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PROBLEMAS DE MATEMÁTICA DISCRETA: Combinatoria Curso 2006-
Regla del Producto
1. a) ¿Cuántos números con todas sus cifras distintas hay entre 1000 y 9999? Solución: 9x9x8x7. b) ¿Cuántos números pares entre 1000 y 9999 no tienen ninguna cifra repetida? Solución: Estos números pueden acabar en 0, 2, 4, 6, 8. Los que terminan son cero son: 9x8x Los que terminan en 2, 4 o 6 u 8 son: 4x(8x8x7) Total: 9x8x7 + 4x(8x8x7)= 2. ¿Cuántas matriculas se pueden determinar si cada una consta de cuatro letras de un alfabeto de 26 letras seguidas de tres dígitos del 0 al 9 (no necesariamente distintos)? Solución: 264 x10^3. 3. Usando sólo los dígitos 1, 3, 4 y 7 a) ¿Cuántos números de dos cifras se pueden determinar? Solución: 4x b) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar? Solución: 4x4x c) ¿Cuántos números de dos cifras o tres cifras existen? Solución: 4x4 + 4x4x4x4= 80 4. ¿ De cuántas formas se puede asignar un nombre, dos o tres a un niño si se eligen entre una lista de 500 nombres? Solución: 500 + 500x499 + 500x499x 5. Una compañía diseña cerraduras con una combinación de tres números diferentes entre el 0 y el 59 (inclusive). ¿Cuántas combinaciones posibles existen? Solución: 60x59x 6. Sea A un conjunto de n-elementos y B={0,1} a) Demuestren que hay 2n^ aplicaciones de A a B. Solución: Hay una aplicación biyectiva entre los 2 n^ subconjuntos de A y las aplicaciones de A a B b) Demuestren que hay 2n^ – 2 aplicaciones exhaustivas entre A y B. Solución: Sólo hay dos aplicaciones no exhaustivas. 1) todos los elementos de A tienen como imagen el cero y 2) todos los elementos de A tienen como imagen el uno. Por tanto, el número de aplicaciones exhaustivas es 2n^ – 2.
Principio del palomar
1. Demuestren que entre n + 1 números enteros cualesquiera hay al menos dos cuya diferencia es divisible por n. Solución: Hacemos la división de los zi por n. Se expresa como sigue zi = c (^) i .n + r (^) i con 0 ≤ ri ≤ n − 1 , luego puede haber n restos distintos como máximo. Por tanto, como
tenemos n+1 números aplicando el P. P. podemos afirmar que existen al menos dos números con el mismo resto y como consecuencia son divisibles por n, es decir, = c (^) i .n + r (^) i y z (^) j = c (^) j .n + r (^) j para i ≠ j de donde z (^) i - z (^) j= (c (^) i. - c (^) j)n.
2. Si se tienen 44 sillas que deben distribuirse alrededor de 5 mesas en una habitación, cabe la posibilidad de que exista una mesa con al menos 9 o 10 sillas. Solución: Como 44:5 = 8,8 el cociente por exceso es 9 y por el P.P.G se tiene que existe al menos una mesa con un mínimo de 9 sillas.
3. Demuestren que en un grupo de seis personas, existen al menos tres que son amigos mutuamente o que existen al menos tres que son mutuamente extraños. Solución: Consideramos un conjunto con n = 5 elementos y otro con m=2 elementos (cajas: c1 mutuamente amigos y c2 extraños) Entonces como la división, por exceso, de 5 entre dos es tres, por el PP existe una caja que como mínimo contiene tres elementos, es decir, existen tres personas que son mutuamente amigos o extraños. 4. a) Si se tienen 20 procesadores interconectados y cada procesador está conectado con al menos otro procesador, demuestren que al menos dos procesadores están directamente conectados al mismo número de procesadores. b) ¿El enunciado anterior sigue siendo cierto, sin la suposición de que cada procesador está conectado al menos a otro procesador? Solución: a) Un procesador está conectado al menos a uno de los 19 restantes procesadores. Como hay 20 procesadores, el PP nos asegura que hay al menos dos procesadores conectados al mismo número de procesadores. b) El número de procesadores para el que un procesador dado está conectado está entre 0 y 19 (inclusive). Por otra parte, si cero ocurre (que algún procesador no está conectado a ningún otro) , entonces 19 no pueden estarlo. Así que, como en a) hay a lo sumo 19 procesadores conectados a un procesador dado. Por PP hay al menos dos procesadores que están conectados al mismo número de procesadores. 5. Pedro tiene cinco días para preparar su examen de matemáticas. Un amigo decide
ayudarle estudiando con él cada día durante 15 minutos o media hora, pero no por más
de 15 horas en total. Demuestre que durante ese periodo de días consecutivos Pedro y su
amigo trabajarán exactamente ocho horas y tres cuartos de hora.
Solución: Supongamos que Pedro y su amigo trabajan a (^) i cuartos de hora el i-ésimo día (7 semanas tienen 35 días) con i=1, 2, …, 35. Entonces la lista a 1 (^) , a 1 (^) + a 2 (^) , a 1 (^) + a 2 (^) + a a 3 1 (^) + a 2 (^) + a 3 (^) + a 4 (^) , ........ , a 1 (^) + a 2 (^) + ....+ a 35
Consta de 35 números naturales entre 1 y 60 cuartos de hora (15x4 =60 cuartos de hora) si alguno de esos números es divisible por 35 (8 horas y ¾ de hora son 35 cuartos de hora), será 35 y por tanto la respuesta es correcta. En cualquier otro caso, estos 35 números al dividirlos por 35 determinan 34 restos, del 1 al 34, por tanto aplicando el PP tenemos que al menos hay dos divisiones, dos números de la lista, que tienen el mismo resto al dividirlos por 35. Supongamos que s y t verifican esta condición
1 2 1 2
t s
a a a c r a a a c r
Entonces (suponiendo t>s) restando las igualdades anteriores se obtiene as (^) + 1 + as (^) + 2 + .... + at = 35 c , es decir a (^) s + 1 + as (^) + 2 + ....+ at es divisible por 35 y por tanto
igual a 35. Por tanto, Pedro trabaja 8 horas y tres cuartos los días s+1, s+2,……, t.
Selecciones ordenadas sin repetición (Variaciones)
1. ¿Cuántas parejas se pueden formar de un grupo de 12 mujeres y 20 hombres? Solución: La primera mujer tiene 20 posibilidades de formar pareja, la segunda 19, y así hasta la duodécima que tiene 9 posibilidades, por tanto el número de parejas será 20x19x……x9. También se puede resolver seleccionando 12 hombres entre un conjunto de 20, en esta selección importa el orden, por tanto V (^) 20, 12 = 20x19x……x(20- 12+1).
Solución: a) 5!.x 3!/5 (5! La ordenaciones posibles de cuatro elementos en una fila, uno de ellos formado por la terna P5, P6, P7. Como es mesa redonda se debe dividir por
- Además, hay 3! Ordenaciones internas de la terna P5, P6, P7). b) Como P3 puede estar sentada entre el resto de las otras cuatro personas de todas las formas posibles tenemos que el número de posibilidades es V4, 2. Cada una de estas posibilidades hay que tenerla en cuenta con las permutaciones en circulo de cinco elementos, uno de ellos formado por las distintas ternas de P3 y las dos personas que se sientan a su lado, es decir, 5!/5. Por tanto, V (^) 4, 2 x 5!/
Selecciones no ordenadas sin repetición (Combinaciones sin repetición)
1. ¿Cuántas sucesiones de ceros unos, de longitud n contienen exactamente tres veces el cero? Solución: Cn, 3 ya que de n posiciones seleccionamos tres, posiciones donde van los ceros. 2. ¿De cuántas formas se pueden elegir 20 estudiantes de una clase de 32 para que asistan a clase los viernes por la tarde y tomen apuntes para el resto si a) Pablo no quiere ir a clase? Solución: Como uno no quiere ir a clase el número de posibilidades es C31, 20. b) Miguel insiste en ir? Solución: C31, 19 .Uno quiere ir a clase, luego hay que seleccionar 19 de 31, ya que en cada una de esas selecciones hay que añadir a Miguel c) Jaime y Miguel insisten en ir? Solución: C30, 18 hay que seleccionar 18 de un conjunto de 30 d) Jaime o Miguel (o ambos) van a clase?
Solución: Queremos calcular |J ∪ M|= J + M −J ∩ Msiendo J el conjunto de
selecciones en los que aparece Jaime, M el conjunto de selecciones donde aparece
Miguel.
|J M|= J M J M
También, se puede resolver restando las formas en las que no aparecen ni Miguel ni
Jaime
al número total de selecciones de 20 personas de un conjunto de 32,
luego la solución es
e) sólo uno de los dos anteriores estudiantes asiste a clase?
Solución:
, ya que si asiste Jaime y no Miguel se tiene
y lo
mismo al revés, de ahí la solución dada. f) Pablo y Miguel no quieren ir junto a clase?
Solución: El número de selecciones en las que participan Miguel y Pablo son
y el
número total de selecciones de 20 estudiantes de un conjunto de 32 es
, luego el
número solicitado es
3. ¿ Cuántos comités de siete personas se pueden determinar con 15 hombres y 25 mujeres a) si deben estar exactamente cuatro mujeres en cada uno?
Solución: El número de selecciones de cuatro mujeres
y el número de selecciones
de tres hombres de un conjunto de 15 es
. Luego el número total de posibilidades
de formar comités de siete personas con las condiciones mencionadas es
b) si al menos cuatro mujeres deben estar en cada comité? Solución: El número de formas de que en cada comité haya al menos cuatro mujeres
será
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +^ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(que haya cuatro mujeres o
cinco o seis o siete). También,
4. ¿ Cuántas secuencias de ceros y unos de longitud 15contienen exactamente 7 unos?
Solución:
5. En una urna hay 15 bolas rojas y 10 blancas, todas ellas enumeradas. Se seleccionan cinco bolas a) ¿cuántas selecciones distintas se obtienen?
Solución:
b) ¿cuántas selecciones tienen todas las bolas rojas?
Solución:
o bien
c) ¿cuántas selecciones contienen tres bolas rojas y dos blancas?
Solución:
5. Probar que el producto de n número naturales consecutivos es divisible por n! Solución: El producto de n números consecutivos empezando por k es
-1,
( 1)( 2).....( -1) (^) k n n !.
k n k k k k n V n
⎛ +^ − ⎞
, de donde
( 1)( 2).....( -1)^1 !
k k k k n^ k^ n n n
+ + + ⎛ +^ − ⎞
como se quería demostrar.
6. ¿Cuántas diagonales tiene un octógono? Solución: Coincide con selecciones de dos vértices de un conjunto de ocho menos los 8
lados del octógono
13 unidades en 4 cajas de todas las formas posibles que es lo que indica la segunda
ecuación. Por tanto,
⎛ −^ + ⎞
8. Una fundación desea dar una beca de investigación de 10.000 euros, dos de 5.000 y 5 de 1000 euros. La lista de los posibles ganadores es de 13. ¿De cuántas formas se pueden repartir las becas?
Solución:
Desórdenes, binomio, multinomio y particiones
1. Calcular D 6 , D 7 y D 8.
Solución:^6
D = − + + + − etc.
2. Se tienen 11 libros ordenados alfabéticamente por el nombre de su autor en una estantería. ¿De cuántas formas se pueden reordenar los libros de forma que ningún libro esté en la posición original?
Solución:^11
D = − + + + −
3. a) ¿ De cuántas formas se pueden permutar los números enteros de 1 a 9 de manera que ninguno de los impares esté en su posición inicial? b) ¿ De cuántas formas se pueden permutar los números enteros de 1 a 9 de manera que ninguno de los pares esté en su posición inicial? c) ¿ De cuántas formas se pueden permutar los números enteros de 1 a 9 de manera que cuatro números de los nueve estén en su posición inicial?
Solución: a) (^) 1 3 5 7 9
A A A A A
⎝ ⎝^ ⎠^ ⎝^ ⎠^ ⎝^ ⎠^ ⎝^ ⎠ ⎠
b) c) De forma análoga al caso anterior.
4. Desarrollar: (3x^2 +2y) 5 y 6
( z ) z
5. ¿Cuántos términos hay en el desarrollo de (x+y+z)^100? Solución: Hay tantos términos como soluciones de la ecuación n 1 (^) + n 2 (^) + n 3 = 100. 6. Encontrar el coeficiente x^3 y^2 z^4 en ( x + y + z )^9 y el de xy zt u^3 2 en ( x + y + z + t + u )^8. 7. ¿Cómo distribuir cinco objetos distintos en tres cajas idénticas? Solución: Coincide con el número de particiones de un conjunto de cinco elementos en tres partes, es decir, S(5, 3).
