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Departamento de Ingeniería Eléctrica
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TEMA 1: Resolución de circuitos eléctricos alimentados en
Ejercicio 1
- Identificar en el siguiente circuito que elementos se cuales en paralelo.
- Calcular la resistencia equivalente del circuito.
R 1 =10 Ω, R 2 =5 Ω, R 3 =
Solución:
- R 1 , R 2 y R 6 están en serie. R anteriores están en paralelo con R
- La resistencia equivalente será:
R
R
Rserie 1
Req =
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FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TEMA 1: Resolución de circuitos eléctricos alimentados en
corriente continua
Identificar en el siguiente circuito que elementos se encuentran en serie y cuales en paralelo. Calcular la resistencia equivalente del circuito.
=20 Ω, R 4 =10 Ω, R 5 =1 Ω, R 6 =5 Ω
están en serie. R 3 , y R 5 están en serie. Los conjuntos en serie anteriores están en paralelo con R 4. La resistencia equivalente será:
Rserie 1 = R 1 + R 2 + R 6 = 10 + 5 + 5 = 20 Ω Rserie 2 = R 3 + R 5 = 20 + 1 = 21 Ω
1 / /R 4 =^
= Rserie 1 / /R 4 / /Rserie 2 =
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TEMA 1: Resolución de circuitos eléctricos alimentados en
encuentran en serie y
están en serie. Los conjuntos en serie
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Ejercicio 2
- Calcular la tensión fuentes es: U 1 =5 V, U
Solución: U 5 =25 V para que las dos ramas tengan la misma tensión.
Ejercicio 3
- Calcular la corriente i generan i 1 =1 A, i 2 =3 A, i
- Si la tensión en bornes de la de las demás fuentes de corriente?
Solución:
- I 3 =10-1-3-5=1 A
- Puesto que todas las fuentes de cada fuente será la misma que la de la carga U=6V.
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Calcular la tensión de la fuente U 5 sabiendo que el valor del resto de las =5 V, U 2 =10 V, U 3 =25 V, U 4 =15 V.
=25 V para que las dos ramas tengan la misma tensión.
Calcular la corriente i 3 sabiendo que el resto de fuentes de =3 A, i 4 =5 A y que la carga consume 10 A. Si la tensión en bornes de la carga es U=6 V, ¿cuál es la tensión de cada una de las demás fuentes de corriente?
Puesto que todas las fuentes de corriente están en paralelo la tensión en cada fuente será la misma que la de la carga U=6V.
sabiendo que el valor del resto de las
sabiendo que el resto de fuentes de corriente
es U=6 V, ¿cuál es la tensión de cada una
corriente están en paralelo la tensión en
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Ejercicio 5
- Obtener el valor de las tensiones V1, V2 y V3, así como las corrientes i1, i2, i3 e i4.
- Calcular el balance de potencias consumidas y cedidas por las resistencias y la fuente.
R1=2Ω , R2=20Ω , R3=20Ω , R4=4Ω , R5=5Ω , R6=6Ω
Solución
- Simplificamos el circuito
Rserie = R 4 + R 5 + R 6 = 4 + 5 + 6 = 15 Ω
Rparalelo = R 2 / /R 3 =
Asociamos en paralelo las resistencias:
R' = Rserie / /Rparalelo =
Esta resistencia en serie con R 1 valdrá:
Req = R 1 + R' = 2 + 6 = 8 Ω
4V
i
R
R2 R
R
R
R
V
V1 V
i2 i
i5 i
4V
R
10 Ohm 15 Ohm
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i 1 =
4 V
= 0.5 A
Deshaciendo la asociación obtenemos el resto de parámetros:
U 1 = R'⋅ i 1 = 6 ⋅ 0.5 = 3 V U 2 = U 1 = 3 V
i 2 =
U 1
R 2
3 V
= 0.15 A
Por la 1º Ley de Kirchhoff: i 1 = i 2 + i 5 i 5 = i 1 − i 2 = 0.5 − 0.15 = 0.35 A
i 3 =
U 2
R 3
3 V
= 0.15 A
Por la 1º Ley de Kirchhoff: i 5 = i 3 + i 4 i 4 = i 5 − i 3 = 0.35 − 0.15 = 0.2 A U 3 = R 5 ⋅ i 4 = 0.2 A ⋅ 5 Ω = 1 V
- Balance de potencias: Pfuente = U ⋅ i 1 = 4 V ⋅ 0.5 A = 2 W
PR 1 = R 1 ⋅ i 12 = 2 ⋅ 0.5^2 = 0.5W PR 2 = R 2 ⋅ i 22 = 20 ⋅ 0.15^2 = 0.45W PR 3 = R 3 ⋅ i 32 = 20 ⋅ 0.15^2 = 0.45W PR 4 = R 4 ⋅ i 42 = 4 ⋅ 0.2^2 = 0.16W PR 5 = R 5 ⋅ i 42 = 5 ⋅ 0.2^2 = 0.2W PR 6 = R 6 ⋅ i 42 = 6 ⋅ 0.2^2 = 0.24W PRtotal = (^) ∑ PRi= 2 W
4V
i
8 Ohm
i 2 ohm
15 ohm
V
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Ejercicio 7
Simplificar el circuito y convertirlo en una fuente de tensión real o de corriente real.
Nueva solución:
Ya que las fuentes de tensión reales están en paralelo, es mejor pasarlas a fuentes de corriente porque es más fácil agruparlas.
Simplificando el circuito:
1A 2 Ω
3 Ω
6V
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Simplificar el circuito y convertirlo en una fuente de tensión real o de corriente
Ya que las fuentes de tensión reales están en paralelo, es mejor pasarlas a fuentes es más fácil agruparlas.
Ω
2 Ω
4V
Ω 1 Ω
3V
A
B
= Ug
Simplificar el circuito y convertirlo en una fuente de tensión real o de corriente
Ya que las fuentes de tensión reales están en paralelo, es mejor pasarlas a fuentes
Rg
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Ahora las fuentes de corriente reales están en serie. Es más fácil trabajar con fuentes de tensión reales en serie:
Antigua solución:
Para simplificar el circuito, transformaremos las fuentes de corriente:
Asociando las fuentes de corriente de arriba (las fuentes de corriente ideales se suman y las resistencias se asocian en paralelo) y las dos de abajo (las corrientes de las fuentes ideales se restan porque tienen sentidos en paralelo:
1A
2A
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orriente reales están en serie. Es más fácil trabajar con fuentes de tensión reales en serie:
Para simplificar el circuito, transformaremos las fuentes de tensión en fuentes de
Asociando las fuentes de corriente de arriba (las fuentes de corriente ideales se suman y las resistencias se asocian en paralelo) y las dos de abajo (las corrientes de las fuentes ideales se restan porque tienen sentidos opuestos), y las resistencias
2 Ω 2 Ω^ 2A
3 Ω 1 Ω 3A
3A
1A
1 Ω
3/4Ω
orriente reales están en serie. Es más fácil trabajar con
tensión en fuentes de
Asociando las fuentes de corriente de arriba (las fuentes de corriente ideales se suman y las resistencias se asocian en paralelo) y las dos de abajo (las corrientes opuestos), y las resistencias
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Ejercicio 8
Resolver el circuito utilizando el método de las mallas, indicando los valores de i iAC, iBA, iBC y UAC.
Solución:
Lo primero es sustituir la fuente de corriente real por una fuente de tensión real y asignar una corriente a cada malla.
Las ecuaciones para cada malla serán:
M M
Agrupando:
Malla
Malla
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Resolver el circuito utilizando el método de las mallas, indicando los valores de i
Lo primero es sustituir la fuente de corriente real por una fuente de tensión real y asignar una corriente a cada malla.
ecuaciones para cada malla serán: Malla1 : 7 = 3 ⋅ i 1 + 2 ⋅ i 2 + 2 ⋅ (i 1 − i 2 ) Malla 2 : 30 = 7 ⋅ i 2 + 2 ⋅ i 2 + 2 ⋅ (i 2 − i 1 )
a1 : 7 = 5 ⋅ i 1 − 2 ⋅ i 2 → i 2 =
5 ⋅ i 1 − 7 2 a 2 : 30 = − 2 ⋅ i 1 + 9 ⋅ i 2
Resolver el circuito utilizando el método de las mallas, indicando los valores de iCA,
Lo primero es sustituir la fuente de corriente real por una fuente de tensión real y
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Sustituyendo en la malla 2:
30 = − 2 ⋅ i 1 + 9 ⋅
5 ⋅ i 1 − 7 2
^
60 = − 4 ⋅ i 1 + 45 ⋅ i 1 − 63
i 1 =
= 3 A
i 2 =
5 ⋅ i 1 − 7 2
= 4 A
iCA = i 1 = 3 A iBC = i 2 = 4 A iAC = i 1 − i 2 = − 1 A UAC = 2 Ω ⋅ 1 A = − 2 V
Para calcular iBA hay que resolver el circuito inicial, con la 1º Ley de Kirchhoff en el nudo A:
iCA + iBA = iAC + 10 iBA = iAC + 10 − iCA
iBA = − 1 + 10 − 3 = 6 A
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Agrupando:
Malla2 : 20 = 21 ⋅ i 2 − 3 ⋅ i 3 − 40 → i 2 =
60 + 3 ⋅ i 3 21 Malla3 : 12 = − 3 ⋅ i 2 + 9 ⋅ i 3 − 6 ⋅ i 4
Malla4 : − 20 = − 6 ⋅ i 3 + 7 ⋅ i 4 → i 3 =
7 ⋅ i 4 + 20 6
Sustituyendo i 3 en i 2 :
i 2 =
7 ⋅ i 4 + 20 6
Sustituyendo en la malla 3:
12 = − 3 ⋅
⋅ (^) ( 7 ⋅ i 4 + (^20) )+
(7 ⋅ i 4 + 20) − 6 ⋅ i 4
i 4 = − 2 A
i 3 =
7 ⋅ i 4 + 20 6
= 1 A
i 2 =
60 + 3 ⋅ i 3 21
= 3 A
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Ejercicio 10
Calcular Ua y las corrientes en cada rama
Solución:
Se sustituye la fuente de corriente real por una fuente de tensión real y se asigna una corriente a cada malla
Las ecuaciones para cada malla son:
Mall
Malla
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y las corrientes en cada rama
corriente real por una fuente de tensión real y se asigna una corriente a cada malla
Las ecuaciones para cada malla son:
la1 : 20 = 4 ⋅ i 1 + 8 ⋅ (i 1 − i 2 )+ 2 ⋅ (i 1 − i 3 ) Malla 2 : i 2 = 7 A a 3 : 18 = 6 ⋅ (i 3 − i 2 ) + 2 ⋅ (^) (i 3 − i 1 )+ 10 ⋅ i 3
corriente real por una fuente de tensión real y se asigna
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Ejercicio 11 Resolver el siguiente circuito por mallas y hacer el balance de potencias.
Solución: Transformamos la fuente de corriente real en fuente de tensión real. La tensión en bornes de las resistencias de 6 y 8 Ω es conocida ya que ambas están en paralelo con una fuente de tensión ideal y puesto que con el método de mallas se calcula la suma de tensiones en una malla, solo es necesario considerar las fuentes de tensión. Por lo tanto, únicamente habrá dos mallas.
Ecuaciones de las mallas:
Malla1 : 10 − 1 + 2 = 10 ⋅ i 1 + 3 ⋅ (i 1 − i 2 )
Malla 2 : − 7 = 3 ⋅ (i 2 − i 1 )
Simplificando:
Malla1 : 11 = 13 ⋅ i 1 − 3 ⋅ i 2 → i 2 =
13 ⋅ i 1 − 11 3 Malla 2 : − 7 = − 3 ⋅ i 1 + 3 ⋅ i 2
Sustituyendo en la malla 2:
5V
2V
1V
10V
i1 i
1V
1A
2V
5V
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− 7 = − 3 ⋅ i 1 + 13 ⋅ i 1 − 11
i 1 =
= 0.4 A
i 2 =
= −1.93A
Balance de potencias:
Pcedida fuentes = 10 ⋅ 0.4 − 1 ⋅ 0.4 −
^
^
- 2 ⋅ (0.4 + 1.93)+ 5 ⋅ 1.93 +
^
^
= 22.2W
P 10 Ω = 10 ⋅ 0.4^2 = 1.6W
P 2 Ω = 8 ⋅
^
2 = 0.125W
P 3 Ω = 3 ⋅ (0.4 + 1.93) 2 = 16.28W
P 6 Ω = 6 ⋅
^
2 = 4.16W
PRtotal = 22.2W
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Para eliminar la fuente de tensión, se sustituye ésta por un cortocircuito; mientras que, para eliminar la de intensidad se sustituye por un circuito abierto. De esta manera, donde estaba la fuente de tensión ahora caen 0 V y por donde estaba la de intensidad circulan 0 A.
Se observa cómo queda el circuito en la siguiente figura:
Por lo tanto, R (^) th= 1 Ω
La tensión de Thèvenin se puede calcular aplicando un método sistemático como puedan ser nodos o mallas; o bien de la siguiente manera:
La intensidad que da la fuente circula únicamente por la resistencia como se ve en la siguiente figura:
Según esto, la caída de tensión en la resistencia, aplicando la ley de Ohm, será: V = RI = 3 ⋅ 1 = 3 V Vth = VAB = 5 + 3·1 = 8 V
El equivalente Thèvenin obtenido es el siguiente:
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Ahora se calcula, a partir de éste, el equivalente Norton. Para ello se transforma la tensión de Thèvenin en intensidad que circula por la resistencia de Thèvenin mediante la ley de Ohm, y se coloca la resistencia en paralelo con la fuente. Así se obtiene el siguiente equivalente Norton:
