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Capítulo 1
Congruencias
- Si p ∈ Z+^ es primo, tal que p es la suma de dos cuadrados perfectos, entonces p ≡ 1 m´od 4 ó p = 2.
- Pruebe que x = x 0 + x 1 (10) + x 2 (10)^2 +... + xk(10)k^ es divisible entre 11, sí y sólo si x 0 − x 1 + x 2 − x 3 +... + (−1)kxk es divisible entre 11.
- Pruebe que 518 − 39 es divisible por 11.
- Pruebe que 270 + 3^70 es divisible por 13.
- Halle la cifra de las unidades de 17363 y la cifra de las decenas de 17283.
- Calcule el resto de dividir 298 entre 101.
- Pruebe que los posibles restos de la división por 7 de un cubo perfecto son 0, 1 ó 6.
- Sean( p y n enteros, p es primo, tal que 1 ≤ n < p. Probar que se cumple p n
≡ 0 m´od p.
- Demostrar que si p es primo, entonces cualquiera que sea el número natural n, se cumple que
∑p k=
nmcd(k,p)^ ≡ 0 m´od p.
- Si x^2 + y^2 = z^2 , demostrar:
a) Al menos uno de los valores de x, y o z es divisible entre 3. b) xyz es múltiplo de 4. c) Al menos uno de los valores de x, y o z es divisible entre 5. d) xyz ≡ 0 m´od 60.
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2 CAPÍTULO 1. CONGRUENCIAS
- Si m es primo, y a, b son dos números enteros positivos menores que m; demostrar que am−^2 + am−^3 b + am−^4 b + · · · + bm−^2 es múltiplo de m.
- Para todo n ∈ N, sea An = 2n^ + 4n^ + 8n; probar que, si n ≡ m mod(3), entonces An ≡ Am m´od 7.
- Probar que todo cuadrado perfecto es congruente con 0 ó 1 ó 4 módulo
- Probar que si a, b, c ∈ Z y m ∈ Z+, tal que ac ≡ bc m´od m, entonces a ≡ b m´od m/d, donde d = (c, m).
- Pruebe que p ∈ Z+^ es un número primo, sí y sólo si en Zp, [a][b] = 0 implica que [a] = 0 ó [b] = 0.
- Sea p ∈ Z+^ número primo, probar por inducción en n, que np^ ≡ n m´od p. Deducir a partir de esto el Pequeño Teorema de Fermat.
- Si a y b son enteros, y p ∈ Z+^ es primo, entonces pruebe que (a + b)p^ ≡ ap^ + bp^ m´od p
- Si p es un número primo mayor que 5, demuestre que p^4 − 1 es divisible por 240.
4 CAPÍTULO 2. LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA
b) ¾Es ∼ compatible con ∗ en S?. c) De ser a rmativa su respuesta en (b), pruebe que S ∼ es isomorfo a f (S).
- En R^2 se de ne la relación (x, y) ∼ (a, b) ⇐⇒ y = b. Determine si la relación ∼ es compatible con las siguientes l.c.i.:
a) La suma usual en R^2. b) En R^2 , (a, b) ∗ (c, d) = (3 + ac, 2 b − 4 d^2 + bd − 1).
- Considere el conjunto Q de números racionales, y sea ∗ la operación en Q de nida por a ∗ b = a + b + ab; estudie las propiedades de ∗ y la existencia de elementos distinguidos en Q.
- En R se de ne la relación x ∼ y ⇔ x^2 − x = y^2 − y y la l.c.i. ∗, con a ∗ b = a^2 + b^2 − (a + b) + 1. Determine si ∼ es una relación de equivalencia compatible con ∗.
- Sea S = Z+^ × Z+el conjunto donde se de ne la operación ∗ dada por (a, b) ∗ (a′, b′) = (aa′, bb′).
a) Estudie las propiedades de ∗ y la existencia de elementos distingui- dos en S. b) Pruebe que f : (S, ∗) −→ (Q, ·), de nida mediante f (a, b) = ab , es un homomor smo. c) De na una relación en S mediante f , de modo que sea compatible con ∗ en S.
Capítulo 3
Grupos
- En Q se de ne la operación a ∗ b = a + b − kab, siendo k un elemento jo de Q.
a) Demostrar que ∗ es asociativa, y que existe elemento neutro en Q. b) Comprobar que (Q, ∗) no es grupo, y determinar λ para que el par (Q − {λ}, ∗) sea grupo.
- Sea S = Q × Q el conjunto donde se de ne la operación ∗, tal que (a, b) ∗ (x, y) = (ax, ay + b):
a) Encuentre (3, 4) ∗ (1, 2) y (− 1 , 3) ∗ (5, 2). b) ¾S es semigrupo? ¾Es conmutativo? c) Encuentre el elemento identidad (neutro) de S. d) ¾Cuáles elementos, en caso de haberlos, tiene inverso? ¾Cuáles son?
- Considere el conjunto Z+, y sea ∗ la operación Mínimo Común Múltiplo en Z+:
a) ¾(Z+, ∗) es un semigrupo? b) ¾Existe elemento identidad en Z+? c) De ser a rmativa su respuesta en (b), ¾cuáles son los elementos de Z+^ (en caso existan) que poseen inverso? ¾Cuáles son sus respectivos inversos?
- Sea G = {X = (xn)n∈N / xn = − 1 ó 1 , ∀ n ∈ Z+}, provisto de la operación de multiplicación, de nida por X ·Y = (xnyn)n∈N. Determine si (G, ·) es un grupo.
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- Si ∗ es una l.c.i. en un conjunto S, un elemento x de S es idempotente para ∗, si x∗x = x. Pruebe que un grupo tiene exactamente un elemento idempotente.
8 CAPÍTULO 3. GRUPOS
10 CAPÍTULO 4. SUBGRUPOS
- Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos los elementos x ∈ G que satisfacen la ecuación x^2 = e, forman un subgrupo H de G.
- Repítase el ejercicio 8 para la situación general del conjunto H de todas las soluciones x de la ecuación xn^ = e, para un entero jo n ≥ 1 , en un grupo abeliano G con la identidad e.
- Sea (G, ∗) un grupo abeliano, y n ∈ Z+; ¾Es H = {xn^ / x ∈ G} subrgrupo de G?
- Pruebe que (L(R^2 ), +) es un grupo abeliano.
- Pruebe que el conjunto GLn(R) = {A ∈ Rn×n^ / x ∈ G} (grupo lineal de las matrices de orden n) con el producto de matrices, es un grupo.
- Pruebe que los siguientes conjuntos son subgrupos de (GLn(R), ·):
a) SLn(R) = {A ∈ GLn(R) / det(A) = 1} b) On(R) = {A ∈ GLn(R) / AAt^ = I} c) SOn(R) = On(R) ∩ SLn(R)
- Si H = {
[
a b −b a
]
/ a, b ∈ R}, ¾Es (H∗, ·) subgrupo de (GL 2 (R), ·)?
- Sea (G, ·) un grupo, y H un subgrupo de G. Se de ne la relación de congruencia módulo H como sigue: a ≡ b m´od H ⇐⇒ ab−^1 ∈ H; para cada a, b ∈ G:
a) Pruebe que la relación de nida es una relación de equivalencia. b) Pruebe que el conjunto Ha = {ha / h ∈ H}, llamado clase lateral derecha de H satisface Ha = [a].
- Sea (G, ·) un grupo. Sea a ∈ G, de nimos N (a) = {x ∈ G / xa = ax}. Demuestre que N (a) es un subgrupo de G.
- Generalizando el ejercicio 18; sea S cualquier subconjunto de un grupo G, muestre que Hs = {x ∈ G / xs = sx, ∀s ∈ S} es un subgrupo de G.
- Si G es un grupo, se de ne a Z como el centro de G, de la manera siguiente: Z = {z ∈ G / zx = xz, ∀x ∈ G}. Pruebe que Z es un subgrupo de G.
- Suponga que la aplicación τab (a, b ∈ R) transforma los reales en reales, de acuerdo a la regla τab : x −→ ax + b. Sea G = {τab / a 6 = 0}:
a) Pruebe que G es un grupo bajo la composición de aplicaciones. Encuéntrese la fórmula para τabτcd. b) Si H = {τab ∈ G / a es racional}. ¾Es H un subgrupo de G?
- En el grupo del problema 21, sea N = {τ 1 b ∈ G}. Pruebe que:
a) N es un subgrupo de G. b) Si a ∈ G y n ∈ N , entonces ana−^1 ∈ N.
- ¾Un grupo no abeliano puede tener un subgrupo abeliano?
- Sea el grupo multiplicativo (C∗, ·), donde C∗^ = C − { 0 }. Determine si los siguientes subconjuntos son subgrupos de C∗:
a) S^1 = {z ∈ C∗^ / |z| = 1} b) Un = {z ∈ C∗^ / z es raiz n-ésima de la unidad}
- Dados H y K subgrupos de un grupo (G, ∗), demostrar que H ∪ K es un subgrupo de (G, ∗) sí y sólo si H ⊆ K ó K ⊆ H.
- (G, ∗) es un grupo nito. Si a, b ∈ G, pruebe que a ∗ b y b ∗ a tienen el mismo orden.
- Si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, ¾El conjunto HK, de nido por HK = {hk / h ∈ H, k ∈ K} es un subgrupo de G?
Capítulo 5
Teorema de Lagrange
- Sea G un grupo, H ≤ K ≤ G, tal que [G : H] y [H : K] son nitos, entonces [G : K] es nito, y [G : K] = [G : H][H : K].
- Sea G grupo nito, H, K subgrupos de G. Si (|H| , |K|) = 1; pruebe que H ∩ K = {e}.
- Sea G un grupo; probar que si x tiene orden n en G, y d es un entero positivo divisor de n, entonces G tiene un elemento de orden d.
- Sea G un grupo, y α ∈ G tal que α 6 = e; pruebe que orden (α) = 2 ⇐⇒ α = α−^1.
- Sea G un grupo abeliano y considere el subconjunto T (G) de G, tal que T (G) = {α ∈ G / orden(α) < ∞}. Pruebe que T (G) ≤ G (T (G) es llamado subgrupo de torsión de G. ¾Es T (C∗) = {raices de la unidad}?
- Sea G un grupo / ∀x 6 = e, orden(x) = 2. Pruebe que G es abeliano.
- Probar que en un grupo G, el orden de xy coincide con el orden de yx para cualquier par de elementos x, y de G.
- Sean x e y dos elementos de un grupo G, tal que xy = yx; si orden(x) y orden(y) son enteros positivos coprimos, pruebe que entonces se cum- ple: orden(xy) = orden(x)· orden(y).
- Sea n ∈ N, y Z× n = {[a] ∈ Z∗ n / (a, n) = 1}. Pruebe que (Z× n , ·) es un grupo.
- Sea G un grupo, y x ∈ G tal que orden(x) = n. Pruebe que:
a) xm^ = e ⇐⇒ m es múltiplo de n.
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14 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE LAGRANGE
b) orden(xk) = n/(k, n), ∀k 6 = 0. c) Si k divide a n, entonces orden(xk) = n/k.
- Si G es un grupo que tiene un único elemento a 6 = e de orden n, probar que a ∈ Z(G) y n = 2; donde Z(G) = {a ∈ G / ax = xa, ∀x ∈ G}.
- Para cada n ∈ Z+, se denota por ϕ(n) el número de todos los enteros positivos 1 ≤ k ≤ n, los cuales son primos relativos con n. La función ϕ : Z+^ −→ Z+, de nida en esta forma, es llamada Función de Euler.
a) Si G = 〈x〉 es un grupo de orden n, pruebe que G tiene ϕ(n) ge- neradores. (Sugerencia: Probar que un elemento xk^ es generador de G ⇐⇒ (k, n) = 1). b) Si p, n ∈ Z+, tal que p es primo, pruebe que ϕ(pn) = pn^ − pn−^1.
- Si G es un grupo con n elementos, demostrar que xn^ = e, ∀x ∈ G.
- Si n ∈ Z+^ tal que (a, n) = 1, pruebe que aϕ(n)^ ≡ 1 m´od n.
- Sea p primo, y si G es un grupo de orden 2 p; demostrar que todo subgrupo propio de G es cíclico.
16 CAPÍTULO 6. SUBGRUPOS NORMALES
- Demostrar que la intersección de una familia de subgrupos normales de un grupo G es también un subgrupo normal de G.
- Sea G un grupo, H un subgrupo de G tal que [G : H] = 2; demuestre que:
a) H / G. b) Si a /∈ H y b /∈ H =⇒ ab ∈ H. c) {a^2 / a ∈ G} ⊂ H.
- Sea n entero positivo, G un grupo tal que: (xy)n^ = xnyn, ∀x, y ∈ G. Se de ne H = {x ∈ G / xn^ = e}, K = {xn^ / x ∈ G}; pruebe que H / G y K / G.
- Si N es un subgrupo normal de G y N tiene dos elementos, demostrar que N está incluido en el centro de G, Z(G).
- Si H es un subgrupo de G, se de ne el normalizador de H en G como N (H) = {g ∈ G / gHg−^1 = H}. Demostrar que:
a) N (H) es un subgrupo de G y H es un subgrupo normal de N (H). b) Si H es un subgrupo normal de otro subgrupo K de G, K ⊂ N (H) (es decir, N (H) es el más grande de los subgrupos de G en los que H es normal). c) H es normal en G ⇐⇒ N (H) = G.
- Sean H y K dos subgrupos de G, tales que H está incluido en N (K) (el normalizador de K en G). Demostrar que HK es un subgrupo de G. Además; deducir que si H es un subgrupo de G y K es normal en G, entonces HK es un subgrupo de G.
Capítulo 7
Homomor smos de Grupos
- Sea G un grupo y g ∈ G, pruebe que Ig : G −→ G / Ig(x) = gxg−^1 es un automor smo.
- Sea I(G) = {Ig / g ∈ G} el conjunto de los automor smos internos de G, pruebe que (I(G), ◦) / (Aut(G), ◦), donde ◦ denota la operación composición de funciones.
- Sea f : (R, +) −→ (GL 2 (R), ·) tal que f (x) =
[
cos x sin x − sin x cos x
]
. Demos- trar que f es un homomor smo y hallar su núcleo.
- Pruebe que la aplicación ϕ : (Z, +) −→ ({z ∈ C∗/zn^ = 1}, ·), tal que ϕ(k) = e^2 πkin^ es un homomor smo sobreyectivo, determine su núcleo.
- ¾Es (R+, ·) isomorfo a (R, +)? ¾Es Z isomorfo a 3 Z bajo la suma?
- Pruebe que el grupo (R, +) no es cíclico. ¾Es (R, +) isomorfo a (Z, +)?
- Pruebe que el grupo ({(a, b) / a, b ∈ Q}, +} no es cíclico.
- Sea f : G 1 −→ G 2 un monomor smo de grupos, demostrar que x y f (x) tienen el mismo orden, cualquiera que sea el elemento x de G 1.
- Si A es un grupo abeliano con n elementos, y k es un entero primo con n, demostrar que la aplicación f : A −→ A de nida por f (a) = ak^ es un isomor smo.
- Sea G un grupo abeliano con n elementos y p un primo con n, demostrar que para todo a ∈ G, la ecuación xp^ = a tiene una solución en G.
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Capítulo 8
Teoremas de Isomorfía
- Dados H y K subgrupos de un grupo G, el ensamble H ∨ K de H y K es la intersección de todos los subgrupos de G que contienen HK. Pruebe que si K / G y L / G, con K ∨ L = G y K ∩ L = {e}, entonces G/L ∼= K y G/K ∼= L.
- Sea G un grupo tal que M / G, N / G y H ≤ G. Si H ∩ M = H ∩ N , pruebe que HMM ∼= HNN.
- Sean H y K subgrupos de G, y N un subgrupo normal de G tal que HN = KN ; pruebe que (^) HH∩N ∼= (^) KK∩N.
- Sea f un epimor smo de G en Z, demostrar que para todo n ∈ N, G tiene un subgrupo normal de índice n. (SUGERENCIA: De nir un homomor smo sobreyectivo de G en Zn y usar el 1er Teorema de Iso- morfía)
- Sea G un grupo nito, H y K subgrupos de G tales que K / G, |H| y [G : K] son coprimos. Demostrar que H ⊂ K.
- Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G tal que G/N ∼= Z; demostrar que para todo número n natural, G tiene un subgrupo normal de índice n. (SUGERENCIA: Usar el isomor smo dado para de nir un homomor smo sobreyectivo de G en Z y aplicar el resultado del ejercicio 4 )
- Sean G 1 y G 2 dos grupos y f : G 1 −→ G 2 un homomor smo sobreyec- tivo con núcleo N u(f ); demostrar que si J es un subgrupo de G 1 que contiene a N u(f ), el índice de J en G 1 coincide con el índice de f (J) en G 2.
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20 CAPÍTULO 8. TEOREMAS DE ISOMORFÍA
- Sean G 1 , G 2 , f y N u(f ) como en el ejercicio 7. Si J 1 y J 2 son dos subgrupos de G 1 que contienen a N u(f ), y J 1 contieneaJ 2 ; demostrar que [J 1 : J 2 ] = [f (J 1 ) : f (J 2 )]. (SUGERENCIA: Aplicar el ejercicio 7 )
- Sean H y K subgrupos nitos de un grupo G, tal que uno de ellos es normal; demostrar que |H||K| = |HK||H ∩ K|.
- Sean H, K y L subgrupos normales de G; con H ≤ K, K ≤ L y H 6 = K 6 = L. Sean A = G/H, B = K/H, C = L/H:
a) Pruebe que B y C son subgrupos normales de A, y que B es sub- grupo de G. b) ¾A qué grupo es isomorfo (A/B)/(C/B)?
- Sea N / G, tal que N y G/N son abelianos. Sea H un subgrupo cual- quiera de G; demostrar que existe un subgrupo normal K de H, tal que K y H/K son abelianos.
- Sea G un grupo nito, N y M subgrupos normales de G, y H subgrupo de G de ordenes n, m y h, respectivamente. Si (n, h) = 1 y (m, h) = 1, demostrar que HMM ∼= HNN.
