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Tema 21: Distribución muestral de un
estadístico
1. INTRODUCCIÓN
2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
3. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN
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Bibliografía *^ : Tema 15 (pág. 341-348)
Ejercicios recomendados : 1, 2 y 5.
Tema 16 (recoger en reprografía o bajar de la página)
Ejercicios recomendados : 2, 3, 4, 6 y 7.
* Véase también el tema 1 del libro Análisis de Datos en Psicología II
de Pardo y San Martín (1999; pág. 58-77)
1. INTRODUCCIÓN
La estadística inferencial trata sobre las inferencias con respecto a poblaciones (sus
parámetros, μ y σ^2 ) a partir de la información contenida en las muestras (los estadísticos,
X y S^2 ).
Para poder llevar a cabo esas inferencias es necesario conocer la relación que se establece entre estadísticos y parámetros. El concepto que permite poner en relación ambas cosas es “ La distribución muestral de un estadístico ”.
Ejemplo: Tenemos una población con los siguientes N = 3 elementos: X = {1, 2 y 3}.
Donde μ = 2 σ^2 = 0,67.
Se extraen muestras de n = 2 elementos:
Con reposición, tenemos 9 posibles muestras: (1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); y (3, 3).
Sin reposición, tenemos 6 posibles muestras: (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 3); (3, 1); y (3, 2).
En cada una de las muestras pueden calcularse los correspondientes estadísticos descriptivos:
Por ejemplo, con reposición:
Las medias serían: 1; 1,5; 2; 1,5; 2; 2,5; 2; 2,5; y 3, respectivamente.
Las varianzas serían: 0; 0,25; 1; 0,25; 0; 0,25; 1; 0,25; y 0, respectivamente.
Por tanto, los estadísticos descriptivos son variables aleatorias que pueden adoptar diferentes valores y que tienen su propia distribución de probabilidad.
En el ejemplo vemos que X puede tomar 5 posibles valores y que la probabilidad que corresponde a cada uno de ellos ( f ( X (^) i ), su distribución) es:
X (^) i^1 1,5^2 2,5^3 Total: f ( X (^) i ) 1/ 9^ 2/ 9^ 3/ 9^ 2/ 9^ 1/ 9^1
Donde E( X ) = Σ X i · f ( X (^) i ) = (1)(1/ 9) + (1,5)(2/ 9) + … + (3)(1/ 9) = 2
σ 2 ( X ) = Σ [ X i^2 · f ( X i )] – [ E( X )] 2 = [(1^2 )(1/ 9) + … + (3^2 )(1/ 9)] - 2 2 = 0,
No es necesario construir la distribución de un estadístico (p.e. de X ) en todos los casos ya que cada estadístico tiene su propia distribución muestral conocida.
En este tema nos ocuparemos de la distribución muestral de la media: X y de la proporción: P.
II. Si la variable de partida no es normal
Cuando la variable X con media μ y desviación típica σ^2 , no sigue un modelo de
distribución conocido, la distribución muestral de X^ se parece más a la de la distribución normal a medida que crece el tamaño de las muestras sobre las que se calcula.
Teorema del Límite Central ,
Independientemente de cómo sea la distribución de X , la distribución muestral de X (^) tiende a la normal cuando el tamaño de las muestras tiende a infinito.
Mediante este teorema podemos calcular probabilidades asociadas a los valores de las medias cuando se desconoce la forma de la distribución muestral de partida, siempre y cuando las muestras sean lo suficientemente grandes. Algunos autores plantean que el parecido con la distribución normal empieza a ocurrir desde tamaños muestrales de 30 observaciones.
El valor de n afecta al error típico de la media, σ (X)
Si X → N(50, 20)
Con n 1 = 4 (^) → σ( X)=20/ 4 = 10
Con n 2 = 25 (^) → σ( X)=20/ 25 = 5
Con n 3 = 100 (^) → σ (X )=20/ 100 = 2 3 0 5 0^ 7 0
EJERCICIO
La variable X se distribuye normalmente con media 50 y desviación típica 12. Si extraemos una muestra aleatoria simple de 16 alumnos:
- Si se extrae un sujeto al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al menos una puntuación de 45?
- ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea menor de 58?
- ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea como mínimo 45?
- ¿Qué valores debería tomar la media aritmética para que exista una probabilidad de 0, de encontrar valores entre ellos?
- ¿Qué tamaño tendría que tener la muestra para que la probabilidad de encontrar medias superiores a 52 fuese 0,2578?
Solución
- 0,
- 0,
- 0,
4) X^ i =^48 ,50 y X^ i =^51 ,
- n = 15 sujetos
3. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN
Si tenemos n observaciones ( X 1 , X 2 , ..., Xn ) dicotómicas y definimos:
Xi : “Número de aciertos con probabilidad π”
Entonces: X → B ( x , n , π) E(X) = n · π
σ (X)= n π⋅(1− π )
EJEMPLO:
Distribución del número de aciertos en un test de 5 ítems con π = 0,
Xi 0 1 2 3 4 5 f ( x (^) i ) 0,031 0,156 0,312 0,312 0,156 0,
Donde: E(X) = (5) (0,50) = 2,
σ(X) = 2,5⋅(0,50) =1,
Si ahora definimos la variable
n
X
Pi = i … “Proporción de aciertos con probabilidad π”
El estadístico proporción ( P ) se distribuye mediante el modelo Binomial: B ( x , n , π).
Donde: E(P) = π
σ (P) = π ⋅(1− π)/ n … Error típico de la proporción
Las probabilidades asociadas al estadístico P pueden obtenerse mediante la tabla de la
Binomial con parámetros n y π.
En el ejemplo:
Distribución de la propoción de aciertos en un test de 5 ítems con π = 0,
Xi 0 1 2 3 4 5 Pi 0 0,20 0,40 0,60 0,80 1, f ( x (^) i ) 0,031 0,156 0,312 0,312 0,156 0,
Donde: E(P) = 0,
σ(P) = 0,50⋅(0,50)/5=0,
Por tanto:
Probabilidad de que se acierten el 40% de los ítems: P( Pi = 0,40) = P( Xi = 2) = 0,
Probabilidad de que se acierten como máximo el 60% de los ítems: P( Pi ≤ 0,60) = P( Xi ≤ 3) = 0,
