¡Descarga Derivades Apunts y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Aplicacions de les derivades
1 / 48
La derivada
Una funció real és una aplicació f : I → R amb I (el domini) un interval no buit (o una reunió d’intervals) de R Emprarem funcions reals com a models continus, en els quals entenem que els processos evolucionen contínuament en el temps, en lloc de “a bots” La majoria de processos biològics (excepte pel que fa a poblacions petites o sincronitzades) es poden modelar de manera contínua Sovint la informació que tindrem d’una funció real referirà a la velocitat amb la qual varia (creix o minva) a cada instant
2 / 48
La derivada
La derivada f ′(t 0 ) de f en t 0
- (^) mesura la velocitat amb què f varia (creix o decreix) en el punt t 0
- és el pendent de la tangent a la corba y = f (t) en el punt (t 0 , f (t 0 ))
La derivada
...... ...^ ............................^ .........................^ .......................^ ...................^ .................^ ...... .......... .....................^ ....................^ ...............^ .. ........................................................................
......... ....................... ................................................................
..................................................
........................ .......................... ..
........................ ........
.......................... .........
......................... ..............
........................ ........
......................... ....
...................... ....
..................... .. f (t)
(t 0 , f (t (^0) • ))
.
........................................................ ............................................................ ............................................................. ............................................................. ............................................................ ............................................................. ............................................................. ................
r =recta tangent
r : y − f (t 0 ) = f ′(t 0 )(t − t 0 )
Linearització local
Al voltant de t = a, la funció y = f (t) (si és derivable en a) es pot aproximar per la tangent en el punt (a, f (a))
y = f (a) + f ′(a)(t − a)
(a,f(a))
f(t)
y=f(a)+f'(a)(t-a)
5 / 48
Linearització local
Per a valors de t propers a a f (t) ≈ f (a) + f ′(a)(t − a)
(a,f(a))
f(t)
y=f(a)+f'(a)(t-a)
6 / 48
Linearització local
f (t) ≈ f (a) + f ′(a)(t − a)
Exemple: Sigui N(t) una funció que ens dóna el nombre de milions de bacteris en una certa població en l’instant t. Suposem que sabem que N( 10 ) = 250 i que N′( 10 ) = 2 .5. Què valdrà aproximadament N( 10. 2 )?
N( 10. 2 ) ≈ N( 10 ) + N′( 10 ) · ( 10. 2 − 10 ) = 250 + 2. 5 · 0. 2 = 250. 5
Linearització local
f (t) ≈ f (a) + f ′(a)(t − a) Exemple: Sigui N(t) una funció que ens dóna el nombre de milions de bacteris en una certa població en l’instant t. Suposem que observam que N( 10 ) = 250 i que sabem N′(t) = 0. 002 N(t)( 300 − N(t)) per a tot t. Què valdrà aproximadament N( 10. 2 )?
N′( 10 ) = 0. 0002 · 250 · ( 300 − 250 ) = 2. 5
N( 10. 2 ) ≈ N( 10 ) + N′( 10 ) · ( 10. 2 − 10 ) = 250 + 2. 5 · 0. 2 = 250. 5
Monotonia
f ′(a) < 0 =⇒ f estrictament decreixent en a
13 / 48
Monotonia
f estrictament creixent en a = 6 ⇒ f ′(a) > 0
f (t) = (t − 2 )^3 + 8 ⇒ f ′( 2 ) = 0 14 / 48
Exemple
L’alçada y en metres d’un cert arbre és donada com a funció de l’edat t > 0 per mitjà de
y (t) = 39 · e−^10 /t^.
Determinau si és veritat que l’arbre sempre creix.
Extrems locals
Siguin f : I → R una funció real i a ∈ I un punt interior
- (^) Diem que la funció f té un màxim local en el punt a quan existeix un interval obert ]a − ε, a + ε[⊆ I tal que f (a) > f (t) per a tot t ∈]a − ε, a + ε[
- Diem que la funció f té un mínim local en el punt a quan existeix un interval obert ]a − ε, a + ε[⊆ I tal que f (a) 6 f (t) per a tot t ∈]a − ε, a + ε[
Extrems locals
màxim local
mínim local
17 / 48
Extrems absoluts
Siguin f : I → R una funció real i a ∈ I un punt del domini
- Diem que la funció f té un màxim en el punt a quan f (a) > f (t) per a tot t ∈ I
- (^) Diem que la funció f té un mínim en el punt a quan f (a) 6 f (t) per a tot t ∈ I
Els extrems absoluts (si existeixen) poden ser extrems locals, o els extrems tancats del domini (si existeixen), o punts on la funció no sigui derivable
18 / 48
Extrems locals
màxim local
mínim absolut
màxim absolut
Extrems locals
Teorema
Siguin f : I → R una funció real i a ∈ I un punt interior on f és derivable (1) Si f té un màxim o un mínim local en a, aleshores f ′(a) = 0 (2) Si f és derivable dues vegades en a, aleshores: (a) Si f ′(a) = 0 i f ′′(a) < 0 , aleshores f té un màxim local en a (b) Si f ′(a) = 0 i f ′′(a) > 0 , aleshores f té un mínim local en a
Extrems
Exemple: Determinau el màxim i el mínim (absoluts) i els intervals de creixement i de decreixement de f : [ 0 , ∞[→ R donada per f (t) = 2 t^ − 50 t.
f ′(t) = ln( 2 ) · 2 t^ − 50
f ′(t) > 0 ⇔ ln( 2 ) · 2 t^ − 50 > 0 ⇔ 2 t^ >
ln( 2 )
⇔ t ln( 2 ) > ln
ln( 2 )
⇔ t >
ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 )
25 / 48
Extrems
f ′(t) > 0 ⇐⇒ t >
ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 )
f ′(t)
0 si t >
ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 )
< 0 si t <
ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 )
= 0 si t =
ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 )
f (t)
estr. decreixent si t <
ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 )
estr. creixent si t >
ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 )
26 / 48
Extrems
f (t) té un mínim absolut a t =
ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 )
, perquè a
l’esquerra decreix i a la dreta creix
Alerta!
f ′(t) = ln( 2 ) · 2 t^ − 50 ⇒ f ′′(t) = (ln( 2 ))^2 · 2 t^ > 0
Per tant f ′
(ln( 50 / ln( 2 ))
ln( 2 )
= 0 i f ′′
(ln( 50 / ln( 2 ))
ln( 2 )
però això només implica que t =
ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 )
és un mínim
local!
Extrems
f : [ 0 , ∞[→ R no té màxim, perquè
lim n→∞ f (n) = lim n→∞ 2 n^ − 50 n = ∞
Falta mirar el 0, que pertany al domini. No serà màxim (perquè lim n→∞ f (n) = ∞) ni mínim (perquè f decreix des de 0 fins el mínim)
Extrems
En resum:
f (t)
és estr. decreixent a
]
ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 )
[
és estr. creixent a
]ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 )
[
té un mínim a t =
ln( 50 / ln( 2 )) ln( 2 ) no té màxim
29 / 48
Extrems
0 2 4 6 8 10
0
200
400
x
2^x - 50 * x
30 / 48
Extrems
Exemple: Quin és l’índex n 0 a partir del qual 2n^ − n > 106?
Descobrírem que el primer n 0 tal que 2n^0 − n 0 > 106 és n 0 = 20. Serà aquest?
f (t) = 2 t^ − t ⇒ f ′(t) = ln( 2 ) · 2 t^ − 1
f ′(t) > 0 ⇔ ln( 2 ) 2 t^ > 1 ⇔ t >
ln( 1 / ln( 2 )) ln( 2 )
Per tant f (t) = 2 t^ − t és estrictament creixent a ] 0. 53 , ∞[ i per tant ( 2 n^ − n)n és creixent a partir de n = 1.
A partir de n 0 la successió no davalla de 10^6.
Exercici
Sigui v la velocitat amb què vola un ocell, respecte de l’aire. Diguem W al pes de l’ocell, ρ a la densitat de l’aire, i P a la potència que ha de mantenir l’ocell per volar a velocitat v. En un estudi es determinà que
P(v ) =
W
2 ρSv
ρAv 3 ,
on A i S són dues constants positives que depenen de la forma i mida de l’ocell. C. Pennycuick. “The mechanics of bird migration.” Ibis 111 (1969), pp. 525–556. A quina velocitat v 0 > 0 es minimitza aquesta potència P?
Curvatura
Còncava, Convexa
37 / 48
Curvatura
Siguin f : I → R una funció real i a ∈ I un punt interior on f és derivable
- Diem que la funció f té un punt d’inflexió en a quan en aquest punt canvia de curvatura, és a dir, de còncava a convexa o de convexa a còncava
38 / 48
Curvatura
Còncava, Convexa, Punt d’inflexió
Curvatura
Alerta! Als llibres americans, convexa ←→ còncava. En particular, na Neuhauser ho diu a l’inrevés que aquí L’important és que sapigueu distingir entre ^ i _
Teorema
Siguin f : I → R una funció real i a ∈ I un punt interior on f és derivable dues vegades (a) Si f ′′(a) > 0 , aleshores f és còncava (b) Si f ′′(a) < 0 , aleshores f és convexa
Els punts d’inflexió són aquells on la funció canvia de curvatura
Exemple
La producció de blat de moro en funció del nivell N de nitrogen del sòl es modela bastant bé per mitjà de la funció següent:
Y (N) = Y 0
N
K + N
, N > 0 ,
on K i Y 0 són constants positives. Estudiau el creixement i la curvatura d’aquesta funció, i interpretau els resultats.
41 / 48
Exemple
Y ′(N) =
KY 0
(K + N)^2
Y (N) és estrictament creixent: a més nitrogen, més producció
Y ′′(N) = −
2 KY 0
(K + N)^3
Y (N) és convexa: la velocitat amb què la producció creix va minvant a mida que el nitrogen creix A més lim N→∞
Y (N) = lim N→∞
Y 0
N
K + N
= Y 0
42 / 48
Exemple
Exemple: Estudiau Y (N) = Y 0
N
K + N
Y 0
Límits de funcions
Donada una funció f :]a, ∞[→ R:
- (^) lim t→∞ f (t) = ∞ quan a mida que t creix, f (t) es fa arbitràriament gran
- (^) lim t→∞ f (t) = −∞ quan a mida que t creix, f (t) es fa arbitràriament petit (en negatiu)
- lim t→∞ f (t) = y 0 quan a mida que t creix, f (t) es fa arbitràriament proper a y 0 “Arbitràriament” en el mateix sentit que límits de successions
