Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Matemàtica Discreta, Profesor: Joan Gimbert, Carrera: Enginyeria Informàtica, Universidad: UdL
Tipo: Apuntes
1 / 47
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Enginyeria Tecnica en Informatica Escola Universitaria Politecnica Universitat de Lleida
(Versi´o redu¨ıda)
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
Joan Gimbert Quintilla Ramiro Moreno Chiral Magda Valls Marsal
ii
conceptes i l’adquisici´o de certes tecniques combinatories, hem inclos un bon nom- bre d’exemples i una variada col.lecci´o de problemes amb les seves corresponents solucions numeriques. En el recull de problemes, en trobareu de nivells diferents. Hem marcat amb una estrella (?) aquells problemes que requereixen una mica m´es d’enginy i hem assenyalat amb un diamant () aquells problemes que han estat proposats en algun examen de la nostra Escola. Al final d’aquestes notes trobareu una selecci´o de referencies bibliografiques on podeu consultar i ampliar els continguts que aqu´ı us presentem.
En aquest cap´ıtol us presentarem un seguit de tecniques i estrategies per a abor- dar problemes de recompte d’objectes verificant determinats requeriments. La resoluci´o d’aquests problemes ens conduira, en darrer terme, al comput del nom- bre de seleccions (permutacions o combinacions) d’un cert conjunt finit. I ´es en l’estudi d’aquests objectes combinatoris b`asics on ens apareixeran uns determi- nats nombres, com s´on els coeficients binomials i multinomials, dels quals veurem quines propietats i aplicacions tenen.
1.1 Principis d’enumeraci´o b`asics
Els problemes on es tracta de calcular de quantes maneres diferents es poden dis- posar (triar, agrupar, etc.) uns determinats elements poden tots ells ser formulats com el comput del cardinal d’un cert conjunt, format precisament per aquelles configuracions (disposicions, seleccions, etc.) desitjades. Aquest recompte, pero, s’hauria de poder realitzar sense rec´orrer a l’enumeraci´o (o generaci´o) de totes aquestes configuracions. Per fer-ho emprarem un seguit de tecniques i estrategies basades en resultats molt simples, que es coneixen amb el nom de principis d’enu- meraci´o. Abans d’enunciar-los, recordarem la definici´o de cardinal d’un conjunt finit i introduirem la corresponent notaci´o.
Definici´o. Un conjunt no buit A ´es finit si existeix un nombre natural n tal que es pot construir una aplicaci´o bijectiva entre els conjunts { 1 ,... , n} i A. Aquest nombre n, que en cas d’existir ´es ´unic, s’anomena cardinal del conjunt A i es denota per |A|. Direm tamb´e que el conjunt buit ´es finit i que el seu cardinal ´es zero.
3
Una estrategia general per abordar la resoluci´o d’un problema consisteix en di- vidir aquest problema en d’altres de m´es simples. En el cas de tractar-se d’un problema de combinatoria enumerativa, ´es a dir, quan es vol calcular el cardinal d’un cert conjunt finit A, els subproblemes correspondrien al comput del cardinal de conjunts m´es senzills Ai a partir dels quals, i mitjan¸cant el seu producte carte- sia o la seva uni´o, s’obt´e A. Llavors, a partir d’aquesta descomposici´o i emprant els principis del producte i l’addici´o, que tot seguit exposarem, podrem deduir el cardinal de A.
Proposici´o 1.1 (Principi del producte). Si A i B s´on dos conjunts finits, aleshores el conjunt producte cartesi`a A × B = {(a, b) | a ∈ A i b ∈ B} ´es un conjunt finit i el seu cardinal ´es
|A × B| = |A| · |B|.
Per inducci´o, la regla anterior s’esten al producte cartesia d’un nombre finit de conjunts finits.
Corol.lari 1.2. Si A 1 , A 2 ,... , Ak s´on conjunts finits, aleshores A 1 ×A 2 ×· · ·×Ak ´es un conjunt finit i el seu cardinal ´es
|A 1 × A 2 × · · · × Ak| =
∏^ k
i=
|Ai| = |A 1 | · |A 2 |... |Ak|.
M´es en general, suposem que els elements d’un conjunt finit A puguin generar-se mitjan¸cant un proc´es constitu¨ıt per k etapes tals que:
Aleshores, |A| = n 1 · n 2... nk, relaci´o coneguda com a regla del producte.
Exemple: Determineu quantes matr´ıcules de cotxes podran fer-se amb el nou sistema de matriculaci´o, on cada matr´ıcula est`a formada per un nombre de quatre d´ıgits i una paraula de tres lletres (consonants).
Considerem el conjunt de d´ıgits D = { 0 , 1 ,... , 9 } i el conjunt de consonants C = {b, c,... , z}. Aleshores, el conjunt de matr´ıcules ´es el producte cartesi`a
ja que la xifra m´es significativa (primera per l’esquerra) no pot ser 0, llevat que tingui una sola xifra, i les restants xifres han de ser totes diferents entre si i diferents de la primera.
De vegades, quan es tracta de calcular el nombre d’elements d’un subconjunt A ⊆ X que compleixen una determinada condici´o (o almenys una d’un seguit de condicions) resulta m´es senzill calcular el cardinal del seu conjunt complementari en X, que denotarem per A, el qual esta format pels elements de A que no satisfan la condici´o donada (o cap de les dites condicions); i a l’inrev´es. La relaci´o entre els cardinals |A|, |A| i |X| ve donada pel seg¨uent resultat, el qual ´es una conseq¨uencia directa del principi de l’addici´o.
Corol.lari 1.5. Si A ⊆ X i X ´es un conjunt finit, llavors A i el seu conjunt complementari A s´on conjunts finits i els seus respectius cardinals satisfan
|A| = |X| − |A|.
Demostraci´o. N’hi ha prou en expressar X com a uni´o disjunta de A i A i aplicar el principi de l’addici´o.
Exemple: Determineu quantes paraules de 5 lletres contenen almenys una vocal?
Considerem l’alfabet de la llengua catalana, Σ = {a, b,... , z} on |Σ| = 26, i definim el conjunt A format per les paraules de longitud 5, sobre l’alfabet Σ, que contenen almenys una vocal. Es tracta, doncs, d’un subconjunt de Σ^5 = {s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 | si ∈ Σ}, conjunt format per totes les paraules^1 de longitud 5. Fixem-nos que el conjunt complementari de A en Σ^5 est`a format per les paraules de longitud 5 sobre l’alfabet C = Σ−{a, e, i, o, u}. Per tant, A = C^5 i, conseq¨uentment, |A| = 21^5 , ja que en cada posici´o d’una paraula de A podem posar-hi qualsevol de les 21 consonats disponibles. Aplicant, doncs, el Corol.lari 1.5 resulta que
|A| = |Σ^5 | − |A| = 26^5 − 215 = 7, 797 , 275
De vegades quan no es sap com comptar, d’una manera directa, els elements d’un cert conjunt, aquests s’identifiquen (o codifiquen a trav´es d’una aplicaci´o bijectiva) amb els elements d’un altre conjunt del que s´ı es coneix com fer el seu recompte. Llavors, tal com ens diu el seg¨uent principi, podrem deduir-ne el cardinal del conjunt inicial.
(^1) Identificarem les n-tuples del conjunt producte cartesi`a Σn (^) amb les paraules de longitud n sobre l’alfabet Σ, ´es a dir, (s 1 , s 2 ,... , sn) ≡ s 1 s 2... sn.
Proposici´o 1.6 (Principi d’igualtat). Dos conjunts finits A i B tenen el mateix cardinal si, i nom´es si, existeix una aplicaci´o bijectiva entre ells.
Exemple: Quants subconjunts t´e el conjunt A = { 1 , 2 ,... , n}?
Podem representar cada subconjunt S ⊆ A com un vector binari f (S) = (s 1 , s 2 ,... , sn), amb n = |A| components, on el component si sigui igual a 1 si, i nom´es si, S cont´e a l’element i de A. D’aquesta manera hem constru¨ıt una aplicaci´o bijectiva f entre el conjunt de parts de A, P(A), i el conjunt { 0 , 1 }n. Llavors, aplicant el principi d’igualtat i el principi del producte, tenim que |P(A)| = |{ 0 , 1 }n| = 2n.
1.2 Seleccions ordenades: Permutacions
El problema que ara abordarem consisteix en determinar de quantes maneres diferents podem seleccionar k elements d’un conjunt A de cardinal n. Ara b´e, per fer aquest comput cal primerament fixar els criteris pels quals distingirem una selecci´o d’una altra. Basicament s’haura de decidir si l’ordre dels elements ´es rellevant, ´es a dir, si es tracta de seleccions ordenades o no ordenades, i si els elements poden repetir-se i, en cas afirmatiu, quin nombre de vegades ho poden fer. Quan distingim dues seleccions b´e per tenir elements diferents o b´e per l’ordre en que hi apareixen els elements, parlarem de seleccions ordenades o permutacions. En canvi, si considerem iguals dues seleccions que tan sols es diferenci¨ın per l’ordre dels seus elements, aleshores parlarem de seleccions no ordenades o combinacions. En el cas que els elements puguin repetir-se en una mateixa selecci´o, llavors parlarem de seleccions amb repetici´o. En aquesta secci´o, i en la seg¨uent, introduirem diferents models matematics per a les seleccions abans esmentades amb l’objectiu que ens serveixin per identificar, davant d’un problema concret, de quin tipus de selecci´o es tracta i, al mateix temps, ens permetin deduir-ne el seu comput. En particular, veurem com les diferents seleccions poden codificar-se mitjan¸cant paraules, d’una certa longitud sobre un cert alfabet, verificant determinats requirements que dependran del tipus concret de selecci´o. Aquesta modelitzaci´o ens permetr`a formular i resoldre d’altres problemes combinatoris com, per exemple, el problema de distribuir k boles en n urnes.
Com es tracta d’una aplicaci´o bijectiva, aplicant el principi d’igualtat i el principi del producte, podem concloure que
|F(X, Y )| = |Y k| = |Y |k^ = nk.
Resoluci´o de l’exemple introductori
El nombre de “codis secrets”en el joc del mastermind ´es igual a 6^4. La gen- eraci´o d’aquests, i en general de les seleccions ordenades, pot fer-se mitjan¸cant un diagrama d’arbre.
Exemples introductoris
a que una mateixa persona no pot tenir m´es d’un carrec.)Si Y = {e 1 , e 2 ,... , e 10 } representa el conjunt de membres del Consell d’Es- tudiants, aleshores una junta directiva formada per tres carrecs (P, S, T ) es correspon a una terna ordenada, ja que es tracta de carrecs diferents, de tres elements diferents del conjunt Y. Aix´ı, cada selecci´o d’una junta pot representar-se mitjan¸cant una aplicaci´o injectiva f del conjunt de carrecs X = {P, S, T } en el conjunt de membres elegibles Y. Es tracta d’una aplicaci´o injectiva ja que dos carrecs diferents no poden assignar-se a una mateixa persona.
Si pensem un taulell d’escacs com una matriu de 8 × 8, aleshores una disposici´o en aquest taulell de vuit torres (identiques) que no es “matin entre si” equival a triar vuit posicions {(i 1 , j 1 ),... , (i 8 , j 8 )}, on (il, jl) ∈ { 1 , 2 ,... , 8 }^2 , tals que els seus primers components (o files) il siguin tots ells diferents i el mateix succeeixi amb els segons components (o columnes) jl. Llavors, com tenim el mateix nombre de posicions a elegir que files i columnes t´e el taulell, resulta que {i 1 ,... , i 8 } = {j 1 ,... , j 8 } = { 1 ,... , 8 }. Per tant, les disposicions que cerquem es corresponen amb les aplicacions bijectives (o permutacions) f del conjunt { 1 ,... , 8 }, on f (i) indicara en quina columna es troba l’´unica torre situada en la fila i.
Models matem`atics Cada selecci´o ordenada o permutaci´o de k elements diferents d’un conjunt Y de cardinal n pot pensar-se com una aplicaci´o injectiva del conjunt { 1 ,... , k} en el conjunt Y ja que l’element f (i) ∈ Y , triat per a la posici´o i, ha de ser diferent de l’element f (j), si i 6 = j. Aix´ı mateix, aquesta aplicaci´o f pot identificar-se amb la k-tupla (f (1),... , f (k)) ∈ Y k, on totes les seves components s´on diferents. Es a´ dir, una permutaci´o de k elements d’un conjunt Y , que en t´e n, pot representar- se com una paraula de longitud k, sobre l’alfabet Y de mida n, formada per k s´ımbols diferents. Es clar que si el nombre total de s´´ ımbols disponibles n ´es inferior al nombre de s´ımbols a escollir k, llavors no hi ha cap paraula amb les condicions demanades.
C`omput Proposici´o 1.8. El nombre d’aplicacions injectives d’un conjunt X de cardinal k en un conjunt Y de cardinal n, on k ≤ n, ´es igual a
n · (n − 1)(n − 2)... (n − k + 1).
A m´es, aquest c`omput coincideix amb el nombre de paraules de longitud k sobre l’alfabet Y de mida n formades per s´ımbols tots ells diferents o, equivalentment, ´es igual al nombre de permutacions de k elements d’un conjunt Y format per n elements.
Demostraci´o. Sigui X = {x 1 ,... , xk} i Y = {y 1 ,... , yn}, on k ≤ n. Tota apli- caci´o injectiva de X en Y pot identificar-se amb una k-tupla (f (x 1 ),... , f (xk)) formada per k elements diferents de Y. Observem que pel primer component f (x 1 ) tenim n possibles tries, tantes com elements t´e Y , i per a cadascuna d’elles tenim n − 1 opcions pel segon component, corresponents als n − 1 elements del conjunt Y −{f (x 1 )}. Analogament, quan haurem de seleccionar el darrer element f (xk) tindrem n−(k −1) opcions, ja que previament hem triat k −1 elements que no podem repetir. Aplicant la regla del producte tindrem que el nombre d’apli- cacions injectives de X en Y ser`a igual a n(n − 1)(n − 2)... (n − (k − 1)).
Aix´ı, doncs, el nombre de seleccions ordenades (o permutacions) de k elements (diferents) d’un conjunt de n elements, que denotarem per Pn,k, ´es igual a
Pn,k = n(n − 1)(n − 2)... (n − k + 1), si k ≤ n.
En particular, quan k = n, les seleccions ordenades de n elements diferents d’un conjunt Y de cardinal n es corresponen amb les aplicacions bijectives^2 de Y en (^2) Tota aplicaci´o injectiva entre dos conjunts finits amb el mateix cardinal ´es bijectiva.
Fixem-nos que en qualsevol cam´ı de longitud m´ınima des de la cru¨ılla A a la cru¨ılla B haurem de “baixar” (↓) tres carrers i haurem de travessar quatre carrers cap a la dreta (→). Aix´ı, doncs, podem codificar cada cam´ı mitjan¸cant una paraula de longitud set formada per tres s´ımbols ↓ i quatre s´ımbols →. Per exemple, ↓↓↓→→→→ representaria el cam´ı consistent en “baixar” tres carrers i despr´es travessar quatre carrers cap a la dreta.
Models matem`atics
Les seleccions ordenades de k elements d’un conjunt Y = {y 1 , y 2 ,... , yn} on l’element yi hi apareix repetit ki vegades, essent k = k 1 + k 2 +... + kn, es representen mitjan¸cant paraules de longitud k sobre l’alfabet Y on cadascun dels seus s´ımbols yi es repeteix ki vegades. Tals seleccions ordenades, on es fixa el nombre de repeticions de cada element, tamb´e podr´ıem identificar-les amb les aplicacions exhaustives del conjunt { 1 , 2 ,... , k} en el conjunt Y = {y 1 , y 2 ,... , yn} verificant que el nombre d’elements del conjunt antiimatge de {yi} ´es ki, per a tot i ∈ { 1 , 2 ,... , n}.
C`omput
Proposici´o 1.9. Donat un alfabet Y amb n s´ımbols, Y = {y 1 , y 2 ,... , yn}, el nombre de paraules sobre l’alfabet Y on cadascun dels seus s´ımbols yi apareix repetit ki vegades, per a cada i = 1, 2 ,... , n, ´es igual a
k! k 1 !k 2!... kn!
, on k = k 1 + k 2 + · · · + kn.
Demostraci´o. Suposem, per un moment, que els k s´ımbols
{y^11 ,... , y 1 k^1 , y^12 ,... , yk 2 2 ,... , y^1 n,... y nkn },
amb els quals es formen les paraules, fossin tots ells diferents. Llavors, el total de paraules seria igual al nombre de permutacions (o reordenacions) d’aquests k elements, ´es a dir, n’hi hauria k!. Ara b´e, resulta que els k 1 s´ımbols {y^11 ,... , y 1 k^1 } s´on en realitat el mateix (y 1 ). Aixo ens obliga a agrupar les paraules que nom´es es diferencien per les reordenacions d’aquests k 1 s´ımbols, ja que totes elles s´on la mateixa paraula. Com en cadascun d’aquests grups hi ha k 1! paraules, el total de grups (o paraules resultants d’aquest sedas) ´es k!/k 1 !. Aquest mateix raonament, aplicat a cadascun dels s´ımbols yi, ens permet afirmar que el total de paraules, m`odul les reordenacions del s´ımbols que es repeteixen, ´es igual a (((k!/k 1 !)/k 2 !)...)/kn! = k!/(k 1 !k 2!... kn!).
Resoluci´o de l’exemple introductori
El total de paraules de longitud set sobre l’alfabet Y = {↓, →}, en les quals el s´ımbol ↓ hi apareix tres vegades i el s´ımbol → quatre cops, ´es igual a
7! 3!4!
Fixeu-vos, per exemple, que les 6 (= 3!) paraules ↓ 1 ↓ 2 ↓ 3 →→→→, ↓ 1 ↓ 3 ↓ 2 →→→→, ↓ 2 ↓ 1 ↓ 3 →→→→, ↓ 2 ↓ 3 ↓ 1 →→→→, ↓ 3 ↓ 1 ↓ 2 →→→→, ↓ 3 ↓ 2 ↓ 1 →→→→ s´on la mateixa ja que els s´ımbols {↓ 1 , ↓ 2 , ↓ 3 } s´on tots tres iguals.
1.3 Seleccions no ordenades: Combinacions
En aquesta secci´o ens ocuparem de comptar de quantes maneres es poden triar k elements d’un conjunt de cardinal n, si considerem que dues seleccions s´on diferents nom´es en el cas que estiguin formades per elements diferents.
Exemple introductori
Quantes rectes determinen vuit punts en el pla? (Suposeu que no hi ha tres punts alineats.)
Com per a cada parell de punts hi ha una ´unica recta que passa per ells, el total de rectes coincidir`a amb el nombre de parelles no ordenades de punts. Es tracta de seleccions no ordenades ja que tenim la mateixa recta tant si triem els punts (P, Q) com si prenem (Q, P ). Aquestes seleccions es repre- senten mitjan¸cant subconjunts de cardinal dos, {P, Q}, ja que un conjunt no canvia si els seus elements s’enumeren en diferent ordre ({P, Q} = {Q, P }).
Models matem`atics
Una selecci´o no ordenada, tamb´e anomenada combinaci´o, de k elements d’un conjunt finit X pot pensar-se com un subconjunt de X de cardinal k. Aix´ı mateix, si el conjunt X t´e cardinal n, X = {x 1 , x 2 ,... , xn}, aleshores cada sub- conjunt A ⊆ X de cardinal k pot codificar-se mitjan¸cant una n-tupla (o paraula), (y 1 , y 2 ,... , yn), formada per k uns i n − k zeros, on yi = 1 si xi ∈ A i yi = 0, altrament.
Resoluci´o de l’exemple introductori
El nombre de rectes diferents determinades pels vuit punts del pla ´es igual a ( 8 2
suposant que no hi hagi tres punts alineats.
Exemple introductori
De quantes maneres poden distribuir-se quatre boles id`entiques en tres urnes nu- merades?
Com les boles s´on identiques cada distribuci´o queda caracteritzada pel nom- bre de boles que cauen en cadascuna de les urnes o, equivalentment, pel nombre de vegades que hem triat cada urna per dipositar-hi una bola. Aix´ı, podem pensar aquestes distribucions com a seleccions no ordenades amb repetici´o de quatre elements (tants com a boles) del conjunt d’urnes U = {a, b, c}. Es tracta de seleccions no ordenades ja que al ser les boles identiques no ´es rellevant l’ordre en que triem les urnes i s´on seleccions amb repetici´o ja que podem col.locar m´es d’una bola en una mateixa urna. Aque- stes seleccions poden representar-se mitjan¸cant multiconjunts, els quals a diferencia dels conjunts admeten repeticions entre els seus elements. Aix´ı, per exemple, el multiconjunt {a, a, b, c} representa la distribuci´o de dues boles a la urna a i una bola a cadascuna de les altres dues urnes b i c. D’altra banda, la informaci´o relativa al nombre de boles que cauen en ca- da urna podem expressar-la mitjan¸cant una paraula formada per quatre s´ımbols identics, que representin les boles (O), i per dos s´ımbols iguals, que representin els separadors entre les urnes (|). Aix´ı, per exemple, la distribu- ci´o {a, a, b, c} es codificaria per mitj`a de la paraula OO|O|O, on l’esquema de codificaci´o seguit ´es el seg¨uent:
a a b c O O | O | O.
Model matem`atic
Cada selecci´o no ordenada amb repetici´o de k elements d’un conjunt Y = {y 1 ,... , yn} de cardinal n pot representar-se mitjan¸cant un multiconjunt
{y 1 ,.. ., ye^11 , y 2 ,.. ., ye^22 ,... , yn,.. ., yen n},
on ei ≥ 0 representa el nombre de repeticions de l’element yi i on k = e 1 +· · ·+en. Aquest multiconjunt tamb´e pot codificar-se mitjan¸cant una paraula de longitud k + n − 1 sobre l’alfabet {O, |}, on el s´ımbol O es repeteix k cops i el s´ımbol | apareix n − 1 vegades O.. .Oe^1 |O.. .Oe^2 |... |O.. .O.en
C`omput
Proposici´o 1.11. El nombre de seleccions no ordenades amb repetici´o de k ele- ments d’un conjunt de cardinal n ´es igual al coeficient binomial
( n + k − 1 k
Demostraci´o. Cal comptar el nombre de paraules de longitud n + k − 1 sobre l’alfabet {O, |} formades per k “s´ımbols bola” O i n − 1 “s´ımbols separador” |. Aquest c`omput ´es igual a
(n + k − 1)! k!(n − 1)!
n + k − 1 k
Resoluci´o de l’exemple introductori
El nombre de distribucions diferents de quatre boles id`entiques en tres urnes numerades ´es igual al nombre de paraules de longitud sis sobre l’alfabet {O, |} formades per quatre O i dos | (separadors, un menys que urnes). Per tant, hi ha
( 6 4
= 15 distribucions diferents.
Aquestes distribucions s´on:
{a, a, a, a} {a, a, a, b} {a, a, a, c} {a, a, b, b} {a, a, c, c} {a, a, b, c} {a, b, b, b} {a, b, b, c} {a, b, c, c} {a, c, c, c} {b, b, b, b} {b, b, b, c} {b, b, c, c} {b, c, c, c} {c, c, c, c}.
1.4 Coeficients binomials i multinomials: propietats
Els coeficients binomials apareixen en molta freq¨uencia en Combinatoria, d’aqu´ı que sigui interessant con`eixer alguna de les seves propietats m´es rellevants.