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UNIDAD IV
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Una de las principales características de las variables aleatorias continuas consiste en que, al estudiar su probabilidad, esta no puede estimarse para valores únicos, sino que se calcula por intervalos. Para estas variables aleatorias, la probabilidad en un intervalo está representada por el área bajo la curva, que representa a su función de densidad entre los límites del intervalo.
La función f(x) es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria X, definida sobre el conjunto de los números reales R si satisface las condiciones siguientes:
1.- f (x) F 0 B 3 0 para toda X F 0 C ER
2.-
- P (a F 0 3 Cx F 0 3 Cb) =
FUNCIÓN DE DENSIDAD (DISTRIBUCIÓN) ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTÍNUA
Para que una variable aleatoria continua tome cualquier valor menor o igual a un valor dado x, se llama función de densidad o distribución de probabilidad acumulada representada por:
F (x) = P ( X = x)
La distribución acumulada F (x) de una variable aleatoria continua x, con función de distribución f (x) está dada por:
F ( xc) = P (X F 0 A 3xc) = P ( a F 0 A 3x F 0 A 3xc) =
F (x) = P ( X = x) = para - F 0 A 5F 0 3 Cx F 0 3 CF 0 A 5
Como consecuencia inmediata de la definición anterior se pueden escribir los siguientes resultados:
P (a F 0 3 Cx F 0 3 Cb) = F (b) – F (a) y F (x) = si existe derivada
DISTRIBUCIÓN t DE ESTUDENT
Al hacer uso de muestras de tamaño N F 0 3 E30, llamadas grandes muestras, las distribuciones de muestreo de muchos estadísticos son
aproximadamente normales, siendo la aproximación tanto mejor cuanto mayor sea N. Para muestras de tamaño menor que 30, llamadas pequeñas muestras, esa aproximación no es buena y empeora al decrecer N , de modo que son precisas ciertas modificaciones.
El estudio de la distribución de muestreo de estadísticos para pequeñas muestras se llama teoría de pequeñas muestras. Sin embargo, un nombre más apropiado sería teoría exacta del muestreo , pues sus resultados son válidos tanto para pequeñas muestras como para grandes.
Definamos el estadístico
Donde:
= Media muestral
- = Media poblacional s = = desviación típica
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que es análogo al estadístico z dado por
Si consideramos muestras de tamaño N tomadas de una población normal (o casi normal) con media F 0 6 Dy si para cada una calculamos t , usando la media muestral y la desviación muestral s o , puede obtenerse la distribución de muestreo para t. Esta distribución viene dada por
Donde Y
es una constante que depende de N tal que el área bajo la curva es 1, y donde la constante v = (N – 1) se
llama grados de libertad ( v es la letra griega nu)
GRADOS DE LIBERTAD
Para el cálculo de un estadístico, es necesario emplear tanto las observaciones de muestras como propiedades de ciertos parámetros de la población. Si estos parámetros son desconocidos, hay que estimarlos a partir de la muestra.
El número de grados de libertad de un estadístico, generalmente denotado por v, se define como el número de N observaciones independientes en la muestra ( o sea, el tamaño de la muestra) menos el número k de parámetros de la población, que debe ser estimado a partir de observaciones muestrales.
En símbolos, v = N – k.
El número de observaciones independientes en la muestra es N , de donde podemos calcular y s. Sin embargo, como debemos estimar F 0 6 D, k = 1 y v = N – 1.
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- Una máquina que expande bebidas está regulada de modo que descargue un promedio 200 ml por vaso. Si la cantidad de líquido esta distribuida normalmente con una desviación estándar igual a 15 m.
a) ¿Qué porcentaje de vasos contendrá más de 224 ml? R = 5.48 % b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 ml R = 45.12 % c) ¿Si se usan vasos de 230 ml, ¿cuántos de los siguientes 1000 vasos servidos se derramarán? R = 23 Vasos
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- Un profesionista viaja diariamente desde su hogar hasta su oficina en el centro de la ciudad. En promedio, el viaje en un sentido toma
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b) ¿Cuál es el ingreso mínimo que debería tener un obrero de esta rama para pertenecer al 10 % superior? R = 315.
- El cociente de inteligencia de 600 solicitantes para ingresar a una universidad tiene aproximadamente distribución normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la institución exige un coeficiente mínimo de 95, ¿cuántos estudiantes serán rechazados sobre esta base, independientemente de sus otras calificaciones? R = 28.5 Estudiantes son rechazados
- A cada actuación de un cierto cantante de moda, acude un promedio de 6000 personas con una desviación estándar de 1500. Suponiendo una distribución normal.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en la próxima actuación acudan entre 5000 y 7000 personas? R = 49.72 % b) Si los empresarios están considerando la posibilidad de ir a cierta ciudad donde el único local disponible tiene capacidad para 8000, ¿cuál es la probabilidad de que dicho local no tenga capacidad suficiente? R = 9.18 % c) Si los empresarios registran pérdidas en el 20 % de sus actuaciones, ¿cuál deberá ser la asistencia mínima para que no haya pérdida? R = 7260
- Se observó ante un largo periodo que la cantidad gastada en el mantenimiento y en las reparaciones en cierta cadena radiofónica tiene aproximadamente una distribución normal con una media de 40,000.00 y una desviación estándar de $ 2,000.00. Si el presupuesto par ala próxima semana es de $ 45,000.00, ¿cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad presupuestada? R = 0.62 %
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- Un estudio mostró que la duración de cierta marca de acumuladores para coche se distribuye normalmente con F 0 6 D= 1248 días y una
F 0 7 3= 185 días, ¿cuál es la probabilidad de que una batería de esta marca tenga una duración de:
a) Tan solo 2 años. b) Entre 2 y 3 años R F 0 B B20.07 %. c) Si el fabricante quiere garantizar las baterías por 36 meses (tomados de 330 días) ¿qué porcentaje de las baterías deberá reemplazar bajo la garantía. R = 18.14 %
- Se sabe que el tiempo medio requerido para terminar un examen tiene una distribución normal ( en minutos), dada por N(70, 144). Si el examen lo presentan 80 alumnos ¿cuántos de estos los termina:
a) ¿Entre una hora y hora y media? b) ¿En menos de una hora? c) c) ¿En más de hora y media? R. a) 60 alumnos b) 16 alumnos c) 4 alumnos
- Suponga que los pesos de 500 estudiantes del Instituto Tecnológico de Aguascalientes están distribuidos normalmente con media 62 Kg y desviación estándar 8 Kg. Encontrar el número de estudiantes con pesos.
a) Inferiores o iguales a 45 Kg b) Entre 48 y 52 Kg c) Mayores que 80.
R. a) 8 estudiantes b) 33 estudiantes c) 6 estudiantes
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21.- Un conjunto de datos tiene una media de 75 y una desviación estándar de 15, calcule el porcentaje de datos comprendidos entre:
a) 65 y 80. R. a) 37.47 % b) 17.58 % c) 25.33 % b) 80 y 88. c) 30 y 65.
22.- Los promedios de las calificaciones de una gran población de estudiantes de un colegio tiene aproximadamente una distribución normal con media 2.4 y desviación estándar de 0.8.
a) ¿Qué fracción de los estudiantes tendrá un promedio superior a 3.0. b) Si se expulsa a los estudiantes con promedio anual menor que 1.9, ¿qué porcentaje será expulsado? R. a) 22.66 % b) 26.76 %
23.- Se observó durante un lago periodo de tiempo que la cantidad semanal gastada en el mantenimiento y en las reparaciones en cierto establecimiento tiene aproximadamente una distribución normal con media $ 400.00 y desviación estándar a $ 20.00. Si el presupuesto para la próxima semana es de $ 450.00 calcular.
a) La probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad presupuestada. b) ¿De cuánto tendrá que ser el presupuesto para reparaciones semanales, para que la cantidad presupuestada solamente sea rebasada con una probabilidad de 10 %.
R. a) 0.62 % b) $ 475.
24.- Si la tasa de interés mínima de un conjunto de analistas económicos tiene aproximadamente una distribución normal con media de 14 % y desviación estándar de 2.6%, ¿cuál es la probabilidad de que el pronóstico de la tasa de interés de un analista escogido al azar sea:
a) Mayor del 18 %. R. a) 6.18 % b) 77.94 % b) Menor del 16 %.
25.- Dada una distribución normal con media igual a 50 y desviación estándar igual a 10, encuentre la probabilidad de que x asuma un valor entre 45 y 62.
R = 0.
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26.- Dada una distribución normal con media igual a 300 y desviación estándar igual a 50, encuentre la probabilidad de que x asuma un valor mayor que 362.
R = 0.
27.- Una compañía fabrica focos cuya duración es normalmente distribuida con media igual a 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que X asuma un valor mayor que 362.
R = 0.
28.- En un proceso industrial el diámetro de un balero es una importante parte componente. El comprador establece que el diámetro debe de ser 3.0 F 0 B 10.01 cm. La implicación es que no se acepta que ningún balero salga de esta especificación. Se sabe que en el proceso, el
diámetro de un balero tiene una distribución normal con una media de 3.0 y una desviación estándar igual a 0.005. En promedio ¿cuántos baleros fabricados se descartarán?
R = 0.
29.- Una cierta maquina produce resistencias eléctricas que tienen un valor medio de 40 ohms y una desviación estándar de 2 ohms. Suponiendo que los valores de las resistencias siguen una distribución normal y que pueden medirse con cualquier grado de precisión, ¿qué porcentaje de las resistencias tendrá un valor que exceda de 43 ohms?
R = 0.
30.- La media de un grupo de ingresos semanales con distribución normal para un gran conjunto de gerentes de nivel medio, es de $ 1,000.00 (dólares): la desviación estándar es de $ 100.00.
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PROBLEMAS DE DISTRIBUCIÓN t DE ESTUDENT
1.- La figura 11.4 recoge el gráfico de la distribución de Student con 9 grados de libertad. Hallar el valor de t1para el que
a) El área sombreada de la derecha es 0.05. b) El área total sombreada es 0.05. c) El área total sin sombrear es 0.99. d) El área en sombra de la izquierda es 0.01. e) El área de la izquierda de t1 es 0.
2.- Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio, esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor t calculado cae entre –t0.05 y t0.05, el se encuentra satisfecho con esta afirmación_._ ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra que tiene una media igual a 518 horas y una desviación estándar igual a 40 horas? Asuma que la distribución de los tiempos de vida es aproximadamente normal.
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TABLAS ESTADÍSTICAS
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