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EJERCICIO 1.
Se está comparando el nivel de contaminación atmosférica de tres ciudades españolas mediante el cálculo del índice de calidad del aire. Se sabe que este índice sigue una distribución normal en las tres ciudades analizadas. Para determinar si estas tres ciudades presentan el mismo valor medio de este índice de calidad del aire se han seleccionado aleatoriamente 15 días en cada una de estas tres ciudades, obteniéndose los resultados que se presentan seguidamente:
Día Ciudad A Ciudad B Ciudad C 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A la vista de la información anterior, a un nivel de significación del 5%, ¿es posible admitir que la calidad del aire es la misma en las tres ciudades?.
EJERCICIO 2.
Se quiere determinar si 4 novelas publicadas últimamente por una editorial están teniendo, o no, la misma aceptación por parte de los lectores. Sabiendo que la valoración de las novelas por parte de los lectores, en una escala de 0 a 10 puntos, sigue una distribución normal, esta editorial ha tomado una muestra aleatoria de 16 lectores de cada una de estas 4 novelas y les ha pedido que otorguen a la novela leída una
valoración entre 0 y 10 puntos. Se han obtenido los resultados que a continuación se presentan:
Lector Novela A Novela B Novela C Novela D 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A un nivel de significación de un 5%, ¿se podrá admitir que estas 4 novelas obtienen una misma valoración media y que, por tanto, están teniendo la misma aceptación por parte de los lectores?.
EJERCICIO 3.
En un estudio demográfico realizado en cuatro municipios extremeños se quiere introducir también el sexo como factor que puede determinar la posible existencia de diferencias en la edad media de los habitantes de estos municipios. Considerando que la edad de las personas residentes en estos cuatro municipios, tanto hombres como mujeres, sigue una distribución normal, se han tomado muestras aleatorias en la población masculina de estos tres municipios y en la población femenina de los mismos. En todos los casos, el tamaño muestral ha sido de 5 personas por subgrupo (ciudad x sexo) definido. A continuación, se presentan los resultados de las 8 muestras aleatorias tomadas:
FACTOR B Municipio D Municipio EFACTOR A Municipio F
A un nivel de significación del 5%, ¿existen diferencias significativas entre los niveles medios de concentración de polen en estos tres municipios extremeños?. ¿Es determinante la estación del año en la mayor o menor concentración de polen?. ¿Existe un efecto conjunto del municipio y de la estación del año sobre los niveles medios de
- 37, Primavera
- 40,
- 25,
- 32,
- 23,
- 38, - 41, - 43, - 50, - 38, - 34, - 33, - 38, - 41, - 43, - 40, - 38, - 33,
- 31, Verano
- 26,
- 25,
- 33,
- 30,
- 25, - 26, - 31, - 22, - 20, - 26, - 25, - 26, - 22, - 20, - 19, - 23, - 28,
- 15, Otoño
- 12,
- 16,
- 13,
- 17,
- 11, - 17, - 16, - 20, - 14, - 15, - 11, - 12, - 14, - 16, - 17, - 10, - 8,
- 3, Invierno
- 2,
- 1,
- 5,
- 7,
- 4, - 5, - 6, - 2, - 3, - 1, - 0, - 6, - 2, - 3, - 2, - 5, - 6,
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1.
0 1
H :
H : no todas iguales
μ (^) A = μ (^) B = μ (^) C = μ
Dado que el p-valor de este contraste ANOVA (0,7455) es superior a 0,05, la hipótesis nula no podrá ser rechazada a un nivel de significación del 5%. En consecuencia, podremos admitir que el nivel medio de contaminación atmosférica de estas ciudades españolas es el mismo.
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 2.
μ =μ =μ =μ =μ H :notodas iguales
H :
1
0 A B C D
ANÁLISIS DE VARIANZA Origen de las variaciones
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Promedio de los cuadrados F Probabilidad
Valor crítico para F Muestra 115.6 1 115. 6 1.24117568 0.27354275 4. Columnas 11243 3 3747.66667 40.2379994 5.7163E- 11 2. Interacción 106.6 3 35.5333333 0.38151479 0.76698317 2. Dentro del grupo 2980.4 32 93. Total 14445.6 39
Muestra = niveles del factor 1. Columnas = niveles del factor 2. Interacción = efecto conjunto de los niveles del factor 1 y de los niveles del factor 2. Dentro grupos = residual.
a) Contrastación de los efectos de interacción entre “municipio” y “sexo”:
1
H : 0
H : no todos nulos
αβ = αβ = αβ = αβ = αβ = αβ = αβ = αβ =
Grados de libertad: numerador (3); denominador (32). Valor experimental: f (^) e = 0, Probabilidad a la derecha del valor experimental: p = 0,7669 (> 0,01) Valor crítico: 2,
Como se puede apreciar, el valor empírico f (^) e es claramente inferior al valor
crítico, lo que significa que dicho valor empírico está situado en la región de no rechazo de la hipótesis nula. Por otra parte, la probabilidad acumulada a la derecha de este valor empírico es 0,7669, la cual es claramente superior a 0,01, lo que nos indica, nuevamente, que fe se sitúa en la región de no rechazo de H 0.
En consecuencia, podemos concluir diciendo que, a un nivel de significación de un 1 %, no existen efectos de interacción estadísticamente significativos entre los factores “municipio” y “sexo”.
b) Contrastación de los efectos principales del factor “sexo”:
( )
α =α = H :notodos nulos
H : 0
1
02 1 2
Grados de libertad: numerador (1); denominador (32). Valor experimental: f (^) e = 1, Probabilidad a la derecha del valor experimental: p = 0,2735 (> 0,01) Valor crítico: 4,
El valor experimental de este contraste ( fe ) es inferior al correspondiente valor
crítico tabulado. Además, su probabilidad acumulada a la derecha es superior al 1 %. Ambas circunstancias conducen a no rechazar la hipótesis nula.
Por consiguiente, podemos concluir diciendo, a un 1 % de nivel de significación, que no existe una influencia directa del factor “sexo” sobre la variable dependiente. Es decir, que se puede admitir que la edad media de los hombres es la misma que la edad media de las mujeres en los cuatro municipios extremeños que están siendo analizados.
c) Contrastación de los efectos principales del factor “municipio”:
( ) 03 1
H : 0
H : no todos nulos
β E (^) = β (^) F = β G (^) = β H (^) =
Grados de libertad: numerador (3); denominador (32). Valor experimental: f (^) e = 40, Probabilidad a la derecha del valor experimental: p = 0,000000 (< 0,01) Valor crítico: 2,
Promedio 20.1541667 21.3791667 20. Varianza 153.977373 204.759982 183.
ANÁLISIS DE VARIANZA Origen de las variaciones
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Promedio de los cuadrados F Probabilidad
Valor crítico para F Muestra 11295.6478 3 3765.21593 253.133214 5.2491E- 34 2. Columnas 21.7452778 2 10 .8726389 0.73096101 0.48568355 3. Interacción 290.778056 6 48.4630093 3.25813912 0.00771386 2. Dentro del grupo 892.466667 60 14. Total 12500.6378 71
a) Contrastación de los efectos de interacción entre “estación metereológica” y “municipio”:
1
H : 0
H : no todos nulos
αβ = αβ = αβ = = αβ =
Grados de libertad: numerador (6); denominador (60). Valor experimental: f (^) e = 3, Probabilidad a la derecha del valor experimental: p = 0,0077 (<0,05) Valor crítico: 2,
Puesto que el valor experimental (que deja a su derecha una probabilidad claramente inferior al 5 %) es mayor que el crítico, la hipótesis nula anterior debe ser rechazada. En consecuencia, se puede afirmar, a un 5 % de nivel de significación, que sí existe un efecto de interacción estadísticamente significativo entre la estación metereológica y el municipio.
b) Contrastación de los efectos principales del factor “estación metereológica”:
( 0 2 ) 1
H : 0
H : no todos nulos
α P (^) = α V (^) = α (^) O = α (^) I =
Grados de libertad: numerador (3); denominador (60). Valor experimental: f (^) e = 253, Probabilidad a la derecha del valor experimental: p = 0,000000 (< 0,05) Valor crítico: 2,
En esta ocasión, el valor empírico f (^) e es casi cien veces superior al valor crítico
de este contraste. Esto significa que la probabilidad acumulada a la derecha de f (^) e es
prácticamente nula. Por todo ello, la hipótesis nula de este contraste debe ser rechazada a un 5 % de nivel de significación.
Por tanto, se puede concluir diciendo, a un nivel de un 5 %, que los niveles medios de contaminación de polen de estos tres municipios no son iguales en todas las estaciones metereológicas.
c) Contrastación de los efectos principales del factor “municipio”:
( ) 03 1
H : 0
H : no todos nulos
β D (^) = β E (^) = β (^) F =
Grados de libertad: numerador (2); denominador (60). Valor experimental: f (^) e = 0, Probabilidad a la derecha del valor experimental: p = 0,4857 (> 0,05) Valor crítico: 3,
Se puede apreciar que el valor experimental es menor que el valor crítico, lo que significa que dicho valor fe se encuentra situado en la región de no rechazo de la
hipótesis nula. Para corroborar este comentario, la probabilidad acumulada a la derecha de fe es de un 48,57%, que es superior al 5 % de nivel de significación al que se está
realizando el contraste.
