¡Descarga INERCIA y más Apuntes en PDF de Ingeniería electrónica solo en Docsity!
CONTENIDOS
Momentos de 1er^ Orden .Momento estático de una superficie plana. Centroide. Figuras con
un eje de simetría. Centroides de figuras con ejes de simetría.
Momento estático de una figura compuesta. Centroide de una figura compuesta. Perfiles
normalizados. Caso de figuras con huecos. Teoremas de Pappus y Guldin.
Momentos de 2° Orden. Consideraciones previas. Producto de Inercia ó Momento centrífugo.
Signo. Unidades. Momento centrífugo de figuras con un eje de simetría. Momento de inercia
axial. Momento de inercia polar.
Relación entre el momento de inercia polar y los momentos de inercia axiales. Unidades para
los momentos de 2°orden. Ejemplos de aplicación.
Radio de giro respecto a un eje (axial). Radio de giro polar.
Propiedad aditiva de los momentos de segundo orden.
Relaciones entre momentos de 2° orden para ejes de referencia paralelos. Caso en que uno
de los ejes contiene al centroide. Teorema de Steiner. Teorema de Steiner para el momento
centrífugo. Teorema de Steiner para el momento de inercia polar.
Momento de inercia polar para dos figuras. Figuras simples y compuestas. Perfiles
normalizados. Cálculo de los momentos de segundo orden de una figura compuesta.
Ejemplos.
Momentos principales y ejes principales de inercia. Caso de figuras con simetrías. Variación
del momento de inercia axial al girar los ejes. Momentos principales de inercia y posición de
los ejes principales. Figuras regulares. Máximo y mínimo. Expresión de los momentos
principales de inercia. Guía para resolver los problemas.
Método Gráfico: circunferencia de Mohr. Procedimiento a seguir para el trazado de la
circunferencia. Determinación de los ejes principales de inercia.
Momento estático de una superficie plana
El momento estático dSx de un área elemental dA, respecto a un eje cualquiera de su plano, por ejemplo el x, se define como el producto del área por la coordenada correspondiente (fig.1):
dSx = dA ⋅ y
El momento estático de una superficie de área A respecto a un eje cualquiera contenido en su plano, será la “suma” de los momentos estáticos respecto a ese mismo eje, de todos los elementos de área dA contenidos en A (fig.2), lo que se expresa con la siguiente integral:
Sx = ∫ A dSx =∫ Ay ⋅ dA
resulta entonces lo siguiente:
"El momento estático de una superficie plana respecto a un eje de su plano, es igual a la integral de los momentos estáticos de sus partes elementales”
Su expresión es:
S x = ∫ A y ⋅ dA [1] análogamente: S y = ∫ A x ⋅ dA [2]
La primera permite calcular el momento estático respecto al eje x, y la segunda respecto al eje y.
Al momento estático se lo denomina también momento de primer orden. Por ser el momento estático el producto de un área por una longitud , su unidad resulta una longitud elevada al cubo: [mm^3 ], [cm^3 ], [m^3 ], etc.
De acuerdo a [1] ó [2], el momento estático puede resultar positivo, negativo e inclusive nulo.
Centroide
El centroide (ó baricentro) G (de coordenadas xg e yg) de una superficie plana de área A, es un punto tal que el producto del área A por la distancia (coordenada) desde un eje cualquiera hasta ese punto, resulta igual al momento estático de la superficie respecto a dicho eje, lo que se expresa del siguiente modo: (fig.3):
A ⋅ xG =∫ A x ⋅ dA = S y [3´] A ⋅ yG =∫ A y ⋅ dA = Sx [4´]
por lo tanto las coordenadas del centroide son:
A
S
x
y
G =^ [3]^
A
S
y
x
G =^ [4]
x
dA
fig. 1
y
fig. 2
dA
y
x
A
x
fig. 3
A dA
G y
x
xG yG
x
entonces: = ∫ ⋅ +∫ ⋅
x A 1 A 2
S y dA y dA
ya que la integral a toda el área A se puede plantear como la suma de las integrales extendidas a la áreas A 1 y A 2.
Como las dos integrales representan los momentos estáticos de las áreas A 1 y A 2 respecto al eje x, resulta e ntonces:
( 1 ) ( 2 )
S x = Sx + S x
Se utiliza la notación "(1)" y "(2)" para identificar a que área corresponde y que no se interprete como una “potencia”.
Como los momentos estáticos de las partes componentes se pueden expresar como el producto de sus áreas por las coordenadas centroidales de acuerdo a las expresiones [3´] y [4´], se obtiene para cada eje lo siguiente:
Sx = A 1 ⋅ y 1 + A 2 ⋅ y 2 Sy = A 1 ⋅ x 1 + A 2 ⋅ x 2
En general para 'n' figuras simples la expresión será:
=
=
i n
i
S x Ai yi
1
[5] =^ ∑ ⋅
=
=
i n
i
S y Ai xi
1
[6]
Centroide de una figura compuesta
Se ha demostrado que si se conoce la posición del centroide de una figura, se puede calcular su momento estático respecto a un eje, multiplicando su área por la correspondiente coordenada de su centroide, expresiones [3´] y [4´].
También se comprobó que si a una figura se la descompone en figuras simples, de las que se conocen las áreas y posiciones de sus centroides “Gi”. con las expresiones [5] y [6] se puede calcular el momento estático de la figura compuesta, como la suma de los momentos estáticos de las figuras componentes.
Además se tendrá en cuenta que:
=
=
i n
i
A Ai
1 Las coordenadas del centroide G de la figura compuesta surge de plantear:
A. xG = S y A ⋅ yG = Sx
de las que se pueden despejar las coordenadas del centroide G:
=
=
= i n
i i
i n
i y i i G
A
A x
A
S
x
1
1 [7]
=
=
=
=
= = i n
i
i
i n
i
i i x G A
A y
A
S
y
1
(^1) [8]
fig. 8
x
x 1 y 1
x (^2) y 2
G 1
xG (^) yG G 2
G
A 1
A 2
fig. 9
G 1
G 2
G
Perfiles normalizados:
Si se quiere calcular la posición del centroide de una figura compuesta, cuyas partes componentes son secciones de perfiles metálicos normalizados (fig.9), para los que están tabuladas sus características geométricas necesarias para el cálculo, se puede entonces proceder del mismo modo que en el caso de las figuras simples sencillas vistas anteriormente.
Caso de figuras con huecos
Se puede considerar al hueco como una figura con área negativa y luego aplicar las expresiones [7] y [8].
()* Observar que el centroide G se encuentra fuera del segmento G 1 G 2 y del lado del que posee mayor área, en este caso a la izquierda.
Teoremas de Pappus y Guldin
Primer Teorema: El área A generada por una línea plana BC de longitud L al rotar un ángulo “α” en relación con un eje de su mismo plano, es igual al producto de “L” por el largo del arco GG´ recorrido por el centroide G de dicha línea durante el giro. El centroide G está ubicado en el plano que contiene a los puntos a, b, B, C (fig.11).
En la figura se observa que el área elemental descrita por un pequeño elemento dL de la línea, al rotar un ángulo α está dado por:
dA = α ⋅ x ⋅ dL por lo que el área A resulta :
L l
A α x dL α x dL pero por similitud con
lo tratado para momento estático de áreas (en este caso se trata de momento estático de línea) resulta :
∫ L x^ ⋅ dL = L ⋅ x G
por lo que la anterior queda así:
A = α ⋅ xG ⋅ L [9]
La expresión [9] permite calcular el área de la superficie que se obtiene al rotar una línea plana (generatriz) alrededor de un eje. También permite calcular la posición del centroide de una línea plana si se conoce el área de la superficie que genera.
Segundo Teorema:
El volumen V generado por una superficie plana BCDE de área A al rotar un ángulo α en relación con un eje contenido en su plano, es igual al producto del área A por el largo del arco recorrido por el centroide G del área, al rotar dicho ángulo α.
En la fig.12 se puede observar que el volumen elemental generado por un pequeño elemento dA de la superficie BCDE al rotar un ángulo α está dado por:
dV = α ⋅ x ⋅ dA por lo el volumen V resulta:
x
G
fig. 10
G 1 G 2
a
b
dL
G dA B
A
B'
eje
L
G´
x
xG
fig. 11
C'
C
a
b
E'
E
A
G (^) dA
B
B' eje
x
G'
xG
fig. 12
C
C'
D
D'
diferenciales de área dA simétricamente dispuestos con respecto al eje “y”, serán del mismo valor absoluto pero con signos contrarios por poseer coordenadas iguales y de signo opuesto. Al efectuar la integración de la expresión [11], esta resultará nula ya que todos los diferenciales de área de un lado del eje “y” poseen su simétrico del otro lado.
Conclusión: Cuando por lo menos uno de los ejes de referencia (x ó y) es de simetría, entonces el “momento centrífugo” o “producto de inercia” es nulo.
Se advierte sin embargo que la recíproca no es siempre cierta : “si el momento centrífugo es nulo, no necesariamente existirá un eje de simetría.
En el ejemplo de la fig. 16 es posible ubicar un par de ejes coordenados (x,y) para los cuales Ixy=0, sin embargo dicha forma geométrica no presenta simetría axial con respecto a ninguno de dichos ejes.
Momento de inercia axial
Sea la superficie de área A representada en la fig. 17, referida a un sistema de ejes coordenados “x,y”.
Se define como momento de inercia axial de A con respecto al eje “x” a :
A
I x y dA
2 [12]
De igual modo el momento de inercia con respecto al eje “y” está dado por:
A
I y x dA
2 [13]
Signo: en las expresiones [12] y [13], tanto dA como también y^2 ó x^2 son mayores que “cero” independientemente del signo de la coordenada, lo que implica que el momento de inercia axial es siempre positivo.
Momento de inercia polar
Sea la superficie de área A representada en la misma figura 17, referida a un sistema de referencia de polo “o”.
Se define como momento de inercia polar de A con respecto al polo “o” a:
A
I o dA
2
ρ [14]
Signo: en la expresión [14] tanto dA como también ρ^2 son mayores que “cero”, lo que implica que el momento de inercia polar es siempre positivo.
Relación entre momento de inercia polar y los momentos de inercia axiales:
Se tendrá en cuenta nuevamente la fig.17 en la que el polo “O” coincide con el origen de ejes coordenados x,y. El elemento dA tiene como coordenadas a “ρ” en el sistema polar y a “x,y” en el sistema cartesiano, para los cuales se cumple lo siguiente:
2 2 2
ρ = y + x
fig. 16
y
x
fig. 17
dA
y
x
x
y
ρ
o
Por definición el momento de inercia polar dada por la [14] es:
= (^) ∫ ⋅ A
I (^) o dA
2 ρ en la que al reemplazar la relación anterior se obtiene:
= (^) ∫ + ⋅ =∫ ⋅ + ⋅ =∫ ⋅ + ∫ ⋅ A A A A
I (^) o y x dA y dA x dA y dA x dA
2 2 2 2 2 2 ( ) ( )
quedando finalmente:
I o = Ix + I y [15]
Conclusión: El momento de inercia polar es igual a la suma de los momentos de inercia axiales respecto a los ejes x e y que contienen al polo.
Esta propiedad es útil si es difícil evaluar los momentos axiales pero es sencillo calcular el polar. Por ejemplo, para el circulo es fácil evaluar el polar y en base a este calcular los axiales. Para el rectángulo es más fácil calcular los axiales y con ellos evaluar el polar.
Unidades para los momentos de 2°orden: Como muestran las expresiones de Ixy, Ix. Iy e I 0 , se presenta siempre el producto de una superficie [cm^2 ] por el producto de dos longitudes o por el cuadrado de una de ellas [cm^2 ].
Por lo tanto los momentos de 2do^ orden siempre se expresaran en unidades de longitud elevadas a la cuarta potencia, ej.: [mm^4 ], [cm^4 ], [m^4 ], etc.
Ejemplos de aplicación : a continuación se exponen como ejemplos, algunos cálculos de momentos de segundo orden.
Ejemplo n° 1:
A partir de la definición [12], obtener la expresión del momento de inercia Ix para cualquiera de las superficies representadas en la fig.18 (paralelogramo y rectángulo), sabiendo que el e je x contiene al centroide G.
Resolución: se considera un elemento de superficie que cumpla con la condición de que cualquier punto del elemento dA posea la misma coordenada “y”.
Aplicando la definición resulta:
A
I x y dA
2
siendo: dA = b ⋅ dy entonces:
/ 2 / 2
/ (^23)
/ 2
/ (^22)
/ 2
2 3
h h
h
h
h
h
x y
b I y b dy b y dy − − −
= ∫ ⋅ ⋅ = ⋅ ∫ ⋅ = ⋅
= ⋅ − − 8
3
8
3
3
b h h I x
resulta ndo finalmente :
b. h^3
Ix = [16]
La expresión [16] es válida tanto para el paralelogramo, como también para el rectángulo, ambos que posean la misma base b y la misma altura h. Esta expresión será frecuentemente utilizada en las aplicaciones prácticas.
Ejemplo n° 2:
Obtener las expresiones de Ix e Iy para un círculo de diámetro d, con respecto a los ejes x e y, que contienen al centro O del círculo (fig.19).
h
fig. 18
dA dA
dy
y
x
G G
b b
x
Radio de giro polar:
Con igual criterio se obtiene: A
I i (^) o = o [21]
A continuación se exponen algunas aplicaciones.
Ejemplo n° 3
Obtener la expresión del radio de giro de un círculo con respecto al eje x que pasa por su centroide (fig.22).
Resolución: en el ejemplo n° 2 se obtuvo : 64
d^4 I (^) x
⋅
π (^) además es: 4
2 d A
⋅
π
entonces: 2
(^4 )
64 d
d A
I i (^) x x ⋅
⋅
⋅ = = π
π
simplificando resulta: 16 4
d^2 d ix = = 4 2
d r ix = = [22]^ (ver fig.22)
Propiedad aditiva de los momentos de segundo orden.
Si a una figura “compuesta” de área A se la divide en figuras "simples" para las cuales es fácil evaluar los momentos de segundo orden, entonces el momento de segundo orden de la figura compuesta de área A, será igual a la suma de los momentos de segundo orden “parciales” de las figuras "simples" respecto al mismo sistema de referencia.
Esta propiedad se fundamenta en el hecho de que “la integral" extendida a toda la superficie de área A, es igual a la “suma de las integrales” extendidas a cada una de las áreas de las figuras simples: A 1 , A 2 … An del siguiente modo:
∫ (^) A = ∫ A 1 +...+ ∫ An Para el ejemplo de tres figuras simples de la fig. 23 la expresión simbólica para los momentos de segundo orden respecto a los ejes “x” e “y” son:
I (^) x = Ix + Ix + I x
I (^) y = Iy + Iy + I y
I (^) xy = Ixy + Ixy + I xy
I (^) o = Io + Io + I o Lo visto para tres figuras simples es también válido para “n” figuras, siendo la siguiente, la expresión genérica para cualquier tipo de momento de 2° orden:
= (^) ∑
i n
i
i I I 1
[23]
x
fig. 22
G
ix d
fig. 23
x
o
A 2
A 1
A 3
Relaciones entre momentos de 2° orden entre ejes paralelos.
Caso en que uno de los ejes contiene al centroide: Teorema de Steiner.
Sea la superficie de área A de la fig.24 (que podría ser parte de una figura compuesta ) y dos ejes de referencia: uno posicionado arbitrariamente e identificado con “x” y uno centroidal “xG” paralelo a “x”, separados por la coordenada y=b
El momento de inercia Ix de la superficie de área A con respecto al eje x es por definición:
A
I x y dA
2
pero en la fig.24 se observa que: y = b + yG
que al reemplazarlo en la anterior resulta:
= (^) ∫ ⋅ =∫ ( + ) ⋅ =∫ ⋅ +∫ ⋅ ⋅ ⋅ +∫ ⋅ A
G A
G A A
G A
I x y dA b y dA b dA b y dA y dA
2 2 2 2
G A
G A
G A
I x = b ∫⋅ dA + 2 ⋅ b ⋅∫ y ⋅ dA +∫ y ⋅ dA = b ⋅ A + 2 ⋅ b ⋅ 0 + Ix
2 2 2
porque: (^) ∫ ⋅ = 0 A
yG dA ya que el momento estático de A respecto a xG es nulo
quedando finalmente:
2
I x = IxG + A ⋅ b [24]
La [24] expresa lo siguiente: “ El momento de inercia de una superficie de área A, con respecto a un eje arbitrario x, es igual a la suma del momento de inercia “propio” (respecto al eje que pasa por su centroide), más el producto del área A por el cuadrado de la distancia que separa a ambos ejes de referencia”.
Del mismo modo que se procedió en relación con el eje x, se puede proceder en relación con el eje “y” (fig.25), obteniendo:
2
I y = IyG + A ⋅ a [25]
Teorema de Steiner para el momento centrífugo
Aplicando la definición [11] se tiene:
Ixy = ∫ A x ⋅ y ⋅ dA
pero: x = a + xG y = b + yG
reemplazando en la integral resulta:
= (^) ∫ ⋅ ⋅ = ∫ + ⋅ + ⋅ A
G G A
I (^) xy x y dA ( a x ) ( b y ) dA
= (^) ∫ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ A
I (^) xy ( a b a yG xG b xG yG ) dA
A A
G G A
G G A
Ixy a b dA a y dA x b dA x y dA
I xy = a ⋅ b ⋅ A + 0 + 0 + IxGy G
fig. 24
x
y
o
G xG
A
b
dA yG
y
fig. 25
x
y
o
G
yG
A
a
dA
xG
x
fig. 26
x
o
G
xG
A
b
dA
yG y
G
a
x
xG
centroidales de la figura compuesta, aplicando si es necesario el teorema de Steiner.
c) Utilizar la propiedad aditiva para obtener los momentos de segundo orden de la figura compuesta. En la fig.29 el origen “O” se ubica en coincidencia con el centroide G de la figura compuesta y solamente se representa una las figuras simples de centroide Gi.
Se pueden ahora adecuar las expresiones [24], [25], [26] y [27] de la siguiente forma:
=
=
i n
i
I x Ixi Ai bi
1
2
( ) [24´ ]
=
=
i n
i
I y Iyi Ai ai
1
2
( ) [25´ ]
= (^) ∑ + ⋅ ⋅
=
=
i n
i
I (^) xy Ixiyi Ai ai bi 1
( ) [26´ ]
=
=
i n
i
I o IGi Ai i
1
2
( ρ ) [27´ ]
en las que Ixi , Iyi , Ixiyi , IGi son los momentos de segundo orden de cada área Ai, con
respecto a su propio sistema coordenado (xi, yi)
Ejemplo n° 4. Aplicación del Teorema de Steiner y Propiedad aditiva.
Calcular los momentos de inercia Ix e Iy para la forma geométrica representada en la fig.30, utilizando el teorema de Steiner y la propiedad aditiva. Dimensiones en [m].
Resolución:
Se divide a la figura compuesta de área A, en tres figuras simples de áreas A 1 , A 2 y A 3. Tener en cuenta que las figuras 1 y 3 son iguales y además simétricas con respecto al eje x, por lo que sólo será necesario hacer el cálculo para una de ellas y duplicar ese resultado.
Cálculo de Ix:
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) I (^) x = Ix + Ix + Ix = 2 ⋅ Ix + Ix
( ) 292
3 2
3
I (^) x = ⋅^292 [^ ]
2 I (^) x = m
Cálculo de Iy:
21 , 83 12
6 1
12
2 4 2
3 3
⋅
⋅ I (^) y = ⋅^21 ,^83 [ ]
2 I (^) y = m
()* Se observa que para este último cálculo la “distancia” entre ejes es nula por lo que no figuran los sumandos: “área x distancia al cuadrado”.
fig. 30
x 6
A 1
A 2
A 3
fig. 29
x O
Gi Ai
ρi
yi
Xi
bi
ai
Ejemplo n° 5a : Momento centrífugo para un rectángulo.
Aplicando el teorema de Steiner obtener la expresión de Ixy para el rectángulo representado en la fig.31.
Resolución: se aplica la expresión [26]:
2 2
h b
I xy = IxGyG + A ⋅ ⋅ pero:^ IxG yG =^0
por ser (xG; yG) ejes de simetría.
Por lo tanto: 2 2
b h Ixy = b ⋅ h ⋅ ⋅ 4
2 2 b h Ixy
⋅
Ejemplo n° 5b : Momento centrífugo para un triángulo (fig.32)
a) Aplicando la definición dada por la expresión [11], obtener la expresión de Ixy.
b) En base a la expresión de Ixy y aplicando el Teorema de Steiner, obtener la expresión de IxGyG.
Resolución:
a) aplicando la definición [11] y en base a la fig. 32 resulta:
I xy = ∫ Ax ⋅ y ⋅ dA siendo: dA = dy. dx
( )
( )
=∫ ⋅∫ ⋅ ⋅ = ∫ ⋅
− − h
b x b
h b x b b h xy dx
y I x y dy dx 0 x 0
2
0 0 2
∫ (^ )⋅
= ⋅ − ⋅ ⋅ +
b xy b b x x dx b
h I (^) 0 x
2 2 2
2 2 2
1
∫ (^ ⋅ − ⋅ ⋅ + )⋅ ⋅
= b xy b x b x x dx b
h I (^) 0 2 2 3 2
2 2 2 b
xy x b x x
b b
h I 0
2 3 4
2
2
2
4
1 3
2 2 2
− ⋅ + ⋅
=
2 4 4 4
4
2
2
b
h b
b b
b
b
h
Ixy
24
2 2 h b Ixy
⋅ = [28]
b) De acuerdo al teorema de Steiner y en base a la fig.33 es:
xy G G xG y G
bh I = Ix y + ⋅ 2
explicitando: G G xy xG yG
bh
Ix y = I − ⋅
reemplazando la [28], como así también las coordenadas del centroide G y operando se obtiene:
yG
G^ xG
o
b/
x
fig. 31
h
b
h/
fig. 33
y
x
b/
h
b
h/
G
yG
xG
dA
y
x x
fig. 32
h (h/b).(b-x)
b
y
dx
Ello se debe tener presente en la resolución de las aplicaciones prácticas, a efectos de no realizar cálculos inútiles.
Resulta sencillo entonces determinar la posición de los ejes principales de inercia cuando se trata de figuras (simples o compuestas) que presenten aunque sea un eje de simetría.
En la figura siguiente se muestran algunas formas que cumplen dicha propiedad y los ejes representados son ejes principales de inercia:
G
y
x
G
y
x G
ξ
η
(b) (c) (d) (e)
G
y
x G
y
x
(a)
Para las formas (a), (b), (c) y (d), Imáx e Imin se obtienen con respecto al par de ejes (x,y) ya que uno de ellos (o ambos) son de simetría. Para el caso (e) existe máximo ó mínimo con respecto al par (?,ξ) ya que ξ es eje de simetría.
Momentos principales de inercia y posición de los ejes principales.
De los infinitos pares de ejes que tienen su origen en el centroide “O” (fig.35-a), al par (x,y) se lo denominará “par fijo” o “ejes fijos”.
Al par de ejes (u, v) con posibilidad de "girar" en relación con el par (x, y) se los denominará "ejes móviles”.
Se supone que con los procedimientos ya vistos, se han calculado los momentos de segundo orden: Ix, Iy e Ixy con respecto al par (x,y).
En la figura se muestra una de las posiciones posibles del par (u, v) cuando se encuentra girado un ángulo α en relación con el par (x, y).
Se propone calcular Iu, Iv, Iuv en función de valores conocidos de Ix, Iy, Ixy, como también del ángulo α que será la variable.
Por definición se sabe que:
A
I u v dA
2 [32-a]
A
I v u dA
2 [32-b]
A
I uv v u dA [32-c]
De la fig.35-b se pueden obtener las relaciones entre las coordenadas de dA, en los dos sistemas de ejes, el fijo (x,y) y el móvil (u,v).
Siendo x=oc , y=cb , u=oa , v=ab y considerando la construcción auxiliar con líneas de trazos, se pueden plantear las siguientes relaciones geométricas:
x
u
dA y v
g
a
e
f
o c
b
fig.35-b
fig.35-a
x
y
o
u
v
α
dA
u =oa=of+fa=of+cg=oc⋅cos α +cb⋅sen α
v =ab=bg−ag=bg−fc=bc⋅cos α −oc⋅sen α
quedando entonces: (^) u= x⋅cos α + y ⋅ senα
v= y ⋅cos α − x ⋅ sen α
que reemplazadas en las expresiones [32] permiten obtener:
= (^) ∫ ( ⋅ − ⋅ ) ⋅ A
I (^) u y x sen dA
2 cos α α
= (^) ∫ ( ⋅ + ⋅ ) ⋅ A
I (^) v x y sen dA
2 cos α α
= (^) ∫ ( ⋅ − ⋅ ) ⋅( ⋅ + ⋅ )⋅ A
Iuv y cos α x senα x cos α y senα dA
Desarrollando estas expresiones y operando se obtiene finalmente:
I u = Ix ⋅cos^2 α + Iy ⋅ sen^2 α − Ixy ⋅ sen 2 α [33-a]
I v = Ix ⋅ sen^2 α^ + Iy ⋅cos^2 α + Ixy ⋅ sen 2 α [33-b]
2 α cos 2 α 2
⋅ + ⋅
− uv =^ x y sen Ixy
I I I [33-c]
Sumando (^) I (^) u + Iv se obtiene:
I u + Iv = Ix ⋅cos 2 α + Iy ⋅ sen^2 α − Ixy ⋅ sen 2 α + Ix ⋅ sen^2 α + Iy ⋅cos^2 α + Ixy ⋅ sen 2 α
Agrupando factores comunes y teniendo en cuenta que : cos 1 2 2 sen α + α = , resulta:
I (^) u + Iv = Ix + Iy = cte [34]
La [34] indica que cualquiera sea el áng ulo α girado por los ejes móviles, la suma de los momentos de inercia se mantiene constante, resultando un “invariante”. Recordar que la suma de los momentos de inercia axiales, resultaba ser el momento de inercia polar, y el momento de inercia polar no varía para una determinada posición del polo.
Variación de Iu al girar los ejes.
Para la forma representada en la fig.36 ( perfil ”T” ) que posee eje de simetría “y” , se sabe que para “x” e “y” se obtienen Imáx e Imín, siendo Ixy=0.
Suponiendo que Ix=Imáx=200 [cm^4 ] y que Iy=Imín =100 [cm^4 ], la expresión [33-a] quedará del siguiente modo:
I u = Ix ⋅cos^2 α + Iy ⋅ sen^2 α = 200 ⋅cos^2 α + 100 ⋅ sen^2 α
Si “α” varía entre 0 y π, el eje “u” vuelve a coincidir con el eje “x”. El primer sumando de la expresión describe la curva (a) de la fig. 37, mientras que el segundo sumando describe la
x
fig.
200
100
0
Iu
(90°) (180°)
cm^4 máx
mín
fig.
(b)
(a)
π/2 π
de la [35] se obtiene: y x
xy
I I
sen I
cos 2
0
0
α de donde:
y x
xy
I I
I
tg
2 α 0 [36]
De la [36] se obtienen dos ángulos que la satisfacen: (2α 0 ) y (2α 0 +p), ya que para ambos el valor numérico de la tangente es el mismo. El máximo o el mínimo momento de inercia ocurrirán entonces para los ángulos (α 0 ) ó (α 0 +p/2) que corresponden a dos direcciones perpendiculares entres sí y que son los eje principales de inercia.
Para uno de ejes Iu tomará el valor máximo y para el otro tomará el valor mínimo. Si en la [35] se reemplaza "2 sen α. cos α" por "sen 2α" y luego se divide m.a m. por "-2", se obtiene el segundo miembro de la expresión [33-c], que corresponde al momento centrífugo. Ello muestra que cuando α=α 0 entonces Iuv = 0.
Los dos ejes para los cuales el momento centrífugo Iuv es nulo, mientras que los momentos de inercia Iu ó Iv son máximos o mínimos, se denominan “Ejes Principales de Inercia”.
La posición de dichos ejes se puede obtener de la expresión [36].
Expresión de los momentos principales de inercia
Para obtener la expresión del máximo o del mínimo se debe sustituir α 0 dado por la [36] en la ecuación [33-a] de Iu en función de α.
Teniendo en cuenta que en la expresión de “Iu” figuran: sen^2 α 0 , cos^2 αo , sen 2 α 0
se debe operar con el auxilio de las siguientes identidades trigonométricas:
2
1 cos (^20) 0 sen^2 α^ = − α 2
1 cos 2 cos 2 0 0
α α
=
siendo:
0
2
0 0 1 2
2 2 α
α α tg
tg sen
= 0
(^02) 1 2
1 cos 2 α
α
=
con lo que q ueda todo expresado en función de “tg 2α”, que finalmente se reemplaza por el segundo miembro de la [36], obteniéndose luego de operar algebraicamente, la expresión que permite calcular el máximo y el mínimo momento de inercia, teniendo como datos los momentos de segundo orden Ix, Iy e Ixy respecto al par de ejes (x, y) :
2 xy
2 x y
x y
min
max I I^4 I
I I
I ± ⋅ − + ⋅
= [37]
Guía para resolver los problemas
En el análisis de próximos temas como por ejemplo: flexión, torsión y pandeo, surgirá la necesidad de evaluar los momentos de inercia axiales y polares. En relación con los axiales hará falta conocer el Imáx ó el Imín.
Para obtener esos últimos y con el objeto de evitar cálculos innecesarios se recomienda seguir los pasos sintetizados en el cuadro siguiente:
2α 0
tg(2α 0 )
1
1+tg
²(2α
0 )
tg(2α 0 )= =tg(2α 0 +π)
2α 0 x
FORMAS
DOBLE
SIMETRÍA
SIMPLE SIMETRÍA SIMETRÍA
CENTRAL
SIN SIMETRÍA
CÁLCULOS
A
REALIZAR
Se calcula sólo 1 coordenada No se calcula.^
Se calculan POSICION 2 coordenadas DEL CENTROIDE: xG yG
No se calcula xG yG xG , yG
Momentos de 2° Orden: Ix Iy Ixy
Se calculan sólo: Ix , Iy ya que Ixy=
Se calcula: Ix Iy Ixy
Momentos Principales: Imáx Imín
Son Ix e Iy calculados previamente
( ) (^2) xy 2 x y
x y minmax^
I I 4 I
I I
I ± ⋅ − + ⋅
y x
xy
I I
I
tg
Método Gráfico: Circunferencia de Mohr
Si bien la solución analítica es la más práctica para calcular los momentos principales de inercia, como así también la posición de los correspondientes ejes, es útil contar con un recurso alternativo que sirva para verificar aunque sea de modo aproximado si las operaciones realizadas arrojaron los resultados correctos, o si por el contrario un simple error de signo haya conducido a un resultado totalmente erróneo.
Las expresiones analíticas vistas, pueden ser interpretadas gráficamente en una construcción denominada círculo de Mohr ó circunferencia de Mohr.
Si se conocen los momentos de segundo orden de una superficie plana, con respecto a dos ejes fijos “x” e “y” (sean o no principales), mediante dicha construcción gráfica se pueden calcular los momentos de segundo orden para un par de ejes móviles “u” y “v” girados un ángulo α con respecto a los ejes fijos.
La construcción gráfica propuesta por Mohr, que relaciona a los momentos de segundo orden entre sí, es una circunferencia que se construye en un sistema de ejes cartesianos ortogonales. Cualquier punto de dicha circunferencia posee como abscisa a uno de los momentos de inercia axial y como ordenada al momento centrífugo.
La circunferencia puede dibujarse con la exactitud necesaria, adoptando una escala de representación (escala de momentos, por ejemplo: δ cm^4 / 1 cm) y efectuar la resolución de modo puramente gráfico. También puede representarse esquemáticamente para que sirva de guía de comparación con los cálculos a ritméticos. Este último es el uso más frecuente de la circunferencia de Mohr.
