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Examen Estadistica I 2014
Tipo: Exámenes
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1 Pepe y Manolo son dos viejos amigos que han decidido darle un giro a su vida y est´an dudando entre dedicar sus ahorros a montar una empresa de desarrollo de software o invertir en renta variable. Su asesor fiscal les ofrece dos alternativas atrayentes, pero ante su falta de formaci´on burs´atil, conf´ıan al azar su decisi´on. Invertir´an en el sector el´ectrico si sacan una bola roja de una urna que contiene 20 bolas, de las cuales 8 son rojas, 3 verdes y 9 negras. Si la bola no es roja lanzar´an dos dados y si obtienen una suma de 6 entre ambos dados invertir´an en el sector inmobiliario; en caso contrario se decidir´an por la empresa de desarrollo de software. ¿Cu´al es la probabilidad de que finalmente monten una empresa de desarrollo de software?
Soluci´on: Sean los sucesos
E = {Invertir en el sector el´ectrico.} I = {Invertir en el sector inmobiliario.} S = {Invertir en la empresa de desarrollo de software.} R = {La bola es roja.} D = {La suma de los dados es 6.}
El suceso pedido es S = R ∩ D que son independientes, por lo que
P (S) = P
2 Sean las variables X e Y con f.d.d
f (x) =
x/ 2 , x ∈ [0, 2] 0 , en otro caso f (y) =
1 , x ∈ [0, 1] 0 , en otro caso
(a) Se obtienen 3 valores de X. H´allese la funci´on de cuant´ıa del n´umero de valores mayores que 1.
(b) Se obtienen 3 valores de Y. H´allese el m´aximo valor a ∈ [0, 1] para que al menos uno de ellos exceda el valor a con probabilidad m´ınima de 0’999.
4 En una carrera de F´ormula 1, el consumo de combustible de un deter- minado coche sigue un distribuci´on normal de media 3′5 litros y desviaci´on t´ıpica de 0′5, por vuelta. Cuando quedan 12 vueltas para el final de la carre- ra entra en boxes a repostar ¿Cu´al es la cantidad m´ınima de combustible que tiene que repostar, para que la probabilidad de que acabe la carrera (en ausencia de accidente) sea mayor que 0’95?
Soluci´on: El consumo por vuelta tiene una distribuci´on N (3′ 5 , 0 ′5). Luego el consumo para cada una de las 12 vueltas que quedan vendr´a determinado por una distribuci´on normal: Xi ∼ N (3′ 5 , 0 ′5), con i ∈ { 1 ,... , 12 }. As´ı pues, la cantidad total de combustible consumido en las 12 vueltas ser´a una suma de distribuciones normales independientes: X = X 1 + X 2 +... + X 12 ∼ N (42,
3). Nos piden la cantidad m´ınima k de combustible a repostar, para que la probabilidad de cubrir el consumo en las 12 vueltas sea mayor que 0’95, es decir, para que se cumpla P (X < k) > 0 ′ 95
P (X < k) = P
k − 42 √ 3
k − 42 √ 3
k − 42 √ 3
k − 42 √ 3
→ k = 42 + 1′ 65 ·
Por tanto, la cantidad m´ınima ser´ıa de aproximadamente 45 litros.
1 Supongamos que la probabilidad de exposici´on a la gripe durante una epidemia es 0′6. Cierta vacuna tiene el 80 % de efectividad en proteger a una persona contra la gripe, si est´a expuesta a la epidemia. Una persona no vacunada tiene una probabilidad de 0′9 de ser afectada por la gripe al ser expuesta. Si tomamos dos personas, una vacunada y otra no, ¿cu´al es la probabilidad de que al menos una sea afectada por la gripe? (Sup´ongase la independencia de la exposici´on a la gripe de las dos personas)
Soluci´on: Sean los sucesos
E = {Una persona se expone} A = {La persona vacunada se contagia} B = {La persona no vacunada se contagia}
Nos piden P (A ∪ B) y tenemos los datos siguientes
P (E) = 0′ 6 , P (A | E) = 0′ 2 , P (B | E) = 0′ 9.
Entonces
P (A) = P (E) · P (A | E) + P
( E
) · P
( A | E
) = 0′ 6 · 0 ′2 + 0′ 4 · 0 = 0′ 12.
Del mismo modo para el suceso B se tiene
P (B) = P (E) · P (B | E) + P
( E
) · P
( B | E
) = 0′ 6 · 0 ′9 + 0′ 4 · 0 = 0′ 54.
Como A y B son independientes
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A) · P (B) = 0′12 + 0′ 54 − 0 ′0648 = 0′ 5952.
2 De una urna que contiene 5 bolas numeradas de 1 a 5, se extraen tres al azar. La variable X representa el n´umero m´as peque˜no de las bolas extraidas, y la variable Y el n´umero mayor. H´allese
(a) La funci´on de cuant´ıa conjunta (b) P (X + Y > 6) (c) E (X), E (Y ) (d) Cov (X, Y ).
Soluci´on: Hay
( 5 3
) = 10 casos posibles;
Soluci´on: Sea X = memoria en MB que ocupa una p´agina web. Tenemos
E (X) = 1′ 3 , Var (X) = 0′ 32 = 0′ 09.
Si T = memoria que ocupan en total las 500 p´aginas web, nos piden P (T > 660). T es una suma de v. a. independientes, y por tanto es normal con par´ametros
E (T ) = 500 · 1 ′3 = 650, Var (T ) = 500 · 0 ′09 = 45, σ =
√ 45 = 6′ 708.
Tipificando la variable suma podemos suponer que sigue una distribuci´on de probabilidad N (0, 1).
P (T > 660) = 1 − P (T ≤ 660) = 1 − P
( Z ≤ 660 − 650 6 , 708
)
= 1 − Φ(1′49) = 1 − 0 ,9319 = 0, 0681.
1 Sup´ongase que el 5 % de los microprocesadores fabricados en una planta son defectuosas. Si uno de ellos es defectuoso, la probabilidad de que un controlador lo detecte y lo saque de la cadena de producci´on es 0′9. Si un microprocesador no es defectuoso, la probabilidad de que el controlador piense que lo es y lo saque de la cadena de producci´on es 0′2.
(a) (1 punto) Si un microprocesador se saca de la cadena de producci´on, ¿cu´al es la probabilidad de que sea defectuoso?
(b) (1 punto) ¿Cu´al es el porcentaje de defectuosos que se ponen a la venta?
Soluci´on: Sean los sucesos D = { el microprocesador es defectuoso } y S = { el controlador lo saca de la cadena de producci´on }; se tienen las probabilidades P (D) = 0′05, P (S | D ) = 0′9 y P
(a) aplicando el teorema de Bayes
(b) La probabilidad de que un microprocesador en venta sea defectuoso es
Por tanto el 0′65 % son defectuosos.
2 Se lanza un dado y se consideran las variables:
X = {n´umero de puntos}, Y =
0 , si en el dado sale 1, 2 , 3 1 , si en el dado sale 4, 5 , 6.
funci´on de cuant´ıa de la variable X del problema (2), cuya media es 72 y la varianza es
E
X i^2
Var (Xi) =
Por tanto E (X) = 72 · n y Var (X) = 3512 · n
(a) Si E (X) = 72 · n = 35 → n = 10.
(b) Var (X) = 3512 · 10 = (^1756)
4 (2 puntos) El n´umero de visitas que realiza un comercial de cierta em- presa por semana tiene una distribuci´on normal de media 45 y desviaci´on 3. Las visitas fallidas (no hay nadie en casa) sigue una distribuci´on normal de media 10 y desviaci´on 2. Considerando independientes las visitas realizadas de las fallidas ¿cu´al es la probabilidad de que en una semana realice m´as de 40 visitas efectivas?
Soluci´on: Si X 1 es el n´umero de visitas y X 2 el de fallidas, el n´umero de visitas efectivas es√ X 1 −X 2 que es normal de media 45−10 = 35 y desviaci´on 32 + 2^2 =
P (X > 40) = 1 − P (X ≤ 40)
= 1 − P
Estad´ıstica..................................... .diciembre 2007
3
1 Sup´ongase que 5 terminales est´an conectados mediante una l´ınea com- partida a un computador central. El computador central va preguntando por turno a los diversos terminales si tienen algo que transmitir. Si la respuesta es afirmativa, el terminal accede a la l´ınea. Entonces, si hay 3 terminales que quieren enviar un mensaje, calcular la probabilidad de que el computador haga 2 preguntas hasta encontrar un terminal que quiera transmitir.
Soluci´on: Para i = 1, 2 , 3 , 4 , 5 sean los sucesos {Ti = el terminal −i− solici- ta transmitir }. Si el computador central hace 2 preguntas es que el segundo terminal solicita transmitir; entonces, la probabilidad de que el primer ter- minal preguntado no quiera transmitir pero el segundo s´ı es
2 De un grupo de 3 espa˜noles, 2 franceses y 1 alem´an se elige un grupo de 3. LLamando X al n´umero de espa˜noles e Y al de alemanes, h´allese
(a) (1 punto) La funci´on de cuant´ıa conjunta.
(b) (0’3 puntos) Media de X y de Y.
(c) (0’4 puntos) Covarianza.
(d) (0’3 puntos) E (X | Y = 1 ).
Soluci´on:
(a) Los casos posibles son
3
= 20. La tabla es la siguiente
Y 1 1/20 6/20 3/20 0 0 0 3/20 6/20 1/ 0 1 2 3 X
(b) Las funciones de cuant´ıa marginales son
Se deduce que E (Y ) = 0′ 42. E
Var (Y ) = 0′ 42 − 0 ′ 422 = 0′ 2436
(b) Como G = 100Y , se tiene E (G) = 100 · 0 ′42 = 42e Var (G) = 100^2 · 0 ′2436 = 2436 σG =
2436 = 49′ 36 e
4 (2 puntos) Se sabe que la talla media de una poblaci´on en edad escolar sigue una distribuci´on normal con media 165 cm y desviaci´on t´ıpica de 12 cm. Si un centro tiene 1400 alumnos matriculados, se pide:
(a) ¿Cu´al es el n´umero de alumnos que miden m´as de 155 cm? (b) ¿Qu´e proporci´on ( %) de alumnos miden entre 150 y 178 cm? (c) ¿Qu´e talla permite asegurar que el 67 % de la poblaci´on est´a por debajo de ella?
Soluci´on:
(a) Hay que calcular la probabilidad de que un alumno mida m´as de 155 cm y aplicarlo a los 1400 alumnos. Como la variable no es una N (0, 1), hay que tipificar: P (X > 155) = 1 − P (X ≤ 155)
= 1 − P
Luego, la cantidad de alumnos es 1400 · 0 ′7967 = 1115, 38 ≈ 1116.
(b)
P (150 ≤ X ≤ 178) = P
Luego el 75′43 % miden entre 150 y 165 cm.
(c) Se pide una talla k tal que P (X < k) = 0′67. As´ı pues:
P (X < k) = P
k − 165 12
k − 165 12
Buscando en las tablas, para z = 0′ 44 ⇒ Φ = 0′6700, luego
k − 165 12
0 ′ 44 ⇒ k = 165 + 12 · 0 ′44 = 170′ 28. Soluci´on: k = 170′28 cm.
2 (2 puntos) Un jugador tira 3 monedas. Gana 5e si salen 3 caras, 2e si salen 2 caras y 1e si sale 1 cara. Pierde 10e si salen las tres cruces ¿Cu´anto debe de pagar por jugar para que el juego sea justo (la ganancia media ha de ser nula)?
Soluci´on: Llamando G a la ganancia y x a la apuesta se tiene la tabla
G 5 − x 2 − x 1 − x − 10 − x f 1 / 8 3 / 8 3 / 8 1 / 8
La media es 1/8(5 − x + 6 − 3 x + 3 − 3 x − 10 − x) = 1/8(4 − 8 x). Como ha de ser nula, se deduce que x = 1/2 por lo que el precio justo es de 50 c´entimos.
3 (2 puntos) El n´umero de errores tipogr´aficos cometidos por una mecan´ografa tiene una distribuci´on de Poisson con una media de 4 errores por p´agina. Si una p´agina tiene m´as de 4 errores, la mecan´ografa tendr´a que repetir la p´agina entera ¿Cu´al es la probabilidad de que no se tenga que repetir cierta p´agina?
Soluci´on: Si X es el n´umero de errores por p´agina, X ∼ P (4). Para que no se repita la p´agina ha de ser X ≤ 4. Por tanto ( y consultando las tablas)
P (X ≤ 4) = F (4) = 0′ 6288.
4 (2 puntos) En una red de ordenadores se produce una colisi´on si m´as de un ordenador intentan transmitir informaci´on al mismo tiempo. En una empresa hay 1000 ordenadores conectados en red. Para cada uno de ellos existe una probabilidad de colisi´on del 8 % cada vez que env´ıa informaci´on a la red, consider´andose ´esta una situaci´on ´optima. ¿Cu´al debe ser el n´umero m´aximo de colisiones permitidas para los 1000 ordenadores en conjunto, de manera que la probabilidad de que se produzca un n´umero de colisiones menor que ese valor m´aximo sea, como mucho, 0′1?
Soluci´on: El n´umero de colisiones de los 1000 ordenadores sigue una distribuci´on binomial X ∼ B (1000, 0 ′08). Se pide k tal que P (X ≤ k) ≤ 0 ′1. Para calcular ese valor de k, utilizaremos la aproximaci´on por la Normal:
X ∼ B (n, p) ⇒ Z = X − n · p √n · p · q ∼^ N^ (0,^ 1)
Por tanto:
P (X ≤ k) ≤ 0 ′1; ⇒ [Aproximando] ⇒ P
k − 80 8 ′ 6
k − 80 8 ′ 6
k − 80 8 ′ 6
k − 80 8 ′ 6
k − 80 8 ′ 6
−k + 80 8 ′ 6
Mirando en las tablas de la Normal ⇒ Φ (1′29) = 0′9015; luego:
−k + 80 8 ′ 6 = 1′29; ⇒ k = 80 − 1 ′ 29 · 8 ′6 = 68′ 906 ⇒ k = 69
