Matem´
atica Aplicada
Departamento de Matem´atica Aplicada
Graduado en Ingenier´ıa de la Energ´ıa
Examen extraordinario de ‘Matem´aticas I’ -26 de junio de 2013 - Curso 12/13
Apellidos y Nombre: DNI:
Firma:
Normas del examen:
1. El alumno deber´a colocar el DNI o pasaporte en un lugar visible del pupitre, y rellenar sus datos en cada folio que
entregue. 2. No est´a permitido el uso de ning´un tip o de calculadora o smartphone. 3. La puntuaci´on m´axima del examen
es de 8 puntos, siendo necesario un m´ınimo de 4 puntos para que se tengan en cuenta el resto de notas del curso. 4. La
soluci´on de cada problema debe estar completamente explicada y razonada. 5. La duraci´on del examen ser´a de dos horas.
Problemas
Problema 1 (1.5pt) Dado el endomorfismo de R3definido por (x1, x2, x3)7→ (y1, y2, y3)donde y1=x1+x2+x3,
y2=x1+x2−x3ey3=x3con respecto a la base can´onica, calcule
a. Ker(f).
b. Im(f).
c. f(U)con U={(x, y, z)∈R3:x+y+z= 0}.
Problema 2 (2pt) Sea A=
0−1b
−1 0 b
b−1 0
, con b∈N. Estudie para qu´e valores del par´ametro natural bla matriz A
es diagonalizable. Indicaci´on: el polinomio caracter´ıstico es divisible por t+b.
Problema 3 (1.5pt) Clasifique y determine el car´acter de la forma cuadr´atica qen R3definida, a partir de la matriz
A=
1 2a0
0 2 2a
0 0 a
, por q(x) = ξBc[x]AξBc[x]t, con Bcla base can´onica, en funci´on del par´ametro real a.
Problema 4 (1.5pt) Determine la matriz de la proyecci´on ortogonal en R3sobre el plano U≡x+y+z= 0 y calcule
proyU(2,0,1).
Problema 5 (1.5pt) Clasifique la c´onica x2+y2−6xy + 4x+ 4y= 0, usando diagonalizaci´on ortogonal, encontrando
su ecuaci´on reducida y determinando sus ejes principales.