¡Descarga Derivades i limits y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA 3: C ALCUL DIFERENCIAL D’UNA VARIABLE Metodes Matem`atics I
Grau en Enginyeria Industrial - EET
ALGUNES CONSIDERACIONS PER TREBALLAR AMB MAPLE:
Podeu fer servir Maple per comprovar els resultats, o fins i tot per fer alguns exercicis. Aqu´ı teniu alguns suggeriments.
- Gr
afiques: Una eina essencial per treballar que ens ofereix MAPLE ´es la possibilitat de fer la grafica de les funcions amb molta facilitat amb la instrucci´o plot, per exemple:
[> plot(sin(x),x=0..10);
Aquesta instrucci´o dona la gr`afica de la funci´o f (x) = sin(x) per valors de x entre 0 i 10.
Es recomanable que consulteu les opcions de la instrucci´´ o plot, tot fent.
[> ?plot;
Noteu que es poden fer un esbo¸c conjunt de diverses gr`afiques fent servir les seg¨uents instruccions
[> plot([2*x-6, x], x = -5 .. 10, color = [red, green]);
Aqu´ı en vermell es dibuixaria la gr`afica de la funci´o f 1 (x) = 2x − 6 i en verd la de la funci´o f 2 (x) = x, ambdues entre x = −5 i x = 10.
- L´ımits: Podeu comprovar els resultats dels l´ımits amb la instrucci´o limit. aqu´ı teniu alguns exemples:
- Per calcular lim x→− 1
x^2 + 4x + 3 x + 1
, farem:
[> limit((x^2+4*x+3)/(x+1), x = -1);
- Per calcular el l´ımit direccional cal afegir les opcions left o right, aix´ı, per calcular lim x→ 0 +
1 x s’escriu
[> limit(1/x, x=0,left);
- Per calcular lim x→∞
1 x s’escriu
[> limit(1/x, x =infinity)
- Derivades: Podeu calcular derivades amb MAPLE i aix´ı comprovar els resultats. Les derivades es poden calcular amb la instrucci´o diff i, si s’escau, tamb´e podem usar la instrucci´o simplify. Per exemple, per calcular (sin(x))′^ escriur´ıem:
[> diff(sin(x),x);
cos(x)
Si vull calcular la derivada de f (x) = x (^3) − 4 x (^2) − 50 x+ x^2 −x− 17 , hauria de fer
[> diff((x^3-4x^2-50x+12)/(x^2-x-17), x);
3 x^2 − 8 x − 50 x^2 − x − 17
x^3 − 4 x^2 − 50 x + 12
(2 x − 1) (x^2 − x − 17)^2
Per`o si directament fem
EXERCICIS
- Comenteu quina ´es la relaci´o entre les gr`afiques de les seg¨uents funcions.
(a) y = 2x − 6 amb relaci´o a la grafica de y = x. (b) y = 2(x − 5)^2 + 6 amb relaci´o a la grafica de y = x^2. (c) y = sin(x + π) amb relaci´o a la grafica de y = sin(x). (d) y = cos(2x) amb relaci´o a la grafica de y = cos(x). (e) y = cos( x 2 ) amb relaci´o a la grafica de y = cos(x). (f) y = −ex+3^ amb relaci´o a la grafica de y = ex. (g) y = e^1 −x^ amb relaci´o a la grafica de y = e−x. (h) y = ln(x − 7) amb relaci´o a la grafica de y = ln(x).
Nota: Si voleu, podeu fer un esbo¸c d’ambdues grafiques amb el Maple fent servir les seg¨uents instruccions [> plot([2*x-6, x], x = -5 .. 10, color = [red, green]); L’exemple anterior ´es per les funcions de l’exercici (a), en cada cas haureu de canviar les funcions i el domini del dibuix (´es a dir aixo que diu x = -5 .. 10 ).
- Determineu el domini de les seg¨uents funcions i quin ´es el comportament d’aquestes funcions a la frontera del domini
(a) f 1 (x) =
x − 3 x^2 − 2 x (b) f 2 (x) =
x − 3 x^2 + 2 (c) f 3 (x) =
x − 3 x^2 − 9 (d) f 4 (x) = ln(4 − x^2 ) (e) f 5 (x) =
ln(x − 2)
(f) f 6 (x) =
x^2 − x − 6
(g) f 7 (x) = 3
x^2 − x − 6
- Calculeu els seg¨uents l´ımits
(a) lim x→− 1
x^2 + 4x + 3 x + 1 (b) lim x→− 1 +
x^2 + x + 2 x + 1 (c) lim x→− 1 −
x^2 + x + 2 x + 1
Nota: Si voleu, podeu comprovar els resultats amb el Maple, per exemple per calcular lim x→ 0 +
1 x s’escriu [> limit(1/x, x=0,right); Si no cal fer el limit direccional no cal escriure ni left ni right.
- Calculeu els l´ımits laterals en x = 1 de la funci´o
f (x) =
2 x − x^3 si x < 1 , 2 x^2 − 2 si x ≥ 1.
Determineu si la funci´o ´es cont´ınua a x = 1.
- Calculeu els l´ımits laterals en x = 0 de la funci´o f (x) = |x x| Determineu si la funci´o ´es cont´ınua a x = 0.
- (Nom´es quan ja sapigueu derivar funcions) Aplicant la regla de l’Hˆopital, calculeu els l´ımits seg¨uents: (a) lim x→ 0
sin(x) x
(b) lim x→ 0
1 − cos(x) x^2
(c) lim x→ 0
1 − e^2 x x (d) (^) x→±∞lim
ex x (e) (^) x→±∞lim
e−x x (f) (^) x→lim+∞
x ln(x) (g) lim x→+∞
ln(x) x
- Calculeu el valor de la derivada de les seg¨uents funcions en el punt que s’indica:
(a) f 1 (x) = x^5 + 3x^2 en el punt x = −1. (b) f 2 (x) = (^) x^13 en el punt x = 2. (c) f 3 (x) = 2 3
x en el punt x =
(d) f 4 (x) = sin(x) + π en el punt x = −π.
- Calculeu la derivada de les seg¨uents funcions tot simplificant tant com us sigui possible:
(a) f 1 (x) = cos^3 x; (b) f 2 (x) = cos x^3 ; (c) f 3 (x) = cos^3 x^5 ; (d) f 4 (x) = ex^2 ; (e) f 5 (x) = ln(x^2 − x); (f) f 6 (x) = ln(sin(x^3 )); (g) f 7 (x) = 10^5 x; (h) f 8 (x) = 2x 2 ; (i) f 9 (x) = e3 ln(1+x); (j) f 10 (x) = ex^ sin(x); (k) f 11 (x) = sin(x) cos(x); (l) f 12 (x) = x 1 − x^2
(m) f 13 (x) = ex^ − e−x ex^ + e−x^
; (n) f 14 (x) =
1 + sin(x) 1 − sin(x)
Nota: Tingueu a m`a una taula de derivades si ho considereu convenient. Podeu comprovar el resultat amb maple amb la instrucci´o diff i, si s’escau, la instrucci´o simplify. Per exemple, per calcular (sin(x))′^ escriur´ıem: [> diff(sin(x),x);
- Trobeu la recta tangent a les seg¨uents funcions, en el punt on s’indica:
(a) f 1 (x) = x^5 + 3x^2 en el punt x = −1. (b) f 2 (x) = (^) x^13 en el punt x = 2. (c) f 3 (x) = 2 3
x en el punt x =
(d) f 4 (x) = x^5 + 3x^2 en el punt x = −π.
- Calculeu la derivada segona de les funcions (a) f 1 (x) = ex^ sin(x); (b) f 2 (x) = sin(x) cos(x).
- Especialistes en medi ambient han trobat que la quantitat de contaminant en un riu, despr´es d’haver-se iniciat una campanya de neteja, es pot modelar, mesurant el temps t (en anys) per la funcio: C(t) = t +
100 t + 1 , per 0 ≤ t ≤ 1
Al cap de quants dies, despr´es d’haver iniciat una d’aquestes campanyes, la quantitat de con- taminant sera minima?
- Si la distancia (en milers de kilometres) d’un meteorit a la Terra ve modelitzada per la funci´o d(t) = t^3 − 48 t + 200, per t ≥ 0 on t es el temps, mesurat en mesos, d’en¸c
a que s’observa la seva presencia. Es demana: (a) Determineu en quin temps t el meteorit es troba mes proper a la Terra. (b) A quina distancia estara quan sigui mes a prop?
- (Una mica m´es avan¸cat) Fent servir l’expressi´o de la s`erie de Taylor de la funci´o ex^ (la teniu a la soluci´o de l’anterior exercici) demostreu la f´ormula d’Euler eiϕ^ = cos(ϕ) + i sin(ϕ).
SOLUCIONS
- (a) Dilataci´o d’un factor 2 respecte de l’eix Y translaci´o de 6 unitats cap avall. (b) Translaci´o a l’eix X de 5 unitats a la dreta, dilataci´o de factor 2 respecte de l’eix Y i translaci´o de 6 unitats cap amunt y = 2(x − 5)^2 + 6 amb relaci´o a la gr
afica de y = x^2. (c) Translaci´o en l’eix X de π unitats a l’esquerra. (d) Contracci´o de la grafica en l’eix X, la grafica dobla la freq¨uencia en tant que funci´o periodica. (e) Dilataci´o de la grafica en l’eix X, la grafica t´e la meitat de la freq¨uencia en tant que funci´o peri`odica. (f) Translaci´o de 3 unitats a l’esquerra a l’eix X i simetria respecte d’aquest mateix eix. (g) Translaci´o a l’eix X d’una unitat a la dreta. (h) Translaci´o a l’eix X de 7 unitats a la dreta. - Els dominis s´on: (a) R \ { 0 , 2 }; (b) R ; (c) R \ {− 3 , 3 }; (d)(− 2 , 2); (e) (2, 3) ∪ (3, +∞); (f) (−∞, −2) ∪ (3, +∞); (g) R. Els comportaments: (a) assimpt. en x = 0 i x = 2; (c)assimpt. en x = −3, evitable en x = 3; (e) assimpt. en x = 3, per x = 2, lim x→ 2 +^ f 5 (x) = 0−; (f) (^) xlim→− 2 f 6 (x) = 0, lim x→ 3 f 6 (x) = 0.
- (a) 2; (b) +∞; (c) −∞.
- lim x→ 1 −^
f (x) = 1, lim x→ 1 +^
f (x) = 0. La funci´o no ´es cont´ınua.
- lim x→ 0 −^
f (x) = −1, lim x→ 0 +^
f (x) = 1. La funci´o no ´es cont´ınua.
- (a) 1; (b) 12 ; (c) −2; (d) (^) x→lim+∞
ex x = +∞ i (^) x→lim+∞
ex x = 0−^ ; (e) (^) x→lim+∞
e−x x = 0+^ i (^) x→lim+∞
e−x x
−∞ ; (f) +∞; (g) 0.
- (a) −1; (b) − 163 ; (c) 13 ; (d) −1.
- f 1 ′(x) − 3 cos^2 (x) sin (x); f 2 ′(x) = −3 sin
x^3
x^2 ; f 3 ′(x) = −15 cos^2
x^5
sin
x^5
x^4 ; f 4 ′(x) = 2 xex 2 ; f 5 ′(x) = (^) x^2 (^ xx−−1)^1 ; f 6 ′(x) = 3 cos(x^3 )x^2 sin(x^3 ) ;^ f^
′ 7 (x) = 5 10 5 x (^) ln (10); f ′ 8 (x) = 2 x^2 +1x ln (2);
f 9 ′(x) = 3 (x + 1)^2 ; f 10 ′ (x) = ex^ (sin (x) + cos (x)); f 11 ′ (x) = 2 cos^2 (x) − 1; f 12 ′ (x) = 1+x 2 (−1+x^2 )^2 ; f 13 ′ (x) = (^) (ex+e^4 −x) 2 ; f 14 ′ (x) = (^1) −sin(^1 x).
- (a) y = −x + 1; (b) y = − 163 x + 12 ; (c) x 3 + 4
√ 2 3 ; (d)^ y^ =^ π (^2) (4π (^3) − 3) + π(5π (^3) − 6)x.
- f 1 ′′ (x) = 2ex^ cos(x); f 2 ′′ (x) = −4 sin(x) cos(x).
- 33 dies.
- Al cap de 4 mesos estar`a a 72.000. Podeu respirar tranquils.
- r = 5/ 3
π, h = 10/ 3
π.
- Tal i com s’indica a la nota que acompanya l’enunciat, podeu comprovar els resultats amb el Maple fent servir la instrucci´o plot, en un rang adequat de valors de x. Una altra instrucci´o interessant ´es la instrucci´o FunctionChart.
- Com que f ′(x) =
3 x^2 − 4 x
ex (^3) − 2 x 2 , i tenim que f ′(2) = 4 i f (2) = 1, aleshores la recta tangent ´es y = 4(x − 2) + 1 = 4x − 7. Per tant a prop de x = 2, tenim que f (x) ' 4 x − 7. Aix´ı doncs f (1.99) ' y(1.99) = 0.96.
- (a) y = 2x + 1 i y = −x + 2
(b) f (− 0 .1) ' 0 .8; f (0.001) ' 1 .002; f (0.99) ' 1 .01; f (1.02) ' 0 .98. (c) f (0.001) m´es fiable que f (0.99) m´es fiable que f(1.02) m´es fiable que f (− 0 .1).
- (a) P 5 (x) = x − 16 x^3 + 1201 x^5.
(b) P 5 (x) = 1 − 12 x^2 + 241 x^4. (c) P 5 (x) = 1 + x + 12 x^2 + 163 + 241 x^4 + 1201 x^5. (d) P 5 (x) = (x − 1) − 1 /2 (x − 1)^2 + 1/3 (x − 1)^3 − 1 /4 (x − 1)^4 + 1/5 (x − 1)^5. Les s`eries de Taylor s´on:
sin(x) ∼
k=
(−1)k (2k + 1)!
x^2 k+1; cos(x) ∼
k=
(−1)k (2k)!
x^2 k;
ex^ ∼
n=
n! xn; ln(x) ∼
n=
(−1)n+ n (x − 1)n;
- El polinomi de Taylor a x = 0 d’ordre 1 del sin(x) (la recta tangent) ´es P 1 (x) = x. Aix´ı doncs sin(0.1) ' P 1 (0.1) = 0.1. L’error absolut ´es εa = 0.00016658335 i l’error relatiu (en %) ´es ˜εr = 0.01665833500%. El polinomi de Taylor a x = 0 d’ordre 3 del sin(x) ´es P 3 (x) = x − 16 x^3. Aix´ı doncs sin(0.1) ' P 3 (0.1) = 0.09983333333. L’error absolut ´es εa = 0. 8332 · 10 −^7 i l’error relatiu (en %) ´es ˜εr = 0. 8332 · 10 −^5 %. El polinomi de Taylor a x = 0 d’ordre 5 del sin(x) ´es P 1 (x) = x − 16 x^3 + 1201 x^5. Aix´ı doncs sin(0.1) ' P 5 (0.1) = 0.09983341666. L’error absolut ´es εa ' 10 −^9 i l’error relatiu (en %) ´es ˜εr ' 10 −^7 %.
