Matem´
atica Aplicada
Departamento de Matem´atica Aplicada
Graduado en Ingenier´ıa de la Energ´ıa
Examen de ‘Matem´aticas I’ -8 de febrero de 2014 - Curso 13/14
Apellidos y Nombre: DNI:
Firma:
Normas del examen:
1. El alumno deber´a colocar el DNI o pasaporte en un lugar visible del pupitre, y rellenar sus datos en cada folio que
entregue. 2. No est´a permitido el uso de ning´un tip o de calculadora o smartphone. 3. La puntuaci´on m´axima del examen
es de 8 puntos, siendo necesario un m´ınimo de 4 puntos para que se tengan en cuenta el resto de notas del curso. 4. La
soluci´on de cada problema debe estar completamente explicada y razonada. 5. La duraci´on del examen ser´a de dos horas
y media.
Problemas
Problema 1 (1pt) Considere la aplicaci´on f:R3→R2dada por f(x,y , z)=(x+y, x +y)en las bases can´onicas.
Calcule, en dichas bases, la matriz de f, el n´ucleo y la imagen de f, determinando bases cuando sea posible. Analice el
car´acter inyectivo y sobreyectivo de f. ¿Qu´e dimensi´on tiene la imagen por fdel plano x+y+z= 0?
Problema 2 (1pt) Se˜nale, razonadamente, cu´ales de las siguientes matrices son diagonalizables y cu´ales no:
A=
000
000
000
, B =
010
000
000
, C =0c
0 0 , c 6= 0, D =
1π√π
π eππ/e
√π π/e 0
,
Problema 3 (1pt) Sea fun endomorfismo en R3. Su n´ucleo es el subespacio h(1,0,0)i,f(1,0,1) = (2,1,2) y el vector
w= (0,1,0) pertenece al espacio propio P2. Determine la matriz de fen la base can´onica y su forma can´onica de Jordan.
Problema 4 (1pt) Se considera, en el espacio vectorial R3, la forma bilineal que tiene por matriz en la base can´onica
1 1 0
1 2 −2
0−2 4
. ¿Es posible diagonalizarla? En caso afirmativo, encuentre una base de R3ortogonal con respecto a f.
¿Es un producto escalar?
Problema 5 (1pt) Se considera el subespacio vectorial U={a−bt, a −b= 0, a, b ∈R}del espacio vectorial de
polinomios. Determine una base ortonormal de Ucon respecto al producto escalar hp|qi=Z1
0
p(t)q(t)dt. ¿Cu´al es el
vector m´as cercano a ten U?
Problema 6 (1pt) Se considera el polinomio p(λ) =
1−λ0−1
0 2 −λ2
−1 2 −λ
=−λ3+ 3λ2+ 3λ−6.Demuestre, mediante
alg´un argumento te´orico, que sus ra´ıces son reales sin determinarlas. ¿De qu´e signo es cada una?
Problema 7 (1pt) Clasifique el movimiento resultado de componer la simetr´ıa en R2de eje he1iseguida de una traslaci´on
de vector e2.
Problema 8 (1pt) ¿Qu´e ´angulo es necesario girar los ejes principales de la c´onica de ecuaci´on x2+y2−xy +x+y= 0
para situarlos en los ejes coordenados?