Función Cuadrática: Conceptos y Aplicaciones, Ejercicios de Matemáticas

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UNIVERSIDAD DON BOSCO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Función Cuadrática

Una función cuadrática corresponde a una ecuación de segundo grado: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐

• 𝒃𝒙 + 𝒄 Con 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0 Su grafica corresponde a una parábola, la cual puede estar abierta hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de 𝑎. Y para ambos casos se cumple que su dominio son todo el conjunto de los números reales. 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅 = −∞ + ∞

Dominio Son todos los valores para los cuales la función está definida. 𝑫𝒐𝒎𝒇 = 𝑹 = −∞ + ∞ Rango Es el conjunto formado por las imágenes. Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba. Si 𝒂 > 𝟎 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐𝒇 = 𝒇 −𝒃 𝟐𝒂

• ∞ pues la parábola se habré hacia arriba. Si 𝒂 < 𝟎 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐𝒇 = −∞ 𝒇 −𝒃 𝟐𝒂 pues la parábola se habré hacia abajo.

Para el caso que nos den una función cuadrática en la forma canónica; es decir, 𝒇 𝒙 = 𝒂(𝒙 − 𝒉) 𝟐 +𝒌. Los elementos se determinan de manera análoga. Tomando en cuenta que el valor de 𝒉 indica los desplazamientos en el eje horizontal (eje 𝑋) y el valor de 𝒌 indica los desplazamientos en el eje vertical (eje 𝑌). Por ejemplo: 𝒇 𝒙 = −𝟑(𝒙 − 𝟐) 𝟐 +𝟓 Parábola abierta hacia abajo por que a = − 3 Se ha desplazado 2 unidades hacia la derecha (eje horizontal). Se ha desplazado 5 unidades hacia arriba (eje vertical). 𝒇 𝒙 = 𝟓(𝒙 + 𝟏) 𝟐 −𝟒 Parábola abierta hacia arriba por que 𝒂 = 5 Se ha desplazado 1 unidad hacia la izquierda (eje horizontal). Se ha desplazado 4 unidades hacia abajo (eje vertical).

Gráficamente podemos observar sus elementos.

Una ecuación cuadrática en forma general, puede transformarse a la forma canónica mediante el complemento de cuadrados. En los ejemplos resueltos se retomara un ejemplo haciendo uso del complemento de cuadrados. Forma General Forma Canónica 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐

• 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒇 𝒙 = 𝒂(𝒙 − 𝒉) 𝟐 +𝒌