Matem´aticas I
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez
Hip´olito Irago Ba´ulde
Dpto. de Matem´atica Aplicada.
Facultad de Matem´aticas.
Universidad de Santiago de Compostela.
Grado de Qu´ımicas Matem´aticas I
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sistemas de coordenadas, Apuntes de Matemáticas
Asignatura: Matemáticas, Profesor: Hipólito Hipólito, Carrera: Química, Universidad: USC
Tipo: Apuntes
2010/2011
1 / 19
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Matem´aticas I
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez Hip´olito Irago Ba´ulde
Dpto. de Matem´atica Aplicada. Facultad de Matem´aticas. Universidad de Santiago de Compostela.
Los n´umeros.
[Referencia: Steiner, pp. 3-10] Los n´umeros naturales son 1, 2 ,... , n,.. .. El conjunto de los n´umeros naturales se denota por IN. Con ellos se realiza la operaci´on suma (+). Los n´umeros enteros se representan por ZZ y son
... , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,.. .. Operaciones algebraicas: suma (+) y resta (−). Los n´umeros racionales se representan por QI y son el conjunto de n´umeros { (^) mn , n, m ∈ ZZ, m 6 = 0}. Ejemplos: 1 2 = 0,^5 ,^
1 3 = 0,^33333...^ = 0.ˆ^3 Los n´umeros irracionales se representan por II y son aquellos que no se pueden expresar como cociente de n´umeros enteros. Ejs.: π = 3, 14159265... ,
2 = 1, 41421356.. .. Aparecen a la hora de resolver ecuaciones cuadr´aticas, como x^2 = 2, ´o algebraicas, a 0 + a 1 x + a 2 x^2 +... + anxn^ = 0. Podemos introducir ahora los n´umeros reales, que forman el ”continuo”de los n´umeros que representan a los puntos de la recta geom´etrica. El conjunto de los reales se denota por IR, y es IR = QI ∪ II.
Coordenadas en el plano
Coordenadas Cartesianas
Hasta ahora se ha utilizado habitualmente el sistema de coordenadas cartesiano para el plano y el espacio:
Cada punto P del plano se representa por un par de n´umeros reales, proyecciones perpendiculares, sobre las rectas ejes: x en el horizontal e y en el vertical. As´ı, P se representa por el par ordenado (x, y ), x, y ∈ IR. El conjunto de pares (x, y ) se denota IR^2.
Coordenadas en el plano.
Coordenadas Polares
[Referencia: Steiner, pp. 61-63] Este sistema viene definido por un punto fijo O, llamado polo, y una semirrecta con origen en O llamada semieje polar, que habitualmente coincide con la parte positiva del eje x, eje polar:
Cada punto P se representa por (r , θ), siendo r la distancia de P al polo O y θ el ´angulo orientado positivamente entre r y el eje polar. A los n´umeros (r , θ) se les llama coordenadas polares de P.
Coordenadas en el plano.
Ejemplo
- Hallar las coordenadas cartesianas del punto cuyas coordenadas polares son (3, 54 π ).
Soluci´on: Se tiene que r = 3 θ = 54 π = π + π 4 Entonces: (x, y ) = (r cos θ, r sen θ) = (3 cos( 5 π 4 ), 3 sen( 5 π 4 )) = (− 3 2
√ 2 , − 3 2
√
Ejemplo
- Hallar las coordenadas polares del punto cuyas coordenadas cartesianas son (
Soluci´on: Se tiene que
r =
√ 75 4
25 4 = 5, tan θ = − 5 / 2 5
√ 3 / 2
= − 1 √ 3 Luego θ est´a relacionado con π 6 , y ser´a π 2 + π 6 ´o bien 2π − π 6. Debido a que el punto
Coordenadas en el plano.
es del 4o^ cuadrante, el ´angulo es el segundo, y las coordenadas polares son (5, 2 π − π 6 ) = (5, 11 π 6 )
Ejemplo
- Expresar en coordenadas polares la circunferencia x^2 + y 2 = 2.
Soluci´on: Se trata de la circunferencia de centro (0, 0) y radio
√ 2; luego, en polares ser´a r =
√ x^2 + y 2 =
√ 2 y θ ∈ [0, 2 π).
Ejemplo
- Expresar la siguiente ecuaci´on en coordenadas cartesianas: r = 3 cos θ. Soluci´on: Multiplico la ecuaci´on por r para obtener: r 2 = 3r cos θ Sustituyendo por las f´ormulas de relaci´on entre las coordenadas: x^2 + y 2 = 3x Ahora agrupamos x^2 y x para hacer un cuadrado perfecto: x^2 − 3 x + 9 4
- y 2 = 9 4 o sea, (^) Grado de Qu´ımicas Matem´aticas I
Coordenadas en el espacio.
Coordenadas Cil´ındricas
[Referencia: Steiner, p. 270] Son una generalizaci´on de las coordenadas polares a R^3. La representaci´on de un punto P en coordenadas cil´ındricas es (ρ, φ, z) donde (ρ, φ) hacen el papel de las coordenadas polares, con notaci´on cambiada, respecto a las componentes planas (x, y ) del punto. Por tanto, las f´ormulas de conversi´on de cil´ındricas a cartesianas, y viceversa, son:
x = ρ cos φ y = ρ sen φ z = z
ρ =
x^2 + y 2 φ tal que tan φ = yx z = z
Coordenadas en el espacio.
Ejemplo
Coordenadas cartesianas Coordenadas cil´ındricas
(1, 1 , 1) ( √ 2 , π 4 , 1). (0, 1 , 2) (1, π/ 2 , 2).
Coordenadas en el espacio.
Ejemplo Cono de eje z.
Su ecuaci´on en coordenadas cartesianas es z^2 = x^2 + y 2 ⇔ z =
√ x^2 + y 2. Sustituyendo la f´ormula de relaci´on entre ρ y x, y (de polares), la ecuaci´on queda z = ±ρ que es la ecuaci´on en cil´ındricas.
Coordenadas en el espacio.
Ejemplo Paraboloide de eje z.
Su ecuaci´on en coordenadas cartesianas es z = x^2 + y 2. Sustituyendo la f´ormula de relaci´on entre ρ y x, y (de polares), la ecuaci´on queda z = ρ que es la ecuaci´on en cil´ındricas.
Coordenadas en el espacio.
Coordenadas Esf´ericas
[Referencia: Steiner, pp. 258-259] Se utilizan para representar puntos en el espacio. El punto P(x, y , z) viene dado en coordenadas esf´ericas por la terna (r , θ, φ) siendo la ´ultima, φ, la que se refiere (como en cil´ındricas) al ´angulo polar en x, y. En concreto:
r es la distancia de P al origen. Entonces r ≥ 0. θ es el ´angulo ”colatitud”, el que forman el semieje positivo z+^ con el segmento OP (desde z+^ hasta OP). Se toma 0 ≤ θ ≤ π. φ es el ´angulo ”longitud”, el que forman el semieje x+^ con el segmento OQ, proyecci´on del OP sobre el plano xy. Coincide con el ´angulo de coordenadas polares (pero con notaci´on cambiada).
Coordenadas en el espacio.
Las f´ormulas de conversi´on de esf´ericas a cartesianas, y viceversa, son:
x = r sen θ cos φ y = r sen θ sen φ z = r cos θ
r =
x^2 + y 2 + z^2 θ tal que cos θ = zr φ tal que tan φ = yx [¡Div. por cero!]
Coordenadas en el espacio.
Ejemplo
- Hallar las coordenadas esf´ericas de los siguientes puntos dados en coordenadas cartesianas
Cartesianas (1, 0 , 0) −→ Esf´ericas (1, π/ 2 , 0) Cartesianas (0, 1 , 0) −→ Esf´ericas (1, π/ 2 , π/2) Cartesianas (0, 1 , 1) −→ Esf´ericas (
√ 2 , π/ 4 , π/2)
Ejemplo
- Hallar las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos dados en coordenadas esf´ericas
Esf´ericas (2, π/ 2 , π/3) −→ Cartesianas (2 sen π 2 cos π 3 , 2 sen π 2 sen π 3 , 2 cos π 2 ) = (2 · 1 · 12 , 2 · 1 ·
√ 3 2 ,^2 ·^ 0) = (1,^
√ 3 , 0) Esf´ericas (3, π/ 6 , π/2) −→ Cartesianas (0, 32 , 3
√ 3 2 )