 0 , para t < 0 A, para t ≥ 0

donde A es constante. Su transformada de Laplace se obtiene mediante

L [A] =

∫ (^) ∞

0

Ae− st dt =

A

s

La transformada de Laplace de la función escalón unitario es entonces

L [1(t)] =

s

1.5.3. Función rampa

Considere la función f (t) =

{ 0 , para t < 0 At, para t ≥ 0

donde A es constante. Su transformada de Laplace se obtiene mediante

L [At] =

∫ (^) ∞

0

Ate− st dt = At e− st −s

∣∣ ∣∣ ∣

∞

0

∫ (^) ∞

0

Ae− st −s

dt =

A

s

∫ (^) ∞

0

e− st dt

A

s^2

1.5.4. Función senoidal

Considere la función f (t) =

{ 0 , para t < 0 A sen(ωt), para t ≥ 0

donde A y ω son constantes. La función sen(ωt) se puede escribir como

sen(ωt) =

2 j (e jωt^ − e− jωt )

en donde

F (s) = L[f (t)] =

∫ (^) ∞

0

f (t)e− st dt

entonces L [f (t − α)1(t − α)] = e− αs F (s), para α ≥ 0

Ejemplo 1.

Encuentre la transformada de Laplace de la función f (t) que se muestra en la figura

Solución. La función f (t) se puede escribir como

f (t) =

a^2

1(t) −

a^2

1(t − a) +

a^2

1(t − 2 a)

Por lo tanto

F (s) = L[f (t)] =

a^2

L[1(t)] −

a^2

L[1(t − a)] +

a^2

L[1(t − 2 a)]

=

a^2

s

a^2

s e− as^ +

a^2

s e−^2 as

=

a^2 s (1 − 2 e− as^ + e−^2 as )

1.5.6. Función pulso

Considere la función f (t) =

{ (^) A t 0 ,^ para^0 ≤^ t^ ≤^ t^0 0 , para t < 0 , t 0 < t

donde A y t 0 son constantes. Otra forma de representarlo es

f (t) =

A

t 0

1(t) −

A

t 0

1(t − t 0 ) (1.8)

La transformada de Laplace de f (t) es

L[f (t)] = L

[ A t 0

1(t)

] − L

[ A t 0

1(t − t 0 )

]

A

t 0 s

A

t 0 s

e− st^0

=

A

t 0 s

(1 − e− st^0 )

1.5.7. Función impulso

Considere la función

g(t) =

{ l´ım t 0 → (^0) tA 0 , para 0 ≤ t ≤ t 0 0 , para t < 0 , t 0 < t

donde A y t 0 son constantes. La transformada de Laplace de g(t) es

L[g(t)] = l´ım t 0 → 0

[ A

t 0 s (1 − e− st^0 )

] = l´ım t 0 → 0

d dt 0 [A(1^ −^ e

− st (^0) )] d dt 0 (t^0 s) = As s

= A

Ejemplo 1.

Encuentre el límite de la función F (s) del Ejemplo 1.3 conforme a tiende a cero Solución. Conforme a tiende a cero, obtenemos

l´ım a → 0 F (s) = l´ım a → 0

1 − 2 e− as^ + e−^2 as a^2 s

= l´ım a → 0

d da (1^ −^2 e − as (^) + e− 2 as ) d da (a (^2) s)

= l´ım a → 0

2 se− as^ − 2 se−^2 as 2 as

= l´ım a → 0

e− as^ − e−^2 as a

= (^) a l´ım→ 0

d da (e

− as (^) − e− 2 as ) d da a^

= l´ a ım→ 0

−se− as^ + 2se−^2 as 1 = −s + 2s = s

1.5.8. Multiplicación de f ( t ) por e − αt

L

[ e− αt f (t)

]

∫ (^) ∞

0

e− αt f (t)e− st dt = F (s + α)

Ejemplo 1.

Para obtener la transformada de Laplace de e− αt^ sen ωt. Si sabemos que

L[sen ωt] = ω s^2 + ω^2

= F (s)

entonces L[e− αt^ sen ωt] = F (s + α) = ω (s + α)^2 + ω^2

1.5.9. Cambio de la escala de tiempo

Si t se cambia a t/α, entonces f (t) cambia a f (t/α)

L

[ f

( t α

)]

∫ (^) ∞

0

f

( t α

) e− st dt

1.6.2. Teorema de integración real

Si f (t) es de orden exponencial, existe la transformada de Laplace de

∫ f (t)dt y se obtiene mediante

L

[∫ f (t)dt

]

F (s) s

f −^1 (0) s

en donde F (s) = L[f (t)] y f −^1 (0) =

∫ f (t)dt evaluado en t = 0.

1.6.3. Teorema del valor final

Si f (t) y df (t)/dt se pueden transformar por el método de Laplace, si F (s) es la transformada de Laplace de f (t), y si existe l´ım t →∞ f (t), entonces

l´ım t →∞ f (t) = l´ım s → 0 sF (s)

Para comprobar el teorema, se hace lo siguiente

l´ım s → 0

∫ (^) ∞

0

[ d dt

f (t)

] e− st dt = l´ım s → 0 [sF (s) − f (0)]

Dado que l´ım s → 0 e− st^ = 1, obtenemos ∫ (^) ∞

0

[ d dt f (t)

] dt = f (t)

∣∣ ∣∣

∞ 0

= f (∞) − f (0) = l´ım s → 0 sF (s) − f (0)

a partir de lo cual f (∞) = l´ t →∞ım f (t) = l´ s ım→ 0 sF (s)

Ejemplo 1.

Dado F (s) =

s(s + 1) ¿Cuál es l´ım t →∞ f (t)? Debido a que el polo de sF (s) = 1/(s + 1) se encuentra en el semiplano izquierdo del plano s, existe l´ım t →∞ f (t) f (∞) = l´ım t →∞ f (t) = l´ım s → 0 sF (s) = l´ım s → 0

s + 1

Se puede verificar el resultado, dado que

f (t) = 1 − e− t , para t ≥ 0

1.6.4. Teorema del valor inicial

Si f (t) y df (t)/dt se pueden transformar por el método de Laplace y si existe l´ım s →∞ sF (s), entonces f (0+) = l´ s →∞ım sF (s)

Ejemplo 1.

Encuentre el valor inicial de f (t) si F (s) está definida mediante

F (s) =

2 s + 1 s(s^2 + s + 1)

Solución. Aplicando el teorema de valor inicial

f (0) = l´ s →∞ım sF (s) = l´ s →∞ım

s(2s + 1) s(s^2 + s + 1) = l´ s →∞ım

2 s + 1 s^2 + s + 1

como el resultado está indeterminado, se aplica la regla de L’Hôpital

f (0) = l´ s →∞ım

d ds

(2s + 1) d ds (s^2 + s + 1)

= l´ s →∞ım

2 s + 1

1.6.5. Teorema de diferenciación compleja

Si f (t) se puede transformar mediante el método de Laplace, entonces, excepto en los polos de F (s)

L [tf (t)] = − d ds

F (s)

en donde F (s) = L[f (t)]. Así mismo

L

[ t^2 f (t)

]

d^2 ds^2

F (s)

En general L [t n f (t)] = (−1) n^

d n ds n^ F (s)

Ejemplo 1.

Encuentre la transformada de Laplace de

f (t) =

{ 0 , para t < 0 te−^3 t , para t ≥ 0

Solución. Dado que L[e−^3 t ] =

s + 3 entonces L[te−^3 t ] = − d ds

s + 3

(s + 3)^2

Ejemplo 1.

Encuentre la transformada de Laplace de

f (t) =

{ 0 , para t < 0 t^2 sen ωt, para t ≥ 0

Solución. Dado que L[sen ωt] = ω s^2 + ω^2

1.7. Transformada inversa de Laplace

1.7.1. Método de expansión en fracciones parciales

La transformada de Laplace de f (t) se puede expresar como

F (s) =

B(s) A(s)

en donde A(s) y B(s) son polinomios en s. F (s) se puede separar en componentes más simples

F (s) = F 1 (s) + F 2 (s) + · · · + F n (s)

y es fácil encontrar la transformada inversa de cada componente

L−^1 [F (s)] = L−^1 [F 1 (s)] + L−^1 [F 2 (s)] + · · · + L−^1 [F n (s)] = f 1 (t) + f 2 (t) + · · · + f n (t)

1.7.2. Expansión en fracciones parciales para polos distintos

Suponga que se tiene una función

F (s) = B(s) A(s)

K(s + z 1 )(s + z 2 ) · · · (s + z m ) (s + p 1 )(s + p 2 ) · · · (s + p n )

, para m < n

en donde p 1 , p 2 ,... , p n y z 1 , z 2 ,... , z m son cantidades reales o complejas. Si F (s) sólo involucra polos distintos, entonces

F (s) = B(s) A(s)

a 1 s + p 1

a 2 s + p 2

a n s + p n

en donde a k (k = 1, 2 ,... , n) son constantes. Para encontrar estos coeficientes

a k =

[ (s + p k ) ·

B(s) A(s)

]

s =− pk

y para cada uno de los polos

L−^1

[ a k s + p k

] = a k e− pk^ t

Ejemplo 1.

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

F (s) = s + 3 (s + 1)(s + 2)

La expansión en fracciones parciales es

F (s) =

B(s) A(s)

a 1 s + 1

a 2 s + 2

en donde

a 1 =

[ (s + 1) · s + 3 (s + 1)(s + 2)

]

s =− 1

[ s + 3 s + 2

]

s =− 1

a 2 =

[ (s + 2) · s + 3 (s + 1)(s + 2)

]

s =− 2

[ s + 3 s + 1

]

s =− 2

Por lo tanto

f (t) = L−^1 [F (s)] = L−^1

[ 2 s + 1

]

• L−^1

[ − 1 s + 2

]

= 2 e− t^ − e−^2 t^ para t ≥ 0

Ejemplo 1.

Obtenga la transformada inversa de Laplace de

G(s) = s^3 + 5s^2 + 9s + 7 (s + 1)(s + 2)

Como el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denomidador, hay que dividir, entonces

G(s) = s + 2 +

s + 3 (s + 1)(s + 2) = s + 2 +

s + 1

s + 2

Entonces

g(t) = L−^1 [G(s)] = L−^1 [s] + L−^1 [2] + L−^1

[ 2 s + 1

]

• L−^1

[ − 1 s + 2

]

d dt

δ(t) + 2δ(t) + 2e− t^ − e−^2 t^ para t ≥ 0

Ejercicio 1.

Encuentre la transformada inversa de Laplace de

F (s) = s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5 s(s + 1)

1.7.3. Expansión en fracciones parciales para polos complejos conjugados

Suponga que se tiene una función

F (s) = B(s) A(s)

k 1 ω (s + α)^2 + ω^2

k 2 (s + α) (s + α)^2 + ω^2

a 1 s + p 1

donde k 1 , k 2 , α y ω son constantes. Los coeficientes k 1 y k 2 se obtienen mediante

k 1 + jk 2 =

[ (s + α)^2 + ω^2 ω

B(s) A(s)

]

s =− α + jω La transformada inversa de Laplace para ambos términos es

L−^1

[ k 1

ω (s + α)^2 + ω^2

] = k 1 e− αt^ sen(ωt)

L−^1

[ k 2

s + α (s + α)^2 + ω^2

] = k 2 e− αt^ cos(ωt)