Matem´
atica Aplicada
Departamento de Matem´atica Aplicada
Graduado en Ingenier´ıa de la Energ´ıa
Examen de ‘Matem´aticas I’ -6 de febrero de 2012 - Curso 11/12
Apellidos y Nombre: DNI:
Firma:
Normas del examen:
1. El alumno deber´a escribir su Nombre, Apellidos y DNI en cada uno de los folios que entregue. 2. El alumno
deber´a colocar el DNI o pasaporte en un lugar visible del pupitre. 3. No est´a permitido el uso de ning´un tipo de calculadora
o smartphone. 4. La puntuaci´on m´axima del examen es de 8 puntos, siendo necesario un m´ınimo de 4 puntos para que se
tengan en cuenta el resto de notas del curso. 5. La puntuaci´on m´axima de cada uno de los problemas es de 1.6 puntos.
6. La soluci´on de cada problema debe estar completamente explicada y razonada. 7. La duraci´on del examen ser´a de tres
horas. 8. Los alumnos que superaron la primera prueba de diciembre, solo tendr´an que resolver los problemas 3, 4 y 5,
mientras que los que superaron la segunda de enero, solo el 1 y 2, siendo necesarios en estos casos un m´ınimo de 2 puntos
y 1 punto, respectivamente, para que se tenga en cuenta el resto de notas del curso. El resto de alumnos tendr´an que
resolver todos los problemas.
Problemas
Problema 1 Se consideran los subespacios U≡x+y+z= 0 yV={(α, β, −α) : α, β ∈R}de R3. Determine una base
y dimensi´on de U,V,U∩VyU+V, calculando en cada caso las ecuaciones impl´ıcitas y param´etricas. ¿Es directa la
suma U+V?
Problema 2 Analice para qu´e valores del par´ametro real kel endomorfismo fen R3de matriz A=
201
−k2−k
001
en la base can´onica es diagonalizable. Calcule, cuando sea posible, una nueva base en la que la matriz asociada a fsea
diagonal.
Problema 3 Determine una base de R3en la que la forma cuadr´atica q(x,y , z) = x2+ 6y2+z2−4xy + 2yz se exprese
como suma de cuadrados. ¿Es posible dotar a R3de estructura de espacio eucl´ıdeo usando la forma polar asociada a
q? En caso afirmativo, si u= (1,0,0) yv= (0,1,0), ¿cu´anto miden estos vectores en dicho espacio eucl´ıdeo? ¿Son
perpendiculares?
Problema 4 Determine la matriz de la proyecci´on sobre el plano x+y+z= 1 en el espacio af´ın eucl´ıdeo R3. ¿A
qu´e distancia se encuentra el punto m´as cercano de dicho plano al (1,3,0)?
Problema 5 Clasifique el movimiento de ecuaciones (1, x0, y0) = (1, x, y)
1 0 1
0√3
2
1
2
0−1
2
√3
2
,en el sistema de referencia
can´onico de R2determinando los elementos geom´etricos correspondientes. ¿Podr´ıa representar la parte vectorial de dicho
movimiento mediante una aplicaci´on en C?