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Estructuras algebracias
Espacios vectoriales
Natalia Boal Mar´ıa Luisa Sein-Echaluce
1. Estructuras algebraicas b´asicas
1.1. Relaci´on de equivalencia
Definici´on. Dados dos conjuntos A y B se llama producto cartesiano de A por B al conjunto A × B = { (a, b) | a ∈ A , b ∈ B }. En particular, puede definirse el producto cartesiano de un conjunto por s´ı mismo. As´ı, dado un conjunto A se puede definir
A × A = { (a 1 , a 2 ) | a 1 ∈ A , a 2 ∈ A }.
Observaciones.
Si a 1 6 = a 2 , entonces (a 1 , a 2 ) 6 = (a 2 , a 1 ).
En general, dados n conjuntos A 1 ,... , An se define producto cartesiano
A 1 ×... × An = { (a 1 ,... , an) | ai ∈ Ai, ∀i }.
Los elementos (a 1 ,... , an) se dicen n−tuplas.
Definici´on. Dados dos conjuntos A y B no vac´ıos, se define una relaci´on binaria R sobre A y B a un subconjunto de A × B. Entonces diremos que a ∈ A est´a relacionado con b ∈ B, y lo denotaremos por a R b, si (a, b) ∈ R.
Definici´on. Dado un conjunto A, se llama relaci´on de equivalencia sobre A a toda relaci´on binaria R verificando las propiedades:
- Reflexiva : a R a, ∀ a ∈ A.
- Sim´etrica : a R b ⇒ b R a.
- Transitiva : a R b ∧ b R c ⇒ a R c.
Definici´on. Sea un conjunto A y R una relaci´on de equivalencia definida sobre ´el. Para todo elemento a ∈ A se define la clase de equivalencia de a como el conjunto
[ a ] = { b ∈ A / a R b }.
Propiedades.
La clase de equivalencia de un elemento est´a formada por todos los elementos del conjunto que est´an relacionados con ´el y, por tanto, es independiente del elemento escogido para representarla. As´ı, a R b ⇔ [ a ] = [ b ].
Las clases de equivalencia son subconjuntos no vac´ıos de modo que cada elemento del conjunto A pertenece a una sola clase de equivalencia.
Se dice que la relaci´on R establece una partici´on del conjunto A en clases de equi- valencia.
Definici´on. El conjunto formado por las clases de equivalencia definidas en A por R se llama conjunto cociente y se representa por A/R.
1.2. Grupos
Definici´on. Sea G un conjunto no vac´ıo y ∗ : G × G → G una operaci´on binaria interna definida en G que verifica las propiedades:
- Asociativa: g 1 ∗ (g 2 ∗ g 3 ) = (g 1 ∗ g 2 ) ∗ g 3 , ∀g 1 , g 2 , g 3 ∈ G.
- Elemento neutro: existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g, ∀g ∈ G.
- Elemento sim´etrico: para cada g ∈ G existe g′^ ∈ G tal que g ∗ g′^ = g′^ ∗ g = e.
Al par (G, ∗) se llama grupo. Si adem´as se verifica la propiedad conmutativa
g 1 ∗ g 2 = g 2 ∗ g 1 , ∀g 1 , g 2 ∈ G
se dice que (G, ∗) es un grupo conmutativo o abeliano.
Propiedades. Sea (G, ∗) un grupo, entonces
(g 1 ∗ g 2 )′^ = g 2 ′ ∗ g′ 1 , ∀g 1 , g 2 ∈ G.
(g′)′^ = g, ∀g ∈ G.
Dados g, f ∈ G, las ecuaciones
g ∗ x = f, y ∗ g = f
siempre tienen soluci´on ´unica x = g′^ ∗ f, y = f ∗ g′. Adem´as, si (G, ∗) es abeliano x = y.
1.3. Anillos
Definici´on. Un anillo es un conjunto no vac´ıo, A, en el que hay definidas dos operaciones binarias internas “+” (suma) y “·” (producto) que cumplen las siguientes propiedades:
(A, +) es un grupo conmutativo,
“·” es asociativa: a·(b·c) = (a·b)·c, para todo a, b, c ∈ A,
- Espacios vectoriales
Definici´on. Se llama espacio vectorial sobre IK (IK = IR o C) a toda terna (V, +, ·IK ) donde V es un conjunto no vac´ıo, (+) : V × V −→ V una operaci´on interna y (·IK ) : IK × V −→ V operaci´on externa verificando las propiedades:
(V,+) es un grupo conmutativo.
λ(v 1 + v 2 ) = λv 1 + λv 2 , ∀λ ∈ IK, ∀v 1 , v 2 ∈ V,
(λ 1 + λ 2 )v = λ 1 v + λ 2 v, ∀λ 1 , λ 2 ∈ IK, ∀v ∈ V,
(λ 1 λ 2 )v = λ 1 (λ 2 v), ∀λ 1 , λ 2 ∈ IK, ∀v ∈ V,
(^1) IK v = v, ∀v ∈ V.
Los elementos de V se llaman vectores y los de IK escalares.
Observaciones:
El elemento neutro e se denota por 0V y se dice vector nulo.
El elemento sim´etrico de v, tambi´en llamado elemento opuesto, v′^ se denota por (−v).
(V, +) es un grupo abeliano.
Propiedades. Dado V espacio vectorial sobre IK
- λ (^0) V = 0V ∀λ ∈ IK.
- 0 v = 0V ∀v ∈ V.
- λ(−v) = −λv ∀λ ∈ IK, ∀v ∈ V.
- λv = 0V =⇒ λ = 0 o bien v = 0V.
2.1. Subespacios vectoriales
Definici´on. Sean (V, +, ·IK ) un espacio vectorial sobre IK y ∅ 6 = S ⊆ V. Se dice que el subconjunto S es subespacio vectorial de V si tiene estructura de espacio vectorial sobre IK con las mismas leyes que V.
Caracterizaci´on de subespacio vectorial. Dados (V, +, ·IK ) un espacio vectorial sobre IK y el subconjunto ∅ 6 = S ⊆ V.
S es subespacio vectorial de V ⇐⇒
i) ∀v 1 , v 2 ∈ S , v 1 + v 2 ∈ S, ii) ∀λ ∈ IK , ∀v ∈ S, λv ∈ S.
Nota. Las condiciones i) e ii) se pueden agrupar en una sola:
iii) ∀λ 1 , λ 2 ∈ IK, ∀v 1 , v 2 ∈ S , λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ∈ S.
Sean ∅ 6 = S, T ⊆ V dos subespacios de V. Entonces
S ∩ T = {v ∈ V / v ∈ S ∧ v ∈ T } es subespacio vectorial de V. Adem´as es el mayor subespacio vectorial contenido en S y en T y se llama subespacio intersecci´on.
S ∪ T = {v ∈ V / v ∈ S ∨ v ∈ T } en general no es subespacio vectorial de V.
S + T = {v ∈ V / ∃vS ∈ S ∧ ∃vT ∈ T 3 v = vS + vT } es subespacio vectorial de V. Adem´as, es el menor subespacio vectorial que contiene a S y a T y se llama subespacio suma.
La definici´on anterior se puede generalizar al caso de n subespacios vectoriales. As´ı, dados S 1 , S 2 , · · · , Sn subespacios de V , se define el subespacio suma
S 1 +... + Sn = {v ∈ V / ∃v 1 ∈ S 1 ∧... ∧ ∃vn ∈ Sn 3 v = v 1 +... + vn}.
2.2. Suma directa
Definici´on. Sean V espacio vectorial sobre un cuerpo IK y S 1 , S 2 , · · · , Sn subespacios de V , se dice que su suma es directa y se representa por S = S 1 ⊕ S 2 ⊕ · · · ⊕ Sn si verifica:
∀v ∈ S, ∃|vi ∈ Si, tal que v = v 1 + · · · + vn.
Propiedades. Sean V espacio vectorial sobre un cuerpo IK y S 1 , · · · , Sn subespacios vectoriales de V
- S = S 1 ⊕ S 2 ⊕ · · · ⊕ Sn ⇐⇒ (a 1 + · · · + an = 0V =⇒ ai = 0V , i = 1, · · · , n).
- S = S 1 ⊕ S 2 ⊕ · · · ⊕ Sn =⇒ Si ∩ Sj = { (^0) V } si i 6 = j.
- S = S 1 ⊕ S 2 ⇐⇒ S 1 ∩ S 2 = { (^0) V }.
Definici´on. Sea V un espacio vectorial sobre IK cuerpo. Los subespacios S y T de V se dicen subespacios suplementarios respecto de V si V = S ⊕ T.
2.3. Dependencia e independencia lineal
Definici´on. Dada una familia de vectores {vi}i∈I de V , se llama combinaci´on lineal de {vi}i∈I a todo vector v =
∑ i∈I
λivi, con λi ∈ IK.
El conjunto formado por todas sus combinaciones lineales es un subespacio vectorial de V , se llama clausura lineal de {vi}i∈I y se denota por:
IK < {vi}i∈I >.
Definici´on. Dos familias {vi}i∈I y {wj }j∈J de vectores de V son familias equivalentes si generan el mismo subespacio vectorial, esto es, si IK < {vi}i∈I > = IK < {wj }j∈J >.
2.5. Cambio de coordenadas
Sean {vi}ni=1 y {˜vi}ni=1 dos bases de V. Entonces, cada uno de los vectores ˜vi tendr´a unas coordenadas respecto de la base {vi}ni=1, es esto,
˜v 1 = λ 11 v 1 + · · · + λn 1 vn .. . v˜n = λ 1 n v 1 + · · · + λnn vn
^ ⇒^ (˜vi)
t (^) = (vi)tP
con
P =
λ 11 | | λ 1 n ..
. | · · · |
λn 1 | | λnn
.
La matriz P es regular, se denomina matriz de cambio de base de {vi}ni=1 a {˜vi}ni=1 y su columna j-´esima est´a formada por las coordenadas del vector ˜vj respecto de la base {vi}ni=1.
De modo que, dado v ∈ V , la relaci´on entre sus coordenadas respecto de este par de bases est´a dada por:
v = x 1 v 1 + · · · + xnvn = (vi)tX v = ˜x 1 ˜v 1 + · · · + ˜xn v˜n = (˜vi)t^ X˜ = (vi)tP X˜
} ⇒ X = P X.˜
