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1.- Se considera R^3 con la suma habitual y con el producto por un escalar que se
indica en los casos siguientes. Prueba que en ninguno de ellos, (R^3 ,+,·) es espacio
vectorial señalando alguna propiedad del producto que no se cumpla:
a) λ (^) ( x, y, z) = (^) ( λx, λy, z)
b) λ (^) ( x, y, z (^) ) =( 0, 0, 0)
c) λ (^) ( x, y, z (^) ) = (^) ( 3 x, 3 y, 3 zλ λ λ )
2.- Definimos en R^2 las operaciones siguientes: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x, y x ', y ' x x ', y y ' 1 x, y x, y 1
λ = λ λ + λ −
Determinar, para la suma, el elemento neutro y el elemento opuesto de ( x, y)
Probar que R^2 con dichas operaciones es un espacio vectorial.
3.- En cada caso, determinar si F es un subespacio vectorial de R^3. En caso
afirmativo, buscar una base y unas ecuaciones implícitas y paramétricas de F.
a) F = (^) { ( 1, α β, )∈ R^3 / α β ∈, R} b) F = (^) { ( 0, α β, )∈ R 3 / α β ∈, R} c) F = (^) { ( x, y, z) ∈ R^3 / − x + 3y + 2z = (^0) } d) F = (^) { ( 2 ,α −β 2 , γ (^) )∈ R^3 / α β γ ∈, , R} e) F = {(x,y,z) ∈R3 / x+2y+z = 0, z = y-x } f) F = {(x,y,z) ∈R3 / x, y, z ≥ 0} g) F= {(x,y,z) ∈R3 / máx(x,y,z)<1}
4.- Sea A={(2,1,3), (-1,2,3), (-3,1,0), (5,0,3)}. Indicar si son correctas o falsas las siguientes cuestiones:
a) A es libre.
b) A es sistema generador de un subespacio vectorial.
c) A es una base de R^3.
d) rango(A)=4.
e) El vector (2,1,3) es combinación lineal de los vectores de A.
f) El vector (1,1,1) ∈< A>.
5.- ¿Qué valores deben tener m y n para que el vector
(-3,m,n,2m-n) ∈< (^) {( 1, 0, 0, 0 , 0,1,1,1 ,(1,1,1,1) ) ( ) }>?
6.- Sea Pn(x) el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y de
grado menor o igual que n. Demostrar que el polinomio xn^ y sus n primeras
derivadas forman una base de Pn(x) e indicar las coordenadas del polinomio
1+x+x 2 en esta base.
7.- Determinar si los conjuntos siguientes G 1 y G 2 generan el mismo subespacio
vectorial de R^3 o subespacios distintos G 1 ={(1,0,-1), (0,1,-1)} y G2 = {(1,1,-2),
8.- Sea el subespacio vectorial E formado por el conjunto de matrices cuadradas
que permutan con la matriz
A 1
. Y sea el subespacio vectorial
F=
a b c a / a,b, c^ R
Se pide:
a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.
b) Una base de E.
c) Los subespacios vectoriales E ∩ F y E+F.
9.- a) ¿Para qué valores de x los siguientes sistemas de vectores son bases de
R^3? B 1 = {( 1, −1, 0 , ) ( x,1, 0 ,) ( 0,2,3)}; B 2 ={( 2, x,1 ,) ( 1, 0,1 ,) ( 0,1,3)}
b) Para x = 0, escribir las ecuaciones de cambio de base de B1 a la canónica,
de la canónica a B1 , de B1 a B2 y de B 2 a B.
10.- Hallar las coordenadas del vector (^) u ( x, y, z)
→
= en la base^ B ' { v , v , v 1 2 3 }
→ → →
donde v 1 ( 1,2, 0)
→ = , v 2 ( 3, 7,1)
→ = − − y v 3 ( 0,2, 1 )
→ = −. ¿Cuál es la matriz de
cambio de la base B’ a la canónica?
11.-a) Probar que los sistemas de vectores G 1 y G2 generan el mismo subespacio
vectorial F de R^4.
G1 = {(1,2,-1,0), (4,8,-4,-3), (0,1,3,4), (2,5,1,4)}
G2 = {(1,-2,-13,-1), (1,1,-4,-5), (2,3,-5,-2), (1,1,-4,-1)}
b) Hallar la dimensión, una base “escalonada”, unas ecuaciones paramétricas y las
ecuaciones cartesianas de F.(Vamos a llamar bases “escalonadas” de F a aquellas
cuyos vectores se pueden disponer como las filas de una matriz escalonada)
15.- Dados los subespacios vectoriales F determinado por las ecuaciones
cartesianas 1 2 3
1 4 5
x x x 0 x x x 0
^ +^ −^ =
y G por las ecuaciones paramétricas
1 1 2 1 2 3 1 2 4 1 3 5 1 3
x x x x x
^ = λ (^) = λ + λ = λ^ + λ (^) = λ + λ = λ^ + λ
del espacio vectorial R^5 , se pide: bases de F, G, F+G y F ∩ G.
16.- Determinar, en cada caso, si los vectores dados generan y/o libre de R^4.
a) {( 1,1,1,1 , 0,1,1,1 , 0, 0,1,1 , 0, 0, 0,1) ( ) ( ) ( )}
b) {( 1, 3, −5, 0 , ) ( −2,1, 0, 0 , 0,2,1, ) ( −1 , 1, ) ( −4,5, 0)}
c) {( 1, 0, −2,5 , 2,1, 0, ) ( −1 , 1,1,2,1) ( )}
17.- Escribir cada uno de los siguientes polinomios como combinación lineal de
x + 1, x^2 + x, x^2 + 2. a) (^) x^2 + 3x + 2 b) 2x^2 − 3x + 1 c) x^2 + 1 d) x
18.- Determinar si los conjuntos siguientes G 1 y G 2 generan el mismo subespacio
vectorial de R^3 o subespacios distintos
a. G1 ={(1,0,-1), (1,1,0), (0,1,1)} y G 2 = {(2,1,-1), (1,2,1)} b. G1 ={(1,0,-1), (1,1,0), (0,1,1)} y G 2 = {(2,1,-1), (1,-1,0)}
19.- Si { u, v, w, z}
→ → → →
es libre, ¿cuáles de los siguientes conjuntos también lo son?
a) { u v, v w, w u}
→ → → → → → − − −
b) { u v, v w, w u}
→ → → → → →
c) { u v, v w, w z, z u}
→ → → → → → → → − − − −
d) { u v, v w, w z, z u}
→ → → → → → → →
20.- En V = R 3 , sea F = { ( x, y, z ) / 2x + y + z = 0 }. Buscar un subespacio
suplementario de F.
21.- Sean F 1 y F 2 los siguientes subespacios vectoriales de R^5 :
F 1 { x / x 1 ... x 5 0 }
→ = + + =
F 2 { x / x 1 ... x 5 }
→ = = =
Analizar si F 1 y F 2 son subespacios suplementarios de R^5 obteniendo la
descomposición de cualquier vector u R^5
→ ∈ en suma u u 1 u 2
→ → → = + , donde u 1 F 1
→ ∈ y u 2 F 2
→ ∈.
22.- En cada caso, encontrar una base de V que contenga a v
→ y/ó w
→ :
a) V = R^3 , v
→ = (0, 1, 0)
b) V = R 4 , v ( 1, 1,1, 1 )
→ = − − , w ( 0,1, 0,1)
→
c) V = P 3 , v x^2
→ = + , w x^2 x
→ = +
23.- Sea el subespacio vectorial F generado por los siguientes vectores de espacio vectorial R^4 : u^ 1 = (2, 3,1, 0); u 2 = (1, 0,1, 0); u 3 = (0, 3, −1, 0). Se pide:
a) Rango de H = { u ; u ; u 1 2 3 }. ¿Qué clase de sistema es H? ¿Existe alguna relación
de dependencia entre los vectores u , u^ 1 2 y u 3?
b) Dimensión y una base F.
c) Las coordenadas de los vectores u , u^ 1 2 y u 3 respecto de la base obtenida en el
apartado anterior.
d) Unas ecuaciones paramétricas de F.
e) Unas ecuaciones cartesianas o implícitas de F.
f) A partir de las ecuaciones cartesianas otras ecuaciones paramétricas distintas
del apartado d). g) ¿El vector (1,0,0,0) pertenece o no a F?
h) Una base B* del espacio vectorial R^4 que contenga a los vectores de una base
de F.
i) Las ecuaciones del cambio de base de la base B* (del apartado anterior) a la
base canónica Bc de R^4.
j) Las ecuaciones del cambio de la base B c a la base B*
k) La expresión analítica del vector e^ 2 de la base canónica respecto de la base
B*.
24.- Si F y G son subespacios de V, demostrar que F Ges subespacio de V si y
solo si F ⊂ G ó G ⊂ F.
32.- Dadas las bases de R3, B={ u^ 1 = (2,1,0), u^ 2 = (-1,0,1), u^ 3 = (0,1,-2)} y
B´={ v^ 1 = (0,1,1), v^ 2 = (1,0,0), v^ 3 = (2,0,1)}. a) Hallar la expresión analítica del
cambio de base de B a B´, de B´a B y de B´a la base canónica. b) Si
a^ =(1,1,1) respecto de B ¿cuáles son sus coor denadas respecto de B’? c) Si b = v 2 −v 3
, escribir la expresión de b
respecto de B.
33.- Sea la matriz A=
de cambio de base de B a B’, siendo
B={ u^ 1 , u^ 2 , u^ 3 } y B´={ v^ 1 , v^ 2 , v^ 3 }. Escribir el vector u^ 2 en función de los vectores de
B’. Hallar la matriz del cambio de base de B’ a B.
34.- Consideremos las bases de V^3 :
B1 ={ e^ 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0,1, 0), e 3 =(0, 0,1)},
2 1 2 3 B = u =( 1 , 1 , 1 ),u =( 1 ,0,- 1 ), u =( 1 ,- 1 , 1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
a) Hallar el cambio de base de B 1 a B2 b) Hallar el conjunto F de vectores que
tienen las mismas coordenadas respecto de B 1 y de B 2. Demostrar que F es
subespacio de V^3 y hallar una base de F.
35.- a) Hallar el rango de la matriz A=
. b) Hallar una base del
subespacio engendrado por los vectores fila de la matriz A. c) Hallar unas
ecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas de dicho subespacio.
36.- Hallar una base del subespacio vectorial F formado por las matrices de la
forma
a b b 0
. Encontrar un subespacio suplementario de F.
37.- Sea F el subespacio vectorial F = < (1,-1,0), (0,6,2), (1,5,2), (3,3,2) >. Se pide:
a) Una base y unas ecuaciones paramétricas de F.
b) Un subespacio G suplementario del subespacio F.
c) Sea x (3, 1, 3)
→ = − −. Indicar si x F ó x G ó x F G
→ → → ∈ ∈ ∈ +. Descomponer el
vector x
→ en suma de dos vectores, uno paralelo y otro perpendicular al vector u (1, 1, 0) F
→ = − ∈.
d) Una base B1 del espacio vectorial F+G.
e) Una superficie en R^3 tiene de ecuación 3x^2 +2xy-2xz+3y^2 +2yz+3z 2 =1. Determinar la ecuación (lo más simplificada posible) de esta superficie, respecto
de la nueva base: B 2 u 1 , 0, 1 , v 1 , 1 , 0 , w 0, 1 ,^1
= ^ = ^ ^ = ^ − ^ = ^ −
f) Ecuaciones del cambio de base de B 1 a B 2.
g) El conjunto H de vectores que tienen las mismas coordenadas respecto de B 1 y
B 2.
h) Demostrar que H es un subespacio vectorial del espacio vectorial R^3.
38.- Se considera el espacio vectorial R^4. Se pide: a) Determinar si los siguientes conjuntos de vectores generan V:
F = { u 1 ( 1,1,1,1 , u) 2 ( 0,1,1,1 , u) 3 ( 0, 0,1,1 , u) 4 ( 0, 0, 0,1)}
→ → → → = = = =
H { v 1 ( 1, 3, 5, 0 , v) 2 ( 2,1, 0, 0 , v) 3 ( 0,2,1, 1 , v) 4 ( 1, 4,5, 0)}
→ → → → = = − = − = − = −
¿Cuál de ellos es, pues, una base de R^4 , que llamaremos B?
b) Sean S { x, y, z}
→ → →
= y T { u, v, w}
→ → → = donde:
x ( 1,2,5, 3)
→ = u ( 2,1, 4, 3 )
→ = − y ( 3,1,5, 6 )
→ = − v ( 3,1, 3, 2 )
→ = − z ( 1,1, 3, 0)
→ = w ( 9,2, 3, 1 )
→ = −
Sea U =< S> y V =< T >. Hallar la dimensión y una base de cada uno de los
subespacios U, V, U + V y U V.
c) Completar la base de U + V obtenida en el apartado anterior para formar una
base B’ de R^4. Escribir las ecuaciones de cambio de base de B a B’ y de B’ a B.
39.- a) Demostrar que si los vectores e , e , e^ 1 2 3 son base de R3 y el vector u^ ^ es
tal que u=^ ^ λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 con λ 2 ≠ 0 entonces los vectores e , u, e^ 1 ^ 3 son base
de R3.
b) Generalizar el resultado anterior: Si e , e ,..., e^ 1 2 n^ son una base de un espacio
vectorial V y u=^ ^ λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ... + λn en^ , con λi ≠ 0 , entonces los vectores
e , e ,...e 1 2 i (^) − 1 , u, ei+1 ,...., e n
son también base de V.
generado por dichos vectores. Se pide:
a) Obtener una base de S
b) Ecuaciones paramétricas e implícitas de S
c) Valores de los parámetros a y b para que los vectores (a,a,2,2) y (1,b,1,b)
pertenezcan ambos a S.
45.- Se consideran en R^4 los subespacios vectoriales S = < (1, 1, 1, 1), (1, -1,
1, -1)> y T = < (1, 1 ,0, 1), (1, 2, -1, 2), (3, 5, -2, 5)>
a) Hallar la dimensión y unas ecuaciones implícitas del subespacio S + T.
b) Hallar la dimensión y unas ecuaciones paramétricas del subespacio S ∩ T.
46.- Dadas las bases B 1 { u 1 ( 1,0,0 , u) 2 ( 1,1, 0 , u) 3 ( 1, 0, 1 )}
→ → → = = = = − y
B 2 { v 1 ( 2,1,0 , v) 2 ( 3,2, 1 , v) 3 ( 0, 0,1)}
→ → → = = = − = del espacio vectorial R^3. Se pide:
a) Ecuación matricial del cambio de base de B1 a la base B 2.
b) Ecuación matricial del cambio de base de B2 a la base B 1.
c) Si el vector tiene coordenadas (1,1,1) respecto de la base B 1 ¿cuáles son sus
coordenadas respecto de la base B 2?
47.- Sea el subespacio vectorial F de R^4 generado por los siguientes vectores:
u 1 = ( 1,1,2, 0)
u 2 = ( 2, −1, 0,1 ;)
u 3 = ( 5, −1,2,2)
(^). Se pide:
a) Una base de F.
b) Ecuaciones paramétricas de F.
c) Una base B’ de R^4 que contenga la base de F obtenida en el apartado a).
d) Las ecuaciones del cambio de base de la canónica B (^) c de R^4 a la base B’ (del
apartado anterior).
48.- En el espacio vectorial real R 4 , se consideran los siguientes conjuntos de vectores:
S = { u = ( 2, 3,1, −5 , v ) = ( 0,2, −1, 3 , w ) = ( 4, 0,5, −19 , t ) = ( −2,1, −3,11) }
T = { p = ( 2,5, 0, −1 , q ) = ( 2,1,2, − 7 ) }
Sean F y G los subespacios engendrados por S y T, respectivamente, es decir: F = S y G = T.
a) Hallar los rangos de S y de T.
b) Hallar a y b para que el vector (2, a, 3, -b) ∈ F.
c) Dar unas ecuaciones implícitas de F y de G.
d) Calcular la dimensión y una base de cada uno de los subespacios siguientes:
F, G, F+G y F ∩ G. ¿Es F+G suma directa? e) Hallar una base B de ℜ^4 que contenga a los vectores (^) { u, v, p }
. Escribir
las ecuaciones de cambio de base de B a la base canónica y de la base
canónica a B.
49.- Sea A = {(1, 3, -1, 4), (3, 8, -5, 7), (2, 9, 4, 23)} ⊂ R^4. Se pide:
a) Estudiar si A es un sistema libre o ligado.
b) Si F es el subespacio vectorial de R^4 generado por A, hallar a partir de A,
una base BF , unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianas de F.
c) Hallar una base B S de un subespacio S, que sea suplementario de F, tal que BF
∪ BS sea una base escalonada de R^4.
d) Sean B = {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 2, 3)} y B’ = {(-1, 0, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 1)} ⊂ R 3. Comprobar que B y B’ son bases de R^3 y hallar las ecuaciones del cambio de B a B’.
50.- Sean los subespacios vectoriales:
E = (^) { ( α + γ β + γ α + β +, , 2 γ (^) )/ α β γ ∈, , R}; F = (^) {( x, y, z) ∈ R^3 / x − y + 2z = (^0) }
Se pide:
a) Bases de E, F, E+F y E ∩ F.
b) Ecuaciones implícitas de E ∩ F.
51.- Sea el vector a^ =(1,2,3) expresado en la base B={ v , v , v^ 1 2 3 } del espacio
vectorial R 3. Hallar las coordenadas de (^) a^ ^ en la base B ' = (^) { u , u , u 1 2 3 }, sabiendo
que:
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
u 3v 2v v u 4v v v u 2v v v
52.- Dado el espacio vectorial R^3 :
a) Hallar una base del subespacio vectorial generado por los vectores:
S= (^) { a = (^) ( 2, 4, 0 ,b) = (^) ( 1,2,1 , c) = (^) ( 3,2,1 , d) =( 3, 4,1)}
^
y expresar el vector d
en
dicha base.
los vectores a^ 1 , a^ 2 y los restantes vectores pertenecientes a G. f) Encontrar las
coordenadas de los vectores a^ 1^ y b = 2e 1 + 2e 2 + 2e 3 +2e 4
en la base B’, siendo B = (^) { e , e , e , e 1 2 3 4 }
la base canónica.
57.- En el espacio vectorial R^3 se tienen las siguientes bases:
B = (^) { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, B ' = (^) { (1,1,0), (0,-1,0), (1,0,1)} y
B* = (^) { u , u , u 1 2 3 }
. Sean (x, y, z), (x’, y’, z’) y (x *^ , y *, z *^ ) las coordenadas de un
vector en las bases B, B’ y B *^ respectivamente.
a.- Escribir la ecuación matricial del cambio de base de B a B’.
b.- Sabiendo que
x x z y y z z x z
=^ −
, dar las coordenadas de los vectores u , u , u^ 1 2 3
respecto de B y de B’.
58.- Se considera un subespacio F de ecuaciones
x y z
= α − β (^) = α (^) = β
a.- Obtener una base de F.
b.- Si G es el subespacio generado por el sistema (^) {( 1,1,^ −^ 1 , (1,1,0)) },
b.1.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianas
del subespacio G.
b.2.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianas
del subespacio F G.
59.- En el espacio vectorial R^3 se tienen las siguientes bases:
B = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, B ' = { (1,0,1), (1,1,0), (0,-1,0)} y
B* = (^) { u , u , u 1 2 3 }
. Sean (x, y, z), (x’, y’, z’) y (x , y, z *) las coordenadas de un
vector en las bases B, B’ y B *^ respectivamente.
a.- Escribir la ecuación matricial del cambio de base de B a B’.
b.- Sabiendo que
x y z y x z z y z
=^ −
, dar las coordenadas de los vectores u , u , u 1 2 3
respecto de B y de B’.
60.- Se considera un subespacio F de ecuaciones
x y z
= α (^) = α − β (^) = β
a.- Obtener una base de F.
b.- Si G es el subespacio generado por el sistema (^) {( 1,-1, − 1 ,) (1,2,0)},
b.1.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianas
del subespacio G.
b.2.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianas
del subespacio F G.
61.- En un espacio vectorial V, sea la base canónica B = (^) { e , e , e^1 2 3 }. Se
considera el subespacio S 1 de ecuación cartesiana en x = y-z.
a) Obtener una base de S 1 formada por vectores unitarios.
b) Si S 2 es el subespacio engendrado por el sistema (^) { e^ 1 + e -e , e^2 ^3 ^1 +e 2 }, hallar
unas ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio S 2.
c) Hallar una base de cada uno de los subespacios vectoriales S 1 S 2 y S 1 +S 2.
62.- Dado el espacio vectorial R^4 consideremos los subespacios:
V 1 = <(1, 2, 0, 1)>
V 2 = (^) {( x, y, z, t (^) ) / x-y + z + t = 0, y-z = (^0) }
V 3 =
1 2 3 4
x x x x
^ = λ (^) = λ + μ (^) = γ (^) = μ
a) Hallar una base de cada uno de los subespacios anteriores.
B = (^) { u = (^) ( 1, 0, 0 , v) = (^) ( 0, 1, 1 , w) =( 1, 0, 1)}
B´= (^) { u´= (^) ( 0, 0, 1 , v´) = (^) ( 0, 1, 2 , w´) = (^) ( 1, 1, 0)}
a) Hallar la ecuación matricial de cambio de base de B a B’. b) Si a^ =( 1, 1, 1)
respecto de la base B, ¿cuáles son sus coordenadas
respecto de B’?
c) ¿Cuáles son las coordenadas del vector w
respecto de la base B?
67.- En R^4 consideramos los subespacios vectoriales:
A = (^) ( 2, 0,1,1) (^) ( 1,1,1,1) (^) ( 1, −3, −1, − (^1) ) (^) ( 3, −7, −2,2)
E = (^) { ( x, y, z, t (^) )∈ R^4 tales que x + y + 2z = 0, 2x-y-2z = (^0) }
a) Calcular una base y la dimensión de los subespacios A, E, A E y de A + E.
b)Determinar un subespacio A’ para que A ⊕ A´= R^4.
68.- Dadas las bases de R 3 , B = (^) { u, v, w^ ^ ^ } y B ' = (^) { u ', v ', w '^ ^ ^ } sabiendo que:
u^ ^ = 2 ·u '^ − v ';^ v^ = u '^ − w ';^ w=v'+2·w'^ ^
a) Hallar la ecuación matricial de cambio de base de B’ a B.
b) Si a =( 1, 1, 1)
respecto de la base B’, ¿cuáles son sus coordenadas
respecto de B?
c) ¿Cuáles son las coordenadas del vector w^ ^ respecto de la base B y respecto
de la base B’?
69.- En R^4 consideramos los subespacios vectoriales:
S = (^) { ( x, y, z, t (^) )∈ R^4 tales que -2x + 3y + 2z + t = (^0) } T = (^) ( 3,1,2, 0 ;) ( 1,1, 0, −1 ; (^) ) ( 3,1, 3, −2 ; (^) ) ( 1, a, −1,1)
a) Calcular el valor de “a” para que T tenga dimensión 3.
b) Con el valor de a determinado, hallar la dimensión y una base de los subespacios
S T y de S+ T.
c) Determinar un subespacio S’ para que S ⊕ S´= R^4.
70.- Se consideran dos bases de R:
B = (^) { u = (^) ( 1,1,1 , v) = (^) ( -1,1,0 , w) =( 1,2,1)}
y
{ ( ) ( ) ( )} B´= u´^ = 1,0,0 , v´^ = 3,7,-2 , w´= 0,4,
a) Hallar la ecuación matricial de cambio de base de B a B’.
b) Si a^ =( 1, -1, 1)
respecto de la base B, ¿cuáles son sus coordenadas
respecto de B’?
c) ¿Cuáles son las coordenadas del vector w respecto de la base B, respecto
de la base B’ y respecto de la base canónica?
2.- Definimos en R^2 las operaciones siguientes:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x, y x ', y ' x x ', y y ' 1 x, y x, y 1
λ = λ λ + λ −
Determinar, para la suma, el elemento neutro y el elemento opuesto de ( x, y)
Probar que R^2 con dichas operaciones es un espacio vectorial.
Solución :
Previamente comprobemos que R 2 con la suma tiene estructura de grupo abeliano: [A1] Asociativa : (^) ( ^ )
a + b + c = a + b + c^ ^ ( )
∀ a b c^ , , ∈R^2.
Sean ^
a = ( ,x y ), b = ( ',x y '), c = ( '',x y '') ∈R^2 entonces: ( a+b +c= (x,y)+(x',y') +(x'',y'')=(x+x',y+y'+1)+(x'',y'')= (x+x')+x'',(y+y')+y''+2) (^ )^ (^ )
a+ b+c =(x,y)+ (x',y')+(x'',y'') =(x,y)+(x'+x'',y'+y''+1)= x+(x'+x''),y+(y'+y'')+2 ( ) ( ) ( )
Por ser R un cuerpo se cumple la asociativa y se tiene que ( )
a + b + c = ^ ( x+x'+x'',y+y'+y''+2 (^) ) = a + b + c( ) ^ (^) y se verifica la propiedad asociativa
( )
a + b + c ^ = a + b + c( )
^
[A2] Existencia de elemento neutro : Existe un elemento el vector nulo, que designaremos 0 = (0, − 1)
que verifica que ^
a + 0 =
0 + a =a para cualquier a ∈ R^2. En efecto: a + 0 = (x, y) + (0, −1) = (x + 0, y − 1 +1) = (x, y) =a
y por otra
parte 0 + a = (0, −1) + (x, y) = (0 + x, − + 1 y + 1) = (x, y) =a
luego ^
a + 0 =
0 + a =a y
0 = ( , )0 0 es el vector nulo.
[A3] Existencia de elemento simétrico : Para cualquier a ∈ R^2 existe un único elemento de R 2 , que designaremos por - a^ ^ =–(x, y) = (-x, -2-y) tal que a^ + −( a ) =( − ^ )+ ^ =
a a 0. El elemento −a = −( x, − y −2) es el elemento opuesto del vector a = ( ,x y ) ∈R^2 ya que a + −( a) = (x, y) + −( x, − y − 2) = (x − x, y − y − 2 + 1) = (0, −1) = 0
y que ( a)− + a = −( x, −y − 2) + (x, y) = −( x + x, − y − 2 + y + 1) = (0, −1) = 0
y se cumple a^ ^ + −( a ) =( − a^ )+ a^ = 0 .
[A4] Conmutativa : ^
a + b =
b + a ∀ a b, ∈R^2 Sean ^
a = ( ,x y ), b = ( ',x y ') ∈R^2 entonces: a+b=(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y'+1)
y
permutando b+a=(x',y')+(x,y)=(x'+x, y'+y+1)
y por ser conmutativo R ^
a + b =
b + a. Por tanto, es (R 2 ,+) un grupo conmutativo. λ(x,y)=(λx, λy+λ-1) Vamos a estudiar las cuatro condiciones:
[A5] (a b) a b
λ + =λ +λ λ ∈ K ∀ a b, ∈R^2 En efecto: λ (a +b)=
λ (^) ( (x,y)+(x',y') = (x+x',y+y'+1)) λ =
=( x+ x', y+ y'+ + -1)λ λ λ λ λ λ = λ( x, y+ -1)+( x', y'+ -1) λ λ λ λ λ = a b
λ +λ [A6] ( λ +μ)a^ =λa+μa ∀λ , μ∈K y ∀a ∈R^2. En este caso: ( λ + μ)a = λ + μ ( )( x, y ) = (^) ( ( λ + μ ) x, ( λ + μ ) y + λ + μ −( ) (^1) ) = (^) ( ( λx + μx , ) ( λy + μy + λ + μ − 1 ))= = λ ( x + μx, λy + λ − 1 + μy + μ − 1 + 1 ) = λ( x, λ y + λ − 1 ) + μ( x, μy + μ − 1 ) = λ ( x, y) + μ ( x, y )= λa + μa
[A7] λ( μ a ) =(λμ)a ∀λ , μ∈K y ∀a ∈R^2. Ahora: λ μ ( a (^) ) = λ μ( (x, y) (^) ) = λ μ( x, μy + μ − (^1) ) = λμ( x, λμy + λμ − λ + λ − (^1) ) = λμ( )(x, y) = λμ( )a
[A8] El elemento unidad del cuerpo K, que designaremos por 1, verifica 1. a^ = a para cualquier a ∈ R^2. Por último: (^) 1.a^ = 1(x, y) = (1x,1y + 1 − 1) = (x, y) =a^. Cumple las ocho condiciones y con estas operaciones R 2 es un espacio vectorial sobre K.
