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SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO
Simplificación diagramas
de bloques
A D G Dt AQ - B D A^ Dt D Q DAG - B
i (^) i
B
%,^ '^ B A
at
- A+ ? - (^) ° (^) A - + _ - (^) +
A- ¡
D A D A A
seintercambia B C^ ④^ D^ - C (^) B (^) ⑤ ☒ (^) ⑥ A Dt De^ ①^ DX A- D
A
D
- Y 1- +^ GH H • isigno! Modelado (^) en el (^) espacio de estados h estados :^ Xs,... , Xr r entradas :^ Us (^).... , Ur } se pueden expresar^ vectorialmente. M Salidas : (^) Ys ,.^.^. , YM Í - _ Í 1- (^) E. Ü sigo
Í - - 1- + I. (^) u j - EI +^ EE^ D= :O y - _ EE A- :^ matriz^ de^ estado^ E^ :^ Matriz^ de^ salida E :^ matriz^ de^ entrada^ D= :^ matriz^ de^ transmisión^ directa Relación (^) FTY espacio de^ estados:^ 41st -^ - EISE - A- ¡
= Et^ D=
Mostradas
r salidas Representación en^
el
espacio de^ estados^ de (^) ecuaciones (^) diferenciales
"^ (n^ )^ (^ n^ -^ D
y "
t (^)... tan- , jtan.y-bo.tl^ tbsut^
. (^).. tbn.
t ... tbn-i.stbnsbo.Htbs.li
t.i.tbn-1.ie/-bn.uUlsl=sntag.sn-'t...tan-,Stan •
ijtdy !Ñ " t (^).. (^). tan. , iftany ×, - - y
B. Ú^
Psu = ¡s - Ps4 • Ís -^ - Xrt (^) B. U xz
ij
poií
- Pan ☐ (^) ¡2--113 + Ba - U ¡n : - any - an - (^1) × 2 -...^ - dsxntpnll
O 1 o.^.^.^ O
xs
- p, _ O O 1 •^ •^ ◦^ O ✗ (^2 ) %?
= : : : : : + : - u
; y
- o^ :O^.^ +^ piu ¡n - i O (^) O O °^ "^1 ✗ ni Pts- In (^). -^ ¡n^. _^ -^ an^
- an - (^) I - an -
° "
913o por
azpo Bn - s
bn - i
913N (^) - -. (^).. - an -2ps
an- 113o P}^ =D} -9132 -92ps - Formas (^) canónicas
- Forma^ canónica^ controlable
¡s
O (^1) O.^.^. O
xs
&^ O^ O^ A^.^.^.^ O^ X2^ O
? = : : : : : t : n
In. , O^ O^ O^.^.^.^1 Xn. , O
-^ ¡n (^)..^ -^ an^ - an - I^ - an (^) -2.^.^. -01. -^ Xn^ _ -1 -.
XI
y = (^) [bn - anbo (^) bn.
- ambo.^.^. bs -^ asbo^ - A^ +^ bon -1in (^).
- (^) Forma canónica observable
¡s
xs
- bn -^ anbo ir =/ ° (^) ◦ " ° - % / (^) | ? /
fbn-i-an-ibo.ee 1 O.^.^ - O - an (^) -
: :^ :^ :^.^..
- in - , _^ O^ O "^. 1 - as ; -^ Xn^ _ _ bs^ - Clsbo _
xs
_ X y = O (^) O (^)... O 1- : (^) tboll
Xn - I
-^ An^ -
- (^) Traspuesta de^ la^ ecuación (^) de estado (^) de la (^) forma canónica controlable
- Forma canónica
diagonal
YIS)^ =^ bosntbss
t.itbn.is tbn^ = (^) bota Stp,
Uls) • lstpsllstpa ).^.^ - lstpn ) (^) Stp,
- "^ ' + {Fps solo contiene (^) raíces distintas
Iii - ps 1-
Ir (^) =^ - R
.. ° | " + [ 1 u (^) y :c, ca.^.^ - Cn / & ? / tbou
In. -^ O^
- Pn (^) _ ._^ Xn^ _ _^ 1-^ -
N -
Análisis (^) de la (^) respuesta transitoria y estacionario
- (^) sistemas de primer orden (^) solo tienen un polo, no (^) pueden tener^ ceros
A
Rts) Cls) 1
( (s^ ) RIS) = 1 t^ TS
- (^) cte de tiempo del^ sistema Para hallar la^ respuesta basta^ con sustituir Rlsl y hacer ti! Entrada impulso ( RIS) - -^ 1)^ Entrada^ escalón^ (^ 121st^
f- )
Cls) = 1- [¡ c (f) =^ 1- e-^ "T 1- + (^) Tg ¥ CCH = f- e-^ % Clsl = §. 1 ¥
-1s
CLTI = 0, (G) = Ésta, [ ' is (^) oct ) = Ka - Ka.^ e-^ at CITI = 0,632 (^) Ka AW Entrada oscilatoria (^) rlt) = Asenwt → (^) RLSI =
AW
52 tw
lstjwlsjw) se (^) realiza la (^) descomposición en (^) fracciones simples : RIS)^ =
K AW^ r,
Sta (^) lstjwlls - jw) = stjw
SÑJW
" Sta Llamando 01st =
a
los residuos^ quedan : = (^) A (^) / Gljwy
.^ e
∅
- 2J : B-^ = Atocjwy. EH 2J i ra =
KAW
92 + WZ siendo / (^) Qcjwl /^ = K
a
' (^) tú Y^ ∅ =^ - arctgwa Finalmente, ylt)^ = AIGCJWII senlwtt^ ∅^ )^ t^ Ré " t ≥^ o La salida^ es^ la^ entrada retrasada^ 0rad ( cuando 1-^ →^ a)
- (^) Sistemas de segundo orden a- = } wn (^) latenuación ) Cls)^ Win^ wn = (^) frecuencia natural no amortiguada 121st = 52+23 Wnstwn^ } =^ coeficiente de^ amortiguamiento. Polos :^ 51,2 =^ -^ a-^ ±^ 0-2^ _ wnr {
≥ O^ POLOS REALES
< (^) O POLOS (^) COMPLEJOS El (^) comportamiento dinámico del^ sistema (^) depende de^ } y con
1) 3=0 =D^ no^ amortiguado →^ polos complejos conjugados imaginarios
- (^) 0<3 <^1 subamortiguado →^ polos (^) complejos conjugados
- (^) 3=1 críticamente amortiguado. → polo real doble ( (^) negativo ) 413 >^1 sistema^ sobreamortiguado.^ →^ dos^ polos reales wñ Caso sub amortiguado los^ }^ < (^) 1) Clst Rls) = 15+0-12 1-^ WCT 51,
= - a- ±
jwn 1-^32 polos (^) complejos conjugados Wd Ajw ss (^) tú o 0 =^ arcsen^ (3) Wn ←
1 De ⊖
-3Wh
52 ✗ El (^) Módulo de los
polos es^3 ¥^ twn^ (1-3/2)^
= Wn el Módulo viene (^) dado por la (^) frecuencia natural
- O^ solo^ depende de^ } wri caso (^) críticamente amortiguado (3--1)^ "" RLS) = 1St (^) Wn ) ' ojw 51,2 =^ - Wn E^ IR^ Aun
polos (^) iguales y reales wñ Caso sobre amortiguado ( (^) } >^ 1)^ "" 121st = (s^ - g) (^) (5-52) 51, = - } Wn^ ±^ Wn^ 32-1^ E^ IR (^) ( negativos (^) y diferentes^ )
Respuesta al^ impulso de^ sistemas (^) de segundo orden
- sistema^ subamortiguado (^ 023<1) Clt) =
Wn
- }, e- > "" tsenfwn 1-^ sjt ) Mpsedaent = atan (^) / (^) 1-3-32 ) it - si atan (^) / 1-3-32 )^ ) Wn (^) 1- (^32) siendo clttmáx
- Sistema^ críticamente
amortiguado 13=^
) ACK ) Cct)^ =^ Wit.^ e-^ wnt 3= 3>
- sistema^ sobre amortiguado (}^ > (^) 1) cct/^ = Wn 232 ,
le
»ᵗ
-^ esat^ ) : Error estacionario ess = glifos. Rlst 1 1 +^ 41st
* R^ =
} ess^
1- + (^) kp ikp^
Tipo Hs^ V5^ %
; Ku -^ _ lim O (^) % tk o^ a (^) g-oso SQLS) velocidad 1- O (^) 11K lo 2 O^ O^ HK
t
ka i (^) KA - - ¡ ÉQLS) aceleración Estabilidad (^) lpasosl LRIGCSI (^) ) Nyquist (Qcjwl^ )
- Polos^ y ceros (^ planos)^ 1) Ceros?^ z^ -^ -^ NTP 2)Partes del eje real (^) que ELR^ 2)^ Recorrer^ el^ contorno^ de^ Nyquist 3)Asíntotas (^) y centroide (^) 3) Cortes (^) con los ejes Wo (^) Qljwo)
- (^) Puntos de ruptura émgreso
5) Ángulos de salida
y llegada
si retardo :
- Cortes^ con los^ ejes LHP)^ - Cortes con ge real :
- Punto de acjwl = < (^) wo GYM
- _ si (^) retardo :^ corte
- Asíntotas → (^) condición de fase
- Dar valores (^) intermedios 5=5 +^ jw
líue
E →^ En
- Cortes (^) con ejes → (^) condición (^) fase con
s -^ - jw
Bode (^) l identificación de^ sistemas) sistemas de (^) fase mínima ! sin (^) pendiente inicial en (^) IGIDB → (^) ni polos
ni ceros en el
{ origen Vinicio/mente en (^) fase ② { Pendiente negativa inicial en amplitud
Fase
negativa inicial → (^) polos) (^) en el origen
- 20dB/déc y - 90 º polo (^) simple.^ Cuando^ w^
,^ FISI^
Ks ③ (^) { Pendiente
positiva Inicial^ en^ amplitud → cero1st en el
origen Fase positiva inicial +20dB/déc (^) y 1-^90 º^ polo simple.^ Cuando^ W^ « 1 , Fls) =^ K - S sistemas de (^) fase no mínima cuando (^) hay ceros en el^ semiplano derecho^ (s^ -^ a)^ =^ -^11 - sa ) se^ dice^ que el^ sistema es (^) de (^) fase no Mínima (^). Lo (^) sabremos porque el^ diagrama de^ amplitudes^ y el^ de^ fase no son coherentes (^) a bajas frecuencias . El (^) número de (^) ceros o polos en el^ origen se obtienen^ del diagrama de (^) amplitudes Resonancia Wr =^ Wn^1 - Mr ≈^ -20109123 )^3 =D^ Con^ Wn^ ya tenemos^ el^ polo/cero^ definido Márgenes de^ fase^ y^ ganancia
Margen de^ fase^ : PM =^180 º^ t^ QIJWPM) Donde (^) WPM lo (^) obtenemos (^) forzando Qljwpm ) = (^1) / corte^ con 0dB^ )
Margen de^ ganancia : QM =
Qlj ) i ①^ MDB = -2010g (^) Qlj ) Donde (^) wam lo^ obtenemos^ forzando
Qljwam
) =^ -^180 º ia (^) Ancho de banda Paso por 3dB →
Qljw
)
=^ 1- A
- l (^)? (^) /Y +434 (^) :{ ¡ ≈ (^)!
- Las^ ramas salen (^) y llegan por^ puntos^ de ruptura
e
ingreso. Cuando (^) están en el^ eje real (^) lo hacen (^) a 90 º
- si (^) no hay suficientes^ polos o ceros para hacer " parejas "
las (^) ramas van o (^) vienen del (^) infinito.
polos (^2) polos y un (^) cero
✗ ✗ <^ >^ O ✗^ '^ ✗
↓ (^1) polo extra^ →^1 línea a
polos extra →^2 líneas a
- Las^ ramas^ se^ van^ al^ Infinito (^) siguiendo asíntotas. M - M =^ #polos - # ceros ∅, = ' tó^ ' / 2kt (^) b) K =^ 0,1 (^) , 2 ,...
.^ In^ - m - 1) " es el^ n°^ de^ ramas^ que n - M Van a (^0). centroide = IP◦los^ tintos^ -^ E^ ceros^ tintos 1 línea •^180 º M -^ M^2 líneas o^90 º^ y 270 º^ (^ -^90 º) si (^) hay 3 ramas (^) que se van^ al^ cs^ [ 3 polos extra (^) ] 60 º,^ - 60 º (^) y 180 º
a lo
^
%
su
- si^
hay
al (^) Menos dos asíntotas,^ la^ suma de (^) todas las raíces (^) es constante Viendo la figura anterior se ve (^) que con K^ =^ O^ la suma es -6 (^). Conforme los (^) dos polos de^ la^ derecha^ se^ Mueven^ a^ la^ derecha,^ lo^ hacen^ a^ la^42 de^ velocidad que el (^) polo de la^ izquierda
Pasos para obtener^ el^ LR^ /^ Ogata ) Denominador FL lazo (^) cerrado Num →^ ceros (^) (m^ )^ El^ Mayor nos^ da 1 +^ QLS (^) ) - tllsl =^ O o (^) A t (^) K. Qls) PCs)
Den → polos ( n (^) ) }
el n° de ramas
QLSIHLS (^) ) =^ IISÓ (^) 12kt 1) (^) [condición de ángulo] Nos dice^ si^ un (^) punto pertenece al^ LR^ 7k^ /^ el^ sistema^ tenga dicha^ raíz 1)situar (^) los polos (^) y ceros^ en^ el plano S. Las ramas van de los^ polos a los ceros. n - m (^) ramas en el (^) infinito.
- Determinar (^) los lugares de (^) las raíces sobre el eje real La parte del eje real (^) a la (^) izquierda de un n° impar
de
polos y ceros
es (^) parte del^ lugar de^ las^ raíces
- Determinar las^ asíntotas ∅, = 180 º. 12kt b) K = (^) 0, , 2 ,.^.^. ,^ In^
- M - 1) n - M centroide = ZPOIOSHMIOJ -^ E^ ceros^ finitos n - M
- Encontrar^ los^ puntos de^ ruptura (^) y de^ ingreso sobre ese
real
en (^) pares conjugados
son las raíces^ Múltiples de la^ ec característica
QIS) +^ K. Pls) = (^) O =D K = - Q (s (^) ) P (s^ )^ ¥^ = (^) O =D (^) Ki si (^) Ki =^ _ Al"^ > o pto real Bls)
5) Determinar el ángulo de salida (ángulo de^
llegada ) de (^) una rama a (^) partir de un polo (^ cero) complejo. ✗ salida (^) desde ángulo^ de^ vectores^ hacia
un polo
complejo = IN -^ Iángulo^ de (^) vectores hacia el polo complejo^
desde los +^ E^ el
polo desde (^) los ceros demás (^) polos
✗ llegada desde
el coro
complejo desde^ ug^
- [ ángulo de vectores hacia
un cepo
complejo
= 180 º -^ -2°
" (^) ° de "°"'" hacia el cero desde los^ polos demás (^) ceros
- Puntos^ donde LR cruzan el^
eje imaginario
Entrar a (^) la ec caract. con s^ -^ - jw.
- Asíntotas^. Hay n^ -^ M^ :^ 4-1^ =3^ ramas que se^ vana^
o.
-0= ceros - EPOIOS lo^ -1^ -2+24-2-42 ) -^ (^ -^ 3)^ -51-
n - m
= 3 = 3 = - } = -0, ↑ centroide (^180) º z = (^60) º Angulos = -1-180429-1-1 ) n - m = { 540 º : 180 º (se^ puede saber^ de (^) memoria) 3 540 º (^) = 300 º = - 60 º
;
asíntotas
B
✗ -^ -^ -^ -^ - 2
L 1
1 ¡ 60 º ó
a • > o i^ ¥!, ×
-3,91 -^3 , -1-0,49 P,
l
^
y
✗ -^ -^ -^ -^ - -
PY
- Corte^ con^ eje real^ a partir de^ ahí el sistema sevudve Inestable
- con (^) Routh - Hurwitz alaec. característica 51- 1 tk. _^ =^ O 54+5531-12521- 541-5531-1252+18 tkls^ t^ 3k^ =^ O (^54 1 12) 3K (^53 5 8) tk O
a =
K2 (^) +31k -
K -
52 52 -^ K g
3k O
SI a 0 5 º (^) 3K
52 - K > O =D K < 52
tí (^) +31K - ≥ (^) o K2^ + (^) 31k -416<0 (^) =D (^) KEI-41,12 (^) ; 10,12]
K -52 ⊖
El sistema es^ estable^ para KE (^) [0,1-0,12] [ (^) kcrilico
Particularizamos la^ tabla para K = 10, s " (^1 12) 30, g. (^3 5) 18, (^52) 8,37 30,
s
" o (^) → el cero es Inestable (^). Penúltima (^) fila dos polos complejos en jw . 5 º (^) 30, A partir de^
los coeficientes de^ la^ fila de^ encima se^ obtiene^ el^ corte
8,3752 +^ 30,33 =^ O^ =D^ S^ =^ ±^ 1,9 (^) ¡
* s - _
jw
en la^ ec. característica (^). Se
iguala
a O^ la^ parte real^ y se^ despeja W y
K.
1 +^ jwt^3 kjwljwtslljwt2-2jlljwi-2t2.gl
En la^ HP^ :^ re^ (chorizo^ )^ da^ la^ parte real^ e^ IM^ /chorizo) la^ imaginaría se hace^ un sistema → (^) W = 1,9 rad^ /S^ QCSIHIS ) 5= = → (^) K = 10,
- (^) Ángulos de^ salida/llegada.^ Lo^ que se^ hace^ es^ aplicar el^ criterio^ del^ argumento. Veamoslo (^) gráficamente...^ Nos^ ayuda a^ confirmar lo^ que Intimos p, ¿ 0ps ? (^) Valdrá lo que falte^ para que se^ cumpla el (^) criterio... *←^
- -^ -^ - z ! 0ps^ = (^180) º _ , ∅p
t
0g
= -98,1%
↑ %^ ' "^ desde^ los^ demás^ desde i ✗ × (^) polos ceros
- 3 1 - s (^) B ¡ Op, = (^90) º (^) tatg (?^ )^ = (^135) º
- , Op,^ =^90 º^ tatg (^) / £ (^) ) =^ 116,57° PY
py
: 90 º % =^ atg^ ( (^) %) =^ 63,43°
KLR 41st :
51st 5) (^) (5+0,05) =D A^ tk.Q7.SN SCS 1-^ 5) (^) (51-0,05) = °
M =3^ ramas
h - M :3 al cs
↑
160 º
- 1,68 0, S dklkio { Ss =^ -0, ds (^) 52=-3,34 LR^ pertenecería si^ KLO
D- =
= (^) -1, corte con (^) qe imaginario : ffjw ) → { kciit = 1,2625=0,75 K^ K^ : 1, W : 0,
Ejercicios fundamentales 1- t^ K. (5+2) 521-25+ Ceros :^ 5=- Polos :^ si
, ,^
= -111,41J }^ Y :{ (^) → (^2) ramas ,^ 1-^ ala
ds
' O =D
{ Si (^) -3, Puntos de^ ruptura : 1<=-51-351-3^ dk 51-2 (^) Si (^) -0,268¢ LR 45 º
1-
calculamos el ángulo de salida de^ los^
polos
COMO
0ps
Op,^ toc^
= (^180) º - 90 º tatg (^) /
/ = (^145) º
¡ 7120 º }^ Wn (^) 1-32 -^ - Egun
↑
↑ (^) K
Gráficamente :
signo ? "
| = 180 º (^) wn - -0,667 rock
- 120 º - atan / ¡%.IT/-atanl2-o.swn 51,2=-0,333 ±^ ¡ 0, 1 tk^. (51-2115+3) (^) = o K =^ - 5151-1 ) 51st 1) (51-21151-3) Ceros : 5=- 5=-3 }^ M - - Polos :S^
- _ (^) o } n (^) , } No (^) hay ramas en el óltodoaaci)
¡Y
{ 5=-0, 52=-2, < ◦ <^1 >^ O × (^) pa ✗
K :O
- (^3) -2,37-2 -1 (^) -0, < Estable ltk (^) > O
1- +^ K
1st 1) 521St (^) 3,6 )
= O
ceros :^ 5=-1 }^ M^ =^ A Polos :^ 5=0 (doble) } n =^ , }^ (^2) ramas al co^ II^90 º)^ con^ a-^ =
5 =^ - 3,
^
- 1, Puntos de^ ruptura : da,} = (^) o { 9,2=-1%5%9936 1<=6.35^ ±^ 2,53J EE^ no^ es^ pto 5=0 → porque los^ polos dobles^ se^ separan de "Pwa Hacer (^) siempre con^ csdue Los (^) polos dobles se^ van^ a^ t.co.
