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Matem´atica Discreta
Grado en Matem´aticas
Relaci´on de Problemas (1)
1.1. Probar que en cualquier grupo X de 2 o m´as personas hay dos miembros de X que tienen igual n´umero de amigos dentro de X. (Se entiende que x es amiga de y si y s´olo si y es amiga de x.)
1.2. a) Probar que el conjunto de los n´umeros pares A = { 2 n | n ∈ N} es numerable. b) Probar que el conjunto de los n´umeros impares es numerable. c) ¿Es numerable el conjunto de los n´umeros enteros? Razonar la respuesta.
1.3. Sea un tri´angulo equil´atero de lado de longitud 1. Sea X un conjunto de diez puntos interiores al tri´angulo. Probar que hay un par de puntos de X cuya distancia (eucl´ıdea) es menor o igual que 1/3.
1.4. Una matriz 3 × 3 est´a formada por 0, 1 y −1 (ceros, unos y menos unos). Probar que entre los resultados de las ocho sumas que se obtienen por filas, columnas y diagonales hay al menos dos de ellos iguales.
1.5. Demostrar que cualquier subconjunto S ⊂ A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } con cardinal |S| = 6 debe contener dos elementos cuya suma es 10.
1.6. Sea X un conjunto de trece puntos del borde o interiores a un rect´angulo de lados 3 y 4 cm. Probar que siempre habr´a al menos un par de puntos de X situados a una distancia menor o igual que
1.7. Probar que si se escogen n n´umeros naturales cualesquiera siempre habr´a al menos dos de ellos que tengan el mismo resto al ser divididos entre n − 1.
1.8. En una clase de m´usica con 73 estudiantes hay 52 que tocan el piano, 25 el viol´ın, 20 la flauta, 17 tocan piano y viol´ın, 12 piano y flauta, 7 viol´ın y flauta y s´olo una persona toca los tres instrumentos. ¿Hay alguien que no toque ninguno de los tres instrumentos?
1.9. De un total de 100 botellas de agua mineral de distintos manantiales, 40 contienen s´ılice, 40 contienen calcio, 51 contienen magnesio, 11 contienen s´ılice y calcio, 12 s´ılice y magnesio y 13 calcio y magnesio. Suponiendo que todas las botellas contienen alg´un mineral
a) ¿Cu´antas botellas contienen los tres minerales? b) ¿Cu´antas contienen s´olo uno?
1.10. En una oficina trabajan 4 hombres y 6 mujeres. Se est´an haciendo turnos de 5 personas para cubrir el per´ıodo de vacaciones.
a) ¿Cu´antos turnos diferentes podremos elegir? b) ¿En cu´antos de ellos no habr´ıa ning´un hombre? c) ¿En cu´antos habr´ıa exactamente un hombre? d) ¿En cu´antos habr´ıa exactamente dos mujeres?
1.11. a) ¿Cu´antos n´umeros capic´uas de 5 cifras se pueden hacer con los d´ıgitos pares?
b) ¿Cu´antos de ellos empiezan por 2? c) ¿Cu´antos tienen 3 cifras diferentes?
1.12. ¿Cu´antos elementos tiene el conjunto de n´umeros naturales cuyos d´ıgitos en base 10 son todos diferentes? ¿Es finito o infinito?
1.13. En un taller trabajan 6 hombres y 4 mujeres. Seg´un el n´umero de sus fichas se han escogido al azar 5 personas.
a) ¿De cu´antas formas podemos hacer la elecci´on? b) ¿En cu´antos casos no habr´ıa ninguna mujer? c) ¿En cu´antos casos no habr´ıa ning´un hombre?
1.14. Una familia formada por los padres y 3 hijos van al cine. Se sientan en 5 butacas consecutivas.
(a) ¿De cu´antas formas distintas pueden sentarse? (b) ¿Y si los padres deciden sentarse en los extremos? (c) ¿Y si los padres deciden no sentarse en los extremos?
1.15. Considera el conjunto de letras B = {a, u, r, e, l, i, o} y supongamos que cualquier elecci´on ordenada de ellas forma una palabra.
(a) ¿Cu´antas palabras distintas de 7 letras distintas puedes formar con las letras de B? (b) ¿Y si admites letras repetidas en una misma palabra?
1.16. En una carrera ciclista participan 5 pa´ıses con 6 corredores cada uno. Se pide:
(a) ¿Cu´antos podios distintos pueden ocurrir? (b) En la ceremonia de entrega de medallas se izan de forma ordenada las banderas de los pa´ıses a los que pertenecen los tres ganadores. ¿Cu´antos posibles izamientos hay? ¿En cu´antos de esos izamientos aparece la bandera del pa´ıs A?
1.17. Una ficha de un n-domin´o es una pieza formada por dos cuadrados unidos por un lado. Cada cuadrado puede ser blanco o contener de uno a n puntos. Por ejemplo, el domin´o usual es un 6-domin´o. ¿Cu´antas fichas diferentes tiene un n-domin´o?
1.18. Considera los d´ıgitos del 1 al 7.
(a) ¿Cu´antos n´umeros de 4 cifras distintas puedes formar con ellos? (b) ¿Cu´antos de esos n´umeros contienen el d´ıgito 7? (c) ¿Cu´antos de los n´umeros del apartado a) no contienen al 7?
1.19. Considera de nuevo los d´ıgitos del 1 al 7.
(a) ¿Cu´antos n´umeros de 4 cifras puedes formar con ellos? (b) ¿Cu´antos de esos n´umeros contienen al 7? (c) ¿Cu´antos no contienen al 7?
1.20. Considera el conjunto de letras A = {a, b, c, d, e, f, g}.
(a) ¿Cu´antos subconjuntos de 5 elementos tiene A?
