Matem´
atica Aplicada
Departamento de Matem´atica Aplicada
Graduado en Ingenier´ıa de la Energ´ıa
Examen de ‘Matem´aticas I’ -7 de septiembre de 2013 - Curso 12/13
Apellidos y Nombre: DNI:
Firma:
Normas del examen:
1. El alumno deber´a colocar el DNI o pasaporte en un lugar visible del pupitre, y rellenar sus datos en cada folio que
entregue. 2. No est´a permitido el uso de ning´un tip o de calculadora o smartphone. 3. La puntuaci´on m´axima del examen
es de 8 puntos, siendo necesario un m´ınimo de 4 puntos para que se tengan en cuenta el resto de notas del curso. 4. La
soluci´on de cada problema debe estar completamente explicada y razonada. 5. La duraci´on del examen ser´a de dos horas.
Problemas
Problema 1 (1.5pt) Dado el endomorfismo de R3definido por (x1, x2, x3)7→ (y1, y2, y3)donde y1=x1+x2+x3,
y2=x1+x2−x3ey3=x3con respecto a la base can´onica, calcule
a. Ker(f).
b. Im(f).
c. f(U)con U={(x, y, z)∈R3:x+y+z= 0}.
Problema 2 (1.5pt) Se consideran en R2[t]los subespacios vectoriales U=h{1 + 2t+ 3t2,3 + 2t+t2}i yV=h{1 +
t2,3+4t+ 3t2}i. Determine U∩V. ¿Podr´ıa tenerse que R2[t] = U⊕V?
Problema 3 (2pt) Sea A=
0−1b
−1 0 b
b−1 0
, con b∈N. Estudie para qu´e valores del par´ametro natural bla matriz A
es diagonalizable. Indicaci´on: el polinomio caracter´ıstico es divisible por t+b.
Problema 4 (1.5pt) Se define el subespacio U≡ {a+bt :a+b= 0, a, b ∈R}del espacio vectorial eucl´ıdeo R2[t]con el
producto escalar
hp|qi:= Z1
0
p(t)q(t)dt.
¿Cu´al es el polinomio en Um´as pr´oximo a t2?
Problema 5 (1.5pt) Demuestre que la matriz del siguiente movimiento representa un giro en R2:
M=
1 2 2
0 0 1
0−1 0
y determine su centro py el ´angulo de giro α. Componga este movimiento con una traslaci´on de vector u= (1,2) y
demuestre que se trata de un nuevo giro del mismo ´angulo. Determine su nuevo centro.