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8.3.Ejercicios de integrales resueltos por substitución
Hagamos algunos ejercicios de resolución de integrales utilizando el método de substitución o cambio de variable.
Ejercicio 64.-
Resolver la integral (^) I x x
= dx ∫ (^) −
Solución: Resolvemos por substitución.
Hacemos t^ x dt x dx
= −
(^2 ) 2 Substituyendo: I x { { x
dx dtt L t C L x C inmediata deshaciendo el cambio
∫ 2 =^ ∫ =^ +^ =^ −^ + 5
Ejercicio 65.-
Resolver la integral I
x dx
x
∫ (^2)
Solución: Resolvemos por substitución.
Hacemos
t x
dt x dx y despejando x dx dt
2
2
Substituyendo: I x dx { { x t^
L t C L x C
dt dt t inmediata deshaciendo el cambio
=
∫ 2 =^ ∫^2 =^12 ∫ =^21 +^ =^122 +^ + 3
3
Ejercicio 66.-
Dada la función f (x) = cos 7 x , se pide: a) Halla el conjunto de sus primitivas. b) Halla la primitiva de f (x) cuya gráfica pasa por el punto P(0,1). Solución:
a) Buscamos I = ∫ cos7x dx
Por el método de substitución, hacemos:
t x dt dx dx dt
Substituyendo: I x dx t dt t dt sen t C (^) { sen x C deshaciendo el cambio
= (^) ∫ cos 7 = (^) ∫cos ⋅ 17 = (^17) ∫cos = 17 + = 17 7 +
Por tanto:
F ( )x = 17 sen 7 x + C
b) De la infinitas primitivas de f (x) buscamos aquella cuya gráfica pasa por el punto P(0,1).
Conjunto de las funciones primitivas de la función f (x) = cos 7 x
F ( )x = 71 sen 7 x + C
F ( )x = 17 sen 7 x+ 1
Ejercicio 67.-
Resolver la integral I = (^) ∫ sen ax( +b dx) , siendo a,b0ú
Solución: Resolvemos por substitución.
Hacemos
t ax b dt a dx despejando dx dta
Substituyendo: I sen ax b dx sen t dt sen t dt (^) { ( t (^) ) C (^) { ax b a a (^) inmediata a (^) deshaciendo a C el cambio
= (^) ∫ ( + ) = (^) ∫ ⋅ 1 = (^1) ∫ = 1 − cos + = − cos(^ +^ ) +
Ejercicio 68.-
Resolver la integral I = (^) ∫ 45 cos−^3 x^2 −^2 dx
Solución:
Por cambio de variable, hacemos:
t dt dx dx dt
= x = → =
− − − −
3 2 2 3 2
2 3 Substituyendo:
I dx t dt t dt
sen t C sen C
x
x
− − − −
− − − −
∫ ∫ ∫
4 5
3 2 2
4 5
2 3
2 3
4 5 8 15
8 15
3 2 2
cos cos cos
Ejercicio 69.-
Resolver la integral I = ∫ x sen x 2 dx
Solución:
Por cambio de variable, hacemos:
t u x x dt u x dx x dx x dx dt
= = = ′ = → =
( ) ( )
2 1 (^22) Substituyendo:
I = (^) ∫ x sen x 2 dx = (^) ∫^12 sen t dt = (^12) ∫sen t dt = (^12) ( − cos t + C (^) )= − 12 cosx 2 + C
Se debe verificar que F (0) = 1, es decir,
sen
C
0
7 +^ =^1
Por tanto: 0 + C = 1 ; C = 1
es la función buscada
F ( ) 0 (^1 4 0^ )^1 4 0 C C C 12
1 12 1 1
1 12
11 12
2 2
b) Buscamos aquella primitiva que pasa por el punto P(0,1): La función F(x) buscada debe verificar que F (0) = 1, es decir:
Por tanto: es la función primitiva de f (x) cuya gráfica pasa por el punto P(0,1).
Ejercicio 73.-
Resolver la integral I = (^) ∫ x e^2 x −^2 dx
3
Solución:
Por cambio de variable, hacemos:
t x dt x dx x dx dt
3 2 2 3
Substituyendo en la integral:
I x e dx e e dt (^) { e C (^) { x t dt t e^ C inmediata
t deshaciendo el cambio
x = −^ = = = + = +
− ∫ 2 2 ∫ 3 13 ∫^13
3 3 2 3
Ejercicio 74.-
Resolver la integral I x dx e x
= (^) ∫ 35 2
Solución: Expresamos la integral de otra forma: (^) I = (^) ∫ 3 x e −^5 x^2 dx
Por el método de substitución, hacemos:
t x dt x dx x dx dt
= − = − → = −
5 10
2
10 Substituyendo en la integral:
I = (^) ∫ 3 x e −^5 x^ dx = (^3) ∫e t^ −dt 10 = − (^103) ∫e dtt^ = − 103 e t^ + C = − 103 e −^5 x + C
2 2
Ejercicio 75.-
Resolver la integral (^) I = (^) ∫ sen (^) x^1 ⋅dxx 2
Solución:
Hacemos el siguiente cambio de variable:
t dt dx dt
x
x
dx x
^
−
1 (^12 )
F x ( ) = (^1 +^4 x^ )^1 +^4 x + 12
11 12
2 2
Substituyendo en la integral:
I = (^) ∫ sen (^1) x ⋅ (^) x^1 2 dx = (^) ∫ sen t ⋅ (− dt ) = − (^) ∫sen t dt = − ( − cos )t + C = cos t + C = cosx^1 +C
Ejercicio 76.-
Resolver la integral ( )
I x x
= dx
∫
2 3 2
Solución:
Por el método de substitución, hacemos:
t x dt x dx despejando x dx dt
= + = → =
3 2 2 1 3
2 3 Substituyendo en la integral:
( )
I (^) ( ) x x
dx
dt t t
= dt arc tg t C arc tg x C
∫ 2 ∫ ∫ =^ +^ =^ +^ + 1 2
2 3 2
1 3 2
2 3 2
2 3
2 3
3
Ejercicio 77.-
Resolver la integral I dx ( ) x sen L x
= (^) ∫ 2 L 4
es logaritmo neperiano
Solución:
Por el método de cambio de variable:
t L x dt (^) x dx (^) xdx
Substituyendo en la integral:
I {
dx
x sen L x sen t
dt t C L x C
deshaciendo el cambio
= (^) ∫ 2 = (^) ∫ 2 = − + = − +
cotg cotg 4
Ejercicio 78.-
Resolver la integral I = (^) ∫ x a x dx ( siendo a ∈ y a> )
2 R 0 Solución:
Por el método de cambio de variable:
t x dt x dx despejando^ x dx dt
2
(^22)
Substituyendo en la integral:
I x a dx a dt a dt
a
L a C^
a
L a C^
a
L a
x t t C
t x x = (^) ∫ = (^) ∫ = (^) ∫ = + = + = +
2
2 2 1 2
1 2
1
Ejercicio 82.-
Resolver la integral I
e
e
dx
x = (^) ∫ (^1) + 2 x
Solución:
Por el método de cambio de variable:
t e dt e dx
x x
Substituyendo en la integral:
( )
I
e
e
dx
e
e
dx
dt
t
arc tg t C arc tg e C
x x
x x
= x
∫ ∫ ∫ =^ +^ =^ +
Ejercicio 83.-
Halla el conjunto de las primitivas de f ( )x = 3 x 1 + 2 y encuentra aquella cuya gráfica
pasa por el origen de coordenadas.
Solución:
Debemos resolver la integral I = (^) ∫ (^3) x 1 + 2 dx
Hacemos el cambio de variable:
t x dt dx despejando dx dt
= + = → =
3 2 (^3 )
Substituyendo en la integral: I = (^) ∫ (^3) x^1 + 2 dx = (^13) ∫^1 t^ dt = 13 L t + C = 13 L 3 x + 2 + C L: logaritmo neperiano Por tanto:
Para cada valor de C 0ú tenemos una primitiva de f (x)
Buscamos aquella función F(x) tal que F(0) = 0 F L C Buscamos C
C L L
1 3 1 3
2 3
es la función primitiva de f ( )x = 3 x^1 + 2 cuya gráfica
pasa por el origen de coordenadas.
Ejercicio 84.-
Resolver I = ∫ tg 2 x dx
Solución:
F x( ) = 13 L 3 x + 2 +C
F x ( ) = 13 L 3 x + 2 −L 32
Expresamos el integrando de otro modo: I dx
sen x = (^) ∫ (^) x
2 cos 2
Por el método de substitución :
t x dt sen x dx despejando^ sen x dx dt
= = − → = −
cos 2 (^2 2 2 ) Substituyendo en la integral:
I tg x dx dx dt dt L t C L x C
sen x = (^) ∫ = (^) ∫ x = (^) ∫ (^) t = − (^) ∫t = − + = − + 2 2 − 2 2
1 1 2
1 2
1 1 2
1 cos 2 cos
Ejercicio 85.-
Resolver I = (^) ∫ x − 3 dx
Solución:
Por el método de cambio de variable, hacemos:
t x
dt dx
Sustituyendo en la integral:
I x dx t dt t dt t^ C t^ C
t C
x = − = = = C
∫ ∫ ∫ +
3 1
12 12 1 32 1 2
3 2
Ejercicio 86.-
Resolver la integral I dx x arc sen x
∫ 1 2 Solución:
Hacemos el cambio :
t u x arc sen x dt u x dx x
dx
= = = ′ = −
( ) ( ) 1 1 2 Substituyendo en la integral tenemos:
I
dx
x arc sen x t
= dt L t C L arc sen x C
∫ =^ ∫ =^ +^ =^ +
2
Ejercicio 87.-
Resolver la integral I = (^) ∫ sen x^3 ⋅ cos^3 x dx
Solución: La fórmula fundamental de la trigonometría dice: (^) sen 2 x + cos^2 x= 1
Despejando: sen 2 x = 1 − cos^2 x ; sen x = 1 −cos^2 x
Substituyendo en la integral: I = (^) ∫ sen x^3 ⋅ 3 x dx = (^) ∫( −^2 x (^) ) x dx
(^3 ) cos 1 cos cos Resolvemos por cambio de variable.
Substituyendo en la integral:
I x sen x dx t dt t dt C C
x = (^) ∫ cos ⋅ = (^) ∫ −^ = −^ ∫ = − t^ + = − t + = − +C 2 2 1 cos 3
1 3
2 1 3 3 9
3 3 3
3 3
Ejercicio 91.-
Resolver la integral (^) I x k
= dx con k
∫ 2 1 2 ∈R
Solución:
Por el método de substitución :
Hacemos el cambio t Diferenciando dt dx dx k dt
x k k
despejando
= = → =
^ :^
1
Substituyendo en la integral:
( )
I dx x k
k dt k t k
k k t
dt (^) k t
= dt (^) k arc tg t C (^) k arc tg kx C
=
=
=
∫ 2 2 ∫ 2 2 2 ∫ 2 2 ∫ 2 =^ +^ =^ +
1
1 1 1
1 1
Ejercicio 92.-
Resolver la integral I x
= dx ∫ (^) +
Solución:
Expresamos la integral de la forma (^) I x
dx x
= dx
∫ ∫ +
Por el método de cambio de variable:
t x t dt dx dx dt
= x→ = = → =
2 1 2
Substituyendo en la integral:
( )
I x
dx dt t
dt t
dt t
= arc tg t C arc tg x^ C
=
=
=
∫ 3 ∫ ∫ ∫ =^ +^ =^ +
2
3 2 2 2
3 2 4 1
3 (^2 )
3 2
3 (^2 2 2 2 2 2 22 )
Ejercicio 93.-
Resolver la integral I
k x
= dx siendo k
∫ ∈
2 2 R
Solución:
Por cambio de variable. Hacemos:
t x k t
dt dx dx k dt
x k
despejando
k
despejando
^
1
Substituyendo en la integral:
( )
I dx k x
k dt k k t
k dt k t
k dt k t
dt t
= arc sen t C arc sen xk C −
= −
= −
= / / −
= −
∫ 2 2 ∫ 2 2 2 ∫ 2 2 ∫ 2 ∫ 2 =^ +^ =^ +
1 1 1
Ejercicio 94.-
Resolver la integral I
dx x
∫
Solución :
Expresamos el integrando de otra forma: I dx x
dx x
= −
= −
∫ ∫
7 9
7 2 32 2
Hacemos el siguiente cambio de variable:
t x t dt dx dx dt
= x→ = = → =
3 1 3
Substituyendo en la integral:
( )
I dx x
dt t
dt t
dt t
dt t
arc sen t C arc sen x C
(^7) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
Ejercicio 95.-
Resolver la integral I = ∫Lxxdx
Solución :
Realizamos el siguiente cambio de variable:
t Lx dt (^) xdx
^
1
Substituyendo en la integral:
{
( ) I dx Lx dx t dt C
L x C
Lx Lx Lxx x t C deshaciendo el cambio
∫ ∫^1 ∫ 2 +
2 2 2 2
Ejercicio 96.-
Resolver la integral I arc tg x x
= dx ∫ (^1) + 2
Solución :
Por el método de substitución:
t u x arc tg x dt u x dx x
dx
= = = ′ =
( ) ( ) 1 1 2 Substituyendo en la integral :
( ) I
arc tg x x
dx arc tg x x
dx t dt t^ C
arc tg x = C
∫ ∫ =^ ∫ =^ +^ =^ + 1
2 2
Ejercicio 97.-
Resolver la integral I = (^) ∫ tg x dx^3
Substituyendo en la integral:
I {
x
x
dx t
t
sen t dt
sen t
t
dt
sen t
t
dt tg t dt I
al ser t sen t
= −^ = −^ − = − =
− =
2
2 2 1
2
2 2
(^2 )
2
cos
cos cos
cos
cos
Hemos llamado I 1 = ∫tg t dt^2
Resolvemos la integral I 1 :
I 1 = ∫ tg t dt^2 = ∫ ( 1 + tg t^2 − 1 ) dt = ∫( 1 + tg t dt^2 ) − ∫ 1 dt = I 2 −I 2
Hemos llamado I 2 = ∫ ( 1 + tg t dt^2 ) y I 3 = ∫ 1 dt =∫dt
Resolvemos la integral I 2 :
I ( tg t dt) ( sen tt) dt t^ sen tt dt t dt { tg t C
inmediata
2
= ∫ 1 + 2 = ∫ 1 + 22 = ∫^2 + 2 2 = ∫^12 = +
cos
cos cos cos
Resolvemos la integral I 3 : I 3 = (^) ∫dt = t +C Como I 1 = I 2 & I 3 :
I 1 = tg t − t + C con C∈ R
Como la integral buscada es I = & I 1 tenemos que I = − tg t − t + C
Deshaciendo el cambio de variable:
Ejercicio 100.-
Comprobar el resultado obtenido en el ejercicio anterior. Solución : Si llamamos F x( ) = − tg arc( cos x )+ arc cosx + C al conjunto de la funciones
primitivas de la función f ( )x = (^1) x−^ x , se debe verificar que
2 2 F^ ′^ ( )x^ =f^ ( )x Comprobemos:
( ) {
{
( ) {^ {
F x arc^ x arc x (^) x x (^) x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x f^ x
ver nota
x
racionalizando simplificando comprobado
′ = − ′^ + − −
= −
− −
=
= − −
=
− − −
=
− − −
= −^ =
− ( ) − ( )
( ) ¡!
cos cos 2 cos^2
1 1 (^2 2 2 2 ) 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1
0 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
2
NOTA: Es evidente que cos (arc cos x) = x, es decir, “el coseno del arco cuyo coseno es x es igual a x”. No obstante, en la figura 9 explicamos esta evidencia.
I
x
x
= dx tg arc x arc x C
∫ = −^ +^ +
2 (^ cos^ ) cos
Ejercicio 101.-
Resolver la integral I = (^) ∫ 1 −x 2 dx Solución :
Por el método de substitución, hacemos:
x sen t t arc sen x dx t dt dt (^) x dx
^ −
cos (^1 )
Substituyendo en la integral:
{ {
{
I x dx sen t dt t dt C
C C C
sen t t ver ejercicio n
t sen^ t
t sen t^ t^ arc sen x^ sen arc sen x^ arc sen x ver nota
arc sen x sen x x
= − = − ⋅ = = + + =
= + + = + + = + +
∫ ∫ ∫ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
1 2 1 2 1
2 59 2
2 4
2
2 4 2 2 2
1 2
2 2
cost cos cos cos cos
º ( ) ( )
NOTA :
En la figura 10 explicamos las igualdades siguientes:
sen arc sen x x arc sen x x
^ cos^1
En la figura 9 hemos dibujado el círculo trigonométrico y tenemos: AB arco de circunferencia angulo central correspondiente a ese arco AB OQ x AB arco cuyo es x esdecir AB arc x AB arc x x Por arc x x
∩
∩ ∩ ∩ ∩
=
= = = = = = = =
α α
&
, , ( cos ) , ( cos )
cos cos coseno cos cos cos tanto cos^2
En la figura 10 hemos dibujado el círculo trigonométrico y tenemos:
{
AB arco de circunferencia angulo central correspondiente a ese arco AB BQ x AB arco cuyo es x es decir AB arc x AB arc sen x x AB arc sen x OQ BQ x Por arc sen x x
Pitagoras
∩
∩ ∩ ∩ ∩ ∩
=
= = = = = = = = = = − = − = −
α α
&
, , ( ) ( ) : cos( )
&
sen sen seno sen sen sen cos cos tanto
1 1 1
2 2 2
Ejercicio 104.-
Considera la función f x integrada en el ejercicio anterior. x x
( ) = −
1 2 4 2 Determina la primitiva que tiene la propiedad de que el punto P(0,1) está en su gráfica Solución : En el ejercicio anterior obteníamos el conjunto de las primitivas de f (x), es decir:
F x
x ( ) = − (^) x C conjunto de las primitivas de f ( )x x x
2 2 2 Buscamos aquella que verifica que F (0) = 1:
F C pero observese que { no es igualdad numerica
&
2 2 = − − ⋅
= ∉ R
Es decir: “Por el punto P(0,1) no pasa ninguna gráfica de las primitivas de f (x) “
Ejercicio 105.-
Hallar el conjunto de las funciones primitivas de h x( ) = + 9 −x^2 Solución :
Se trata de resolver la integral I = (^) ∫ 9 −x 2 dx
Por el método de cambio de variable: x^ sen t^ t^ arc sen dx t dt
= es decir ^ → = x
3 cos Substituyendo en la integral:
( )
{
( ) (^) [ ( ) ( ) ] {
I h x dx x dx sen t t dt sen t t dt sen t t dt t t dt t dt C
t sen t t arc sen sen arc sen arc sen C
arc sen C
t sen t
x x x ver nota x x x
= = − = − = − = = ⋅ − = ⋅ = = ^ + ^ =
= + ⋅ = + ⋅ + =
= + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
−
( ) 9 9 9 3 3 9 1 3 3 1 9 9 9
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 60
2 2 4 9 4
9 4 3 3 3 9 4 3 3
9 3
2
cos cos cos cos cos cos
cos cos
ver ejercicio
^
^ =^ +^ −^ +
9 2 3
1 2 arc sen x^ x 9 x 2 K siendo k unaconstante.
Ejercicio 106.-
Resolver la integral I = (^) ∫ x 2 − 2 x 4 dx
NOTA: Por el mismo razonamiento hecho en la nota del ejercicio 102 , página 54, tenemos: ( )
( ) ( )
sen arc sen
arc sen
x x
x x x
3 3
3 3
(^2 ) (^1 )
2
=
cos = − = −
El conjunto de las funciones primitivas de la función h(x) viene dado por: H x ( ) = 92 arc sen 3 x+ 21 x 9 − x 2 + K K∈ R
Solución :
Modificamos la integral: I = (^) ∫ x 2 − 2 x 4 dx = (^) ∫ x (^2) ( 1 − 2 x (^2) )dx = (^) ∫x 1 − 2 x 2 dx
Por el método de cambio de variable:
t x dt x dx despejando x dx dt
2 1 4 Substituyendo en la integral:
( )
I x x dx x x dx t dt t dt t dt
t (^) C t (^) C x C
∫ 2 4 ∫^2 ∫ − 41 14 ∫ 14 ∫
3 2
3 3 3
(^12)
(^32)
Ejercicio 107.-
Resolver la integral I = (^) ∫ (^) e dxx+ 1
Solución :
Modificamos el integrando dividiendo numerador y denominador entre ex:
I dx e
dx e e x dx
dx e e e
e e e e
x x
x x x
x x x x
− ∫ 1 ∫ 1 ∫ ∫ 1 −
1
1
Efectuamos el cambio de variable:
t e dt e dx e dx dt
x x despejando^ x
− −
Substituyendo en la integral:
I e e
dx dt t t
dt L t C L e C L C
x x
x = (^) + = (^) e x
− ∫ ∫ ∫ − 1
Como ex^ es positivo para cualquier valor de x, entonces e^1 x también lo es y, por supuesto, se
verifica que 1 + (^) e^1 x > 0 , por lo que podemos poner que 1 + (^) e^1 x^ = 1 + (^) e^1 x ∀ x ∈ R
Entonces, la integral queda:
( ) [ (^ ) ]
( ) ( ) ( ) ( )
I dx L C L C L e L e C
L e L e C x L e L e C x L e C x L e C
e e
e e
x x
x x x x x
x x
x = = − + + = − (^) x + = − + − + =
= − + + = − + + = ⋅ − + + = − + +
∫ 11 1 1 1 1
1 1 1 1 1 En definitiva:
I = (^) ∫ (^) exdx+ 1 = x − L e ( x+ (^1) )+C
(*) Substituimos en la integral:
I t
dt t
= dt arc tg t C arc tg x^ C
(^32) ∫ 1 ∫ = + = + 1
Simplificando:
Ejercicio 111.-
Resolver la integral I
x x
= dx ∫ (^) +
Solución : Operamos en la función integrando:
I x x
dx x^ x dx x^ dx x
+ ^
∫ 2 ∫ ∫^ =^ ∗
(^4 ) (^3 )
Por el método de substitución, hacemos:
t
dt dx x dx dt
x
x (^) despejando
2 3 4 3
3 4
2
(*) Substituyendo en la integral:
I t
dt t
dt arc tg t C arc tg
x = C
∫ ∫ =^ +^ =^ +
2
Ejercicio 112.-
Resolver la integral I^ =^ ∫ (^) x x − dx
Solución :
Realizamos el siguiente cambio de variable:
t x dt (^) x dx
= − = (^) −
1 1 2 1
Operando en dicho cambio:
t x x t x dt dx t dt dx
Substituyendo en la integral:
I (^) x x dx t t t
dt t
dt t
= (^) − = dt arc tg t C arc tg x C
=
=
∫ 1 1 ∫^2 ∫ ∫ =^ +^ =^ −^ + 1
2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2 1
I
x
= dx arc tg x^ C
∫ 3 =^ + 2 5
Ejercicio 113.-
Resolver la integral I x
= dx −
∫
Solución :
Operamos en la función integrando:
( )
( ) ( )
I
x
dx x
dx dx dx
dx dx
x x
x x
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
(^2 2 2 ) 5 5
5
2 5
2
2 2
2 2
( )
Por el método de cambio de variable, hacemos:
t dt dx dx dt
x despejando
5 1 5 5
(*) Substituyendo en la integral:
I t
dt t
= dt arc sen t C arc sen x^ C −
152 ∫^1 ∫ =^ +^ =^ + 1
Ejercicio 114.-
Resolver la integral I x
= − dx −
∫
Solución : Operando en el integrando:
( ) (^) ( )
I x
dx x
dx dx dx
dx dx dx
x x
x x x
= − −
= − −
= − (^) −
= − ⋅ − ^
=
= − − ^
= − − ^
= − − ^
= ∗
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
2 8
2 1 8
2 1 8 1
2 1 8 1 2 8
1 1
2 2 2
1 1
1 2
1 1
(^2 2 2 ) 8 8
2
8
2 8
2 8
2
2 2
( )
Efectuamos el siguiente cambio de variable:
t
dt dx dx dt
x despejando
=
= → =
8 1 8 8 (*) Substituyendo en la integral y racionalizando:
I t
dt t
= − dt arc sen t C arc sen x^ C −
= − ⋅ −
22 ∫^1 ∫ = −^ +^ = −^ +
1
8 2 2 8 1 1
16 (^2 22 2 )
Ejercicio 115.-
Resolver la integral I x
= dx −
∫
