estadistica 1, Apuntes de Estadística

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COLECCIÓN DE EJERCICIOS

ESTADISTICA I

GRADO ECONOMIA

CURSO 2016-

Teoría de la probabilidad

PROBLEMA 1

Comprobar que, cualquiera que sea el suceso A, se verifica:

P=1-P(A)

Donde representa el suceso complementario del suceso A.

EJERCICIO 2

Comprobar que la probabilidad del suceso ø, suceso imposible, es igual a cero.

EJERCICIO 3

Sean P(A), P(B) y P(AB), las probabilidades de los sucesos A, B y A B, respectivamente. Determinar, en función de ellas:

1. P(A

EJERCICIO 4

Sean P(A), P(B) y P(AB), las probabilidades de los sucesos A, B y AB, respectivamente. Determinar, en función de ellas, la probabilidad del suceso AB.

Ejercicio 5

Basándose en el resultado obtenido en el problema 4, determinar:

EJERCICIO 10

Una urna contiene dos bolas blancas y tres rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y, a continuación, una bola roja:

1. Cuando, habiendo extraído la primera bola, ésta es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción (extracciones con reemplazamiento).
2. Cuando, habiendo extraído la primera bola, ésta NO es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción (extracciones sin reemplazamiento).

EJERCICIO 11

En un casino se ofrecen a los clientes varios juegos de dados. El cliente gana si:

1. Al lanzar dos dados obtiene suma cuatro.
2. Sí en tres tiradas consecutivas de un dado obtiene el primer impar en la tercera tirada.
3. Al lanzar dos dados aparecen resultados iguales.

¿En cuál de los tres juegos tiene el cliente mayor ventaja?

EJERCICIO 12

Una compañía está pensando en cambiar de planta. Preguntan a los trabajadores que están clasificados en tres categorías: azul, rojo y blanco, su opinión al respecto y se obtiene la siguiente tabla:

Azul (A) Rojo (R) Blanco (B) TOTAL A favor (F) 0.12 0.

En contra (C) 0.28 0.

TOTAL 0.

a. Complete la tabla. b. Calcule P(FUR) y P(F/B). c. ¿Son F y B independientes?

EJERCICIO 13

En la Universidad X de determinada población, se pueden estudiar dos carreras, Económicas y Derecho. Se ha realizado una encuesta sobre las preferencias de los estudiantes de COU de la ciudad, que ha dado los siguientes resultados: al 30% les gustaría estudiar únicamente Económicas, al 10% únicamente Derecho y al 20% ninguna de las dos. Elegido al azar un estudiante de esta ciudad, determinar razonadamente:

1. La probabilidad de que le guste estudiar ambas carreras.
2. La probabilidad de que, sabiendo que siente preferencia por Derecho, también le guste Económicas.

EJERCICIO 14

Una empresa dedicada a la fabricación de automóviles, desea lanzar al mercado un nuevo modelo en el año 2015. Al estudiar la posible situación económica que existirá en dicho año, contempla tres alternativas: existencia de inflación, estabilidad o depresión, estimando:

a. Dichas alternativas igualmente probables. b. La probabilidad de que se lance el nuevo modelo al mercado es:

• 0,7 si existe inflación.
• 0,4 si existe estabilidad.
• 0,1 si la situación es de depresión.

1. Determinar la probabilidad de que el nuevo producto esté en el mercado en el año 2015.
2. Determinar la probabilidad de que exista una situación económica de depresión si se decide lanzar el modelo de automóvil al mercado.

Variable Aleatoria Unidimensional.

PROBLEMA 16

La demanda de un cierto artículo viene dada por la ley de probabilidad:

=xi: 0 1 2 3 4 5 6 0,1 0,15 0,2 0,25 0,15 0,1 0,

Se desea conocer:

1. ¿Es realmente una distribución de probabilidad?
2. ¿Cuál es la Función de Distribución?
3. ¿Cuál es la probabilidad que la demanda sea inferior a 2?
4. ¿Para qué valor de X se tendrá?

PROBLEMA 17

Dada la variante cuya función de distribución viene definida por:

F(x)=0 para x< F(x)=3/12 para F(x)=8/12 para F(x)=9/12 para F(x)=1 para

Determinar:

1. La representación gráfica de dicha Función de Distribución.
2. La distribución de probabilidad de dicha Función de Distribución.
3. Las probabilidades

PROBLEMA 18

Dada la variante , cuya distribución viene definida por la función:

para x = 0, 1, 2, 3, para cualquier otro valor de x

Determinar

1. (^) La Función de Distribución de la variante
2. (^) Las probabilidades

PROBLEMA 19

La variable ξ tiene la siguiente función de densidad

Se pide:

1. Comprobar que
2. Hallar la Función de Distribución
3. Representar gráficamente ambas funciones.
4. Calcular

PROBLEMA 22

Consideremos el fenómeno aleatorio consistente en lanzar tres monedas.

a. Definir la variable aleatoria “diferencia entre nº de caras y nº de cruces”.

b. Obtener su Función de Distribución y representarla gráficamente

c. Calcular utilizando la Función de Distribución PROBLEMA 23

Sea ξ una variable aleatoria continua con función de densidad

a. Hallar la Función de Distribución. b. Hallar la probabilidad de que ξ este comprendida entre 0.5 y 1.5. c. Sabiendo que ξ es mayor que 1, hallar la probabilidad de que sea menor que 1.5.

PROBLEMA 24

El beneficio aleatorio, que una empresa dedicada a la prestación de un servicio público puede obtener a lo largo de un año, sigue la ley de probabilidad definida por la función de distribución:

para para

Donde x viene expresado en millones de pesetas. Determinar la probabilidad de que el beneficio obtenido:

1. Sea superior a 50 millones de ptas.
2. Sea inferior a -50 millones de ptas.
3. Sea 100 millones de ptas. o más, sin superar los 200 millones.

PROBLEMA 25

Expresar en función de los momentos respecto al origen:

PROBLEMA 26

Sea una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es

Calcular la Esperanza Matemática y la Varianza de la variable aleatoria

PROBLEMA 27

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X está

representada por la función de densidad

a. Determinar el valor de k

b. Obtener ,

c. Calcular la Esperanza matemática y la Varianza de la variable aleatoria η=3ξ-

PROBLEMA 28

Dada la variante , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución:

para x < 0 para para

Determinar la Esperanza Matemática y la Varianza.

PROBLEMA 29

Una variable aleatoria tiene por función de densidad

Se pide: a. Obtener la Función de Distribución b. Calcular c. Calcular la Esperanza Matemática y la Desviación Típica

PROBLEMA 32

Dada la variante , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución:

para para para

Determinar la Función Característica.

PROBLEMA 33

Sea la variable aleatoria ξ tal que su función característica es. Si definimos otra variable aleatoria como η= 3+2ξ. Calcular su Función Característica y a partir de ella la Esperanza Matemática.

PROBLEMA 34

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria obedece a la función de distribución:

1. (^) Obtener la Función de Densidad
2. (^) Calcular las probabilidades siguientes:
3. (^) Obtener E(ξ), V(ξ) a partir de la Función Característica

PROBLEMA 35

Cuatro variables aleatorias, independientes, tienen las siguientes funciones características:

Calcular la Función Característica, la Esperanza y la Varianza de la variable:

PROBLEMA 36

El flujo de pagos semanales de una cierta empresa es una variable aleatoria que tienen por media 400.000 Pts. y por desviación típica 200.000 Pts.

Averiguar el menor y el mayor de los pagos que, con una probabilidad al menos del 60%, se le pueden presentar a la empresa una semana determinada.

PROBLEMA 37

Una variable aleatoria ξ tiene una distribución de probabilidad continua con función de densidad:

1. Calcular
2. Calar la probabilidad anterior si se emplea la desigualdad de Chebyshev..
3. Comparar los resultados

Distribuciones Bidimensionales

PROBLEMA 40

La distribución de probabilidad conjunta de las variables X e Y (resultados en miles de € de dos inversiones) es la que indica la siguiente tabla.

ξ 1 0 1 2 -1 0.10 0.12 0. ξ 2 0 0.05 0.10 0. 2 0.02 0.16 0.

1. Determinar la distribución marginal de las variables ξ 1 e ξ (^2)
2. Calcular la probabilidad de que los resultados de la inversión ξ (^1) sean menores a 1500€ si los resultados de la inversión ξ 2 son mayores de 500€.
3. Comprobar si son estocásticamente independientes o no.
4. Calcular el Coeficiente de Correlación Lineal

PROBLEMA 41

La función de cuantía conjunta de dos variables aleatorias esta dada por la expresión:

Determinar:

1. La constante K
3. La Función de Cuantía marginal de
4. Si son independientes

PROBLEMA 42

Dada la variante (,), cuya distribución de probabilidad conjunta viene definida por la función de distribución conjunta:

para para cualquier otro valor de (x,y).

Determinar:

1. Las distribuciones de probabilidad marginales.
2. Calcular las probabilidades
3. Si las variantes y son o no estocásticamente independientes.

PROBLEMA 43

Dada la función de densidad conjunta de la variable

Calcular:

1. Función de Densidad marginal de ξ
2. Función de Densidad marginal de η
3. ¿Son las variables independientes?

Modelos de Probabilidad

PROBLEMA 46

Se lanzan tres monedas y observamos el número de caras que resultan. Determinar

1. Numero de concreciones del experimento
2. La función de cuantía de la variable “numero de caras”.
3. La función de distribución de la variable “numero de caras”.
4. Calcular la probabilidad de los sucesos 4.a. S 1 : Que salgan menos de dos caras 4.b. S 2 : Que salgan una o dos caras

PROBLEMA 47

Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan:

1. Los cinco individuos.
2. Al menos tres.
3. Sólo dos.
4. Al menos uno.

PROBLEMA 48

Sean y dos variantes tales que:

• se distribuye según la ley
• se distribuye según la ley

Comprobar que la variante , definida de la forma = + se distribuye según la ley , suponiendo que y son estocásticamente independientes.

PROBLEMA 49

A dos grupos, compuestos por diez individuos el primero y seis individuos el segundo, se les efectúa una misma pregunta; supuesto que las únicas posibles sean "si" o "no", ambas en principio igualmente probables, y que todos los individuos respondan, determinar la probabilidad de que:

1. (^) El número de respuestas afirmativas en el primer grupo sea inferior a seis.
2. El número de respuestas afirmativas de los dos grupos sea igual o superior a doce.

(Supóngase la independencia para las respuestas de cada individuo, y para la de los dos grupos.)

PROBLEMA 50

Una urna contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 5 rojas. El experimento aleatorio consiste en extraer 4 bolas (sin reemplazo) y observar el número de negras que salen.

Se pide:

1. Función de Cuantía de la variable “numero de negras que salen”
2. Función de Distribución de la variable “numero de negras que salen”
3. Calcular las probabilidades de los sucesos que se indican 3.a. S 1 : Que ninguna de las bolas sea negra 3.b. S 2 : Que tres de las cuatro bolas sean del mismo color y la cuarta de distinto color a las anteriores.

PROBLEMA 51

Se pide al Director General de cierta empresa multinacional que seleccione a tres ejecutivos para integrar un Comité, con el fin de estudiar el posible lanzamiento de un nuevo producto. Se presentan como voluntarios 20 ejecutivos de las filiales en América y 30 de las filiales europeas.

Si del total de 50 voluntarios el director selecciona al azar a los 3 ejecutivos requeridos, ¿cuál es la probabilidad de que sean elegidos un americano y dos europeos?

PROBLEMA 52

Una urna contiene cinco monedas: tres de 50 céntimos y dos de 1 €. Si se efectúan tres extracciones sin reemplazamiento, determinar razonadamente, estableciendo el modelo de probabilidad correspondiente:

1. La probabilidad de que en las tres extracciones sólo una sea de 50 céntimos.
2. La probabilidad de que en las tres extracciones aparezca al menos una moneda de 1 €.