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DPTO. FISICA APLICADA II - ETSIE
Cap´ıtulo 1
Est´atica de fluidos
1.1. Introducci´on
Los temas 1 y 2 tienen por objeto, respectivamente, el estudio del compor- tamiento est´atico y din´amico de los fluidos, que colectivamente se conoce como Mec´anica de Fluidos. Las aplicaciones de la Mec´anica de Fluidos en el ´ambito de la construcci´on son muy variadas. Por ejemplo: redes de tuber´ıas para el agua o el gas, embalses (de l´ıquidos e incluso de tierras), piscinas, etc.
1.1.1. S´olidos, l´ıquidos, gases
La materia suele presentarse en uno de los siguientes tres estados, llamados estados de agregaci´on: s´olido, l´ıquido y gaseoso. Las propiedades f´ısicas que presenta la materia en estos estados est´an estrechamente ligadas a la intensidad de las interacciones entre las part´ıculas (´atomos o mol´eculas) que constituyen la materia. As´ı, tenemos que:
En un s´olido, la interacci´on entre las part´ıculas es tan fuerte que ´estas s´olido ocupan posiciones fijas en un ret´ıculo tridimensional (red cristalina) y s´olo est´an permitidos movimientos oscilatorios de peque˜na amplitud en torno a sus posiciones de equilibrio. Consecuencia de ello es que los s´oli- dos tienen forma y volumen propios, siendo ´este ´ultimo pr´acticamente invariable frente a cambios de presi´on (incompresible) y de temperatura (no dilatable).
En un l´ıquido, la interacci´on entre las part´ıculas es m´as d´ebil que la l´ıquido existente en los s´olidos, por lo que ´estas no ocupan posiciones fijas en una red sino que tienen cierta libertad para moverse. En consecuencia, los l´ıquidos carecen de forma propia, adoptando la del recipiente que los contiene. Sin embargo, como los s´olidos, tienen volumen propio y son poco compresibles y dilatables.
En un gas, por ´ultimo, la interacci´on entre las part´ıculas es muy d´ebil gas y puede ignorase habitualmente. Este hecho se traduce en que los gases
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2 Est´atica de fluidos
carecen de forma y volumen propios (tienden a ocupar todo el volumen disponible) y se comprimen y dilatan con facilidad. A temperatura am- biente y presi´on atmosf´erica, los gases son t´ıpicamente 1000 veces menos densos que los s´olidos y los l´ıquidos.
1.1.2. Concepto de fluido
fluidos A los gases y a los l´ıquidos se les denomina gen´ericamente fluidos. Sin embar- go, la clasificaci´on precisa de una substancia como fluido se efect´ua en funci´on dF de su respuesta a la aplicaci´on de un esfuerzo cortante.
→ n
dF
→
da dF → t
FIGURA 1.1: Componentes normal y tangencial de una fuerza.
Supongamos que sobre una substancia se aplica una fuerza distribuida sobre una cierta superficie. Sea d F~ la fuerza que se ejerce sobre un ´area infinitesimal da. Dicha fuerza puede descomponerse en una componente normal, d F~n, y otra tangencial, d F~t (fig. 1.1). Se denomina esfuerzo 1 a la fuerza que act´ua por unidad de ´area: ~τ =
d F~ da
Se deduce de la definici´on que la unidad del esfuerzo o tensi´on en el Sistema Internacional es N/m^2 , que tambi´en recibe el nombre de pascal, Pa. El esfuerzo normal y el esfuerzo cortante son, respectivamente, las compo- nentes normales y tangenciales del vector esfuerzo:
~τn =
d F~n da
~τc =
d F~t da
En este contexto, una substancia se clasifica como fluido si se pone en mo- vimiento, deform´andose, bajo la acci´on de un esfuerzo cortante, sin importar cu´an peque˜no sea ´este, y contin´ua deform´andose hasta que cesa el esfuerzo cortante.
∆ x
y
h
0 (a)
→ t V c
(b)
→ t c
FIGURA 1.2: Comportamiento de un s´olido el´astico (a) y de un fluido (b) ante la aplicaci´on de un esfuerzo cor- tante.
El comportamiento de los fluidos frente a un esfuerzo cortante es, por tanto, completamente distinto al que presentan los s´olidos. Un s´olido, como el que se muestra en la fig. 1.2a, puede resistir un esfuerzo cortante mediante una defor- maci´on est´atica, de magnitud ∆x, proporcional al esfuerzo cortante aplicado, siendo τc ∝
∆x h
Cuando el esfuerzo cortante aplicado cesa, el s´olido recupera su forma original. Consideremos en cambio un fluido alojado entre dos placas planas paralelas (fig. 1.2b). Seg´un dicta la experiencia, las part´ıculas de fluido en contacto con una superficie s´olida se adhieren a la misma y se desplazan con la velocidad de ´esta (condici´on de no deslizamiento). Por tanto, si se aplica una fuerza horizontal sobre la placa superior (y = h) se estar´a tambi´en ejerciendo un cierto esfuerzo cortante sobre la capa superior de fluido. De acuerdo con la definici´on de fluido, ´este no podr´a entonces permanecer en reposo y se pondr´a en movimiento. Experimentalmente se observa que el esfuerzo cortante aplicado es proporcional a la velocidad V que adquiere la placa y la capa de fluido superior
τc ∝
V
h
(^1) En ciertos textos, a la fuerza por unidad de superficie se le denomina tensi´on.
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4 Est´atica de fluidos
T´ıpicamente, la densidad de los gases es unas mil veces menor que la de los l´ıquidos. Por ejemplo, la densidad del aire a presi´on atmosf´erica y 15◦^ C de temperatura es 1,23 kg/m^3. La del agua es 10^3 kg/m^3. La densidad de un fluido puede variar en el espacio y en el tiempo. Si la densidad es la misma en todos los puntos del fluido, el fluido se dice que es homog´eneo. En caso contrario, se dice que es heterog´eneo.
1.2.2. Peso espec´ıfico
peso espec´ıfico Se define el peso espec´ıfico γ como
γ = l´ım ∆V → 0
∆mg ∆V
donde g es el m´odulo de la aceleraci´on debida al campo gravitatorio terrestre en la superficie de la tierra (g = 9,8 m/s^2 ). El peso espec´ıfico es pues el peso por unidad de volumen. Las unidades de peso espec´ıfico en el SI son N/m^3. La relaci´on entre el peso espec´ıfico y la densidad es γ = ρg, como puede comprobarse de la definici´on de ambas propiedades.
1.2.3. Viscosidad
En el seno de un fluido en movimiento surgen esfuerzos normales y cortan- tes entre una part´ıcula fluida y sus vecinas. Tales esfuerzos frenan o aceleran la part´ıcula fluida, de forma que por su acci´on la part´ıcula tiende a igualar su velocidad con la de las part´ıculas que la rodean. Estos esfuerzos est´an rela- cionados con la propiedad del fluido denominada viscosidad. La viscosidad es una propiedad important´ısima en din´amica de fluidos. Como veremos m´as ade- lante, la viscosidad controla la cantidad de fluido que puede ser transportada por una conducci´on y las p´erdidas de energ´ıa que se producen asociadas a este transporte. Adem´as, su valor es decisivo para que en el flujo se produzcan o no turbulencias. En esta secci´on centraremos nuestra atenci´on sobre los esfuerzos cortantes viscosos. Consideremos nuevamente el fluido confinado entre dos placas paralelas mostrado en la fig. 1.2b. Seg´un ya se ha visto, la aplicaci´on de un esfuerzo cortante sobre la capa superior de fluido (y = h) pone en movimiento a la misma con una velocidad V , siendo el esfuerzo cortante proporcional a raz´on V /h. Dicha proporcionalidad, que se describi´o por la expresi´on (1.5), puede con- vertirse en ecuaci´on introduciendo una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de viscosidad coeficiente de viscosidad din´amica del fluido, o simplemente viscosidad del flui- do, y representada por la letra η,
τc = η
V
h
Debido a esa viscosidad del fluido, la capa de fluido superior ejerce un esfuerzo cortante sobre la capa subyacente, tirando de la misma y poni´endola a su vez en movimiento. Este hecho se repite en las capas inferiores consecutivas hasta alcanzar la placa inferior (y = 0). La velocidad del fluido junto a la placa inferior es cero, por encontrarse ´esta en reposo. En las capas intermedias, se
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1.2 Algunas propiedades de los fluidos 5
observa que la velocidad del fluido es proporcional a su distancia a la placa inferior, de forma que
v(z) =
V
h
z. (1.9)
George Gabriel Stokes (Skreen, 1819; Cambridge, 1903): Ma- tem´atico y f´ısico irland´es que con- tribuy´o a la ciencia de la hidro- din´amica con su ley de viscosidad. Stokes investig´o el movimiento de fluidos incompresibles, la fricci´on en los fluidos y el movimiento el´astico de los s´olidos.
Por analog´ıa con la capa de fluido superior, en las capas de fluido interme- dias tambi´en existir´a un esfuerzo cortante debido a la viscosidad, τc. De forma general, los esfuerzos cortantes de origen viscoso que surgen entre capas de fluidos que se mueven a distinta velocidad satisfacen la denominada ley de la viscosidad de Newton, ley de la viscosidad de newton τc = η
dv dz
Por tanto, la viscosidad es una propiedad f´ısica del fluido que caracteriza la resistencia al deslizamiento relativo de capas contiguas del fluido. La magnitud dv/dz representa el cambio de velocidad en la direcci´on normal a la de la propia velocidad y se denomina gradiente de velocidad o raz´on de deformaci´on. Teniendo en cuenta la ec. (1.9), la raz´on de deformaci´on del fluido en el ejemplo que estamos considerando es precisamente dv/dz = V /h. Puesto que las unidades de τc en el SI son N/m^2 (´o Pa), las unidades de η ser´an Pa s. En el sistema cegesimal la unidad empleada es el poise (p), 1 poise = 1 dina s/cm^2. El factor de conversi´on al SI es: 10 poise = 1 Pa s. Relacionada con la viscosidad din´amica, la viscosidad cinem´atica se define como ν = η/ρ, donde ρ es la densidad del fluido. Sus dimensiones en el SI son m^2 /s, mientras que en el sistema cegesimal es el stoke (st), 1 stoke = 10−^4 m^2 /s.
dilatante newtoniano
pseudoplástico
plástico ideal
razón de deformación
esfuerzo cortante
FIGURA 1.3: Dependencia del esfuer- zo cortante con la raz´on de defor- maci´on en fluidos newtonianos, no- newtonianos y en pl´asticos.
reopéctico
newtoniano
tixotrópico
tiempo
esfuerzo cortante
FIGURA 1.4: Variaci´on en el tiempo del esfuerzo cortante que ha de apli- carse para mantener una raz´on de de- formaci´on constante en el fluido.
La ec. (1.10) es aplicable a los fluidos newtonianos, tales como el agua, el aire o el aceite. Existen otros fluidos (fluidos no-newtonianos) en los cuales el esfuerzo cortante viscoso no es directamente proporcional a la raz´on de defor- maci´on, sino que guarda otro tipo de relaci´on m´as compleja (fig. 1.3). Ejemplos de fluidos no newtonianos son los fluidos pseudopl´asticos (sangre, leche, cemen- to antes de fraguar) y los fluidos dilatantes (alm´ıbar). Por otro lado, tambi´en existen fluidos en los que el esfuerzo cortante que ha de aplicarse para man- tener una raz´on de deformaci´on constante (dv/dz = cte) cambia en el tiempo (fig. 1.4). Tales fluidos se clasifican como fluidos tixotr´opicos (ciertos tipo de pinturas, cementos y hormigones) ´o fluidos reop´ecticos (substancias bitumino- sas). No obstante, lo que s´ı es com´un para todos los fluidos es que los esfuerzos cortantes debidos a la viscosidad s´olo aparecen cuando existe un gradiente de velocidad. En caso de que la velocidad sea constante o, simplemente, el fluido est´e en reposo, tales esfuerzos no existir´an. La viscosidad de un fluido depende de su temperatura. En los l´ıquidos la viscosidad disminuye conforme aumenta la temperatura, mientras que en los gases sucede lo contrario. La dependencia con la temperatura es, adem´as, mucho m´as fuerte en l´ıquidos que en gases. El motivo de este distinto comportamiento se debe a que en los l´ıquidos la viscosidad se ve influenciada principalmente por las fuerzas de cohesi´on que existen entre sus mol´eculas, mientras que en los gases las fuerzas de cohesi´on son despreciables y son las colisiones entre mol´eculas las que provocan los esfuerzos internos de fricci´on. En caso de que los efectos de la viscosidad en un fluido puedan despreciarse (matem´aticamente, cuando la viscosidad tiende a cero) se dice que el fluido es un fluido perfecto. En el seno de un fluido perfecto no hay esfuerzos cortantes fluido perfecto de origen viscoso. Si, adem´as, la densidad es constante en todos sus puntos, se dice que es un fluido ideal. fluido ideal
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1.2 Algunas propiedades de los fluidos 7
→
F
película de fluido
varilla deslizante
película de fluido
varilla deslizante
d
FIGURA 1.5: Experimento para ilus- trar la existencia de las fuerzas de tensi´on superficial. Si no act´ua nin- guna fuerza, las fuerzas de tensi´on superficial de la pel´ıcula de fluido ha- cen que la varilla deslizante est´e en la posici´on de la izquierda. S´olo si act´ua una fuerza se logra estirar la pel´ıcula de fluido como se ilustra a la derecha.
tal que F = σ 2 d. (1.12)
El coeficiente de proporcionalidad σ recibe el nombre de coeficiente de tensi´on superficial o, simplemente, tensi´on superficial. El factor num´erico 2 es debido a tensi´on superficial que la pel´ıcula de l´ıquido posee dos caras, por lo que la fuerza ha de ser tambi´en doble. La tensi´on superficial depende de la naturaleza del l´ıquido, del medio que lo rodea y de la temperatura. En general, la tensi´on superficial disminuye con la temperatura, pues las fuerzas de cohesi´on disminuyen al aumentar la agitaci´on t´ermica. La tensi´on superficial tiene dimensiones de fuerza por unidad de longitud y, por tanto, se mide en N/m. Para el agua a 15◦C su valor es σ = 0,0741 N/m.
q< π_ 2 θ
q> π_ 2
FIGURA 1.6: Angulo de contacto en´ la interfaz para un l´ıquido que moja la pared del recipiente (izda.) y otro que no moja dicha pared (dcha.).
Cuando un l´ıquido entra en contacto con las paredes del recipiente, el l´ıquido adopta una forma curva que se denomina menisco (fig. 1.6). La formaci´on del menisco se debe a que las mol´eculas del l´ıquido no solo interaccionan con el resto del fluido (fuerzas de cohesi´on) sino tambi´en con las mol´eculas de la pared s´olida del recipiente (fuerzas de adhesi´on). La forma final que adopta el menisco surge de la competencia entre las fuerzas de cohesi´on y de adhesi´on. El menisco se caracteriza por el ´angulo de contacto entre la pared y el l´ıquido. As´ı, si el ´angulo de contacto es θ < π/2 se dice que el l´ıquido moja la pared, y si θ > π/ 2 el l´ıquido no moja la pared. El ´angulo de contacto entre el agua y el vidrio limpio es θ = 0, lo que corresponde a una mojabilidad perfecta. La curvatura que adopta la interfaz l´ıquido-aire en el equilibrio da origen a una sobrepresi´on ∆p en el l´ıquido debido a tensi´on superficial. A consecuencia de esta sobrepresi´on, el nivel de un l´ıquido en un tubo capilar (tubo de peque˜no di´ametro) difiere del nivel del mismo l´ıquido en un vaso ancho comunicante con aquel. El nivel del l´ıquido en el tubo capilar es m´as alto (m´as bajo) que en el vaso comunicante si el l´ıquido moja (no moja) sus paredes (fig. 1.7). La magnitud de la elevaci´on capilar est´a dada por
h =
2 σ cos θ γR
donde σ es la tensi´on superficial, γ el peso espec´ıfico y R el radio del capilar.
FIGURA 1.7: Elevaci´on capilar de un l´ıquido que moja la pared (izda.) y de otro que no moja la pared (dcha.).
El fen´omeno del ascenso capilar del agua es de suma importancia en cons- trucci´on. As´ı, los cimientos de las estructuras pueden humedecerse por la acci´on de la capilaridad sobre las aguas fre´aticas, provocando la corrosi´on del acero de refuerzo usado en estos. Cuando los niveles de ascenso capilar son muy altos, el agua puede alcanzar las paredes de la edificaci´on, gener´andose problemas en los ladrillos y los acabados de la edificaci´on.
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8 Est´atica de fluidos
1.3. Presi´on
1.3.1. Concepto y unidades
Seg´un hemos visto en la secci´on anterior, los ´unicos esfuerzos que pueden es- tar actuando sobre un fluido en reposo son esfuerzos normales. Dichos esfuerzos presi´on son de compresi´on y definen la presi´on, p, en un punto del fluido seg´un
p = |~τn| = d| F~n| da
donde d F~n es la fuerza normal que act´ua sobre el ´area elemental da que contiene al punto. N´otese que la presi´on es una magnitud escalar. Su unidad fundamental pascal en el SI es el newton por metro cuadrado (N/m^2 ) o pascal (Pa). Como el pascal es una unidad de presi´on muy peque˜na, frecuentemente se expresa la presi´on en kilopascales (kPa) o megapascales (MPa). Por ejemplo, la presi´on de la atm´osfera a nivel del mar es 101,2 kPa. Otras unidades de presi´on habitualmente usadas y sus equivalencias son:
Atm´osfera (atm o atmos), es la presi´on promedio en la atm´osfera de la Tierra a nivel del mar. 1 atm = 101,325 kPa ≈ 105 Pa.
Baria (ba), es la unidad de presi´on CGS. 1 baria = 1 dina/cm^2 = 0,1 Pa.
Bar (b). 1 bar = 10^5 Pa ≈ 1 atm.
Mil´ımetro de mercurio (mm Hg ´o torr, es la presi´on que ejerce sobre su base una columna de mercurio de un mil´ımetro de altura a nivel del mar. 760 mm Hg = 1 atm.
Evangelista Torricelli (Faenza, 1608; Florencia, 1647): F´ısico ita- liano que investig´o el vac´ıo y cons- truy´o el primer bar´ometro de mer- curio. Frecuentemente, los valores de la presi´on suelen darse referidos a la presi´on presi´on manom´etrica atmosf´erica local. Dicha presi´on se denomina presi´on manom´etrica, pman,
pman = p − patm. (1.15)
y puede adquirir valores tanto positivos como negativos. En contraste, la presi´on presi´on absoluta absoluta, p, siempre es positiva y s´olo alcanza el cero cuando se logra un vac´ıo ideal, esto es, cuando no quedan mol´eculas o ´atomos en un espacio.
1.3.2. Presi´on en un punto
La presi´on en un punto de un fluido en reposo se ha definido como el m´odulo de la fuerza normal dividida entre el ´area infinitesimal sobre la que act´ua. Cabe preguntarse si el valor de la presi´on as´ı obtenido se modificar´ıa al cambiar la orientaci´on del ´area infinitesimal. Para mostrar que esto no sucede, consideremos el elemento de volumen en forma de cu˜na, que se muestra en la fig. 1.8. Sea pθ la presi´on que act´ua sobre la cara de ´area dx dl, dispuesta con inclinaci´on θ, y sean py y pz las presiones que act´uan sobre las caras vertical y horizontal, de ´areas respectivas dx dy y dx dz. Por sencillez, supondremos que la ´unica fuerza de volumen presente es el peso de la cu˜na, de m´odulo
dW =
dx dy dzρg. (1.16)
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10 Est´atica de fluidos
FIGURA 1.9: Equilibrio de una part´ıcula de fluido en reposo en el seno de un campo gravitatorio. Por claridad se omiten las fuerzas de presi´on paralelas al eje x.
dx
x
y
z
p x,y ( − _^12 dy,z dxdz )
p x,y,z+ ( (^) _^12 dz dxdy )
p x,y,z ( − _^12 dz dxdy )
dz
dy
( x,y,z ) p x,y+ ( (^) _^12 dy,z dxdz^ ) dW
→
depender´ıa (aunque en general d´ebilmente) de la orientaci´on elegida para da. Sin embargo, en los flujos incompresibles, que ser´an los que trataremos aqu´ı, puede demostrarse que el promedio de los esfuerzos normales que act´uan seg´un las tres direcciones del espacio es independiente de la raz´on de deformaci´on del fluido. Por dicho motivo, en los fluidos en movimiento, se define la presi´on como p =
(|~τnx| + |~τny | + |~τnz |). (1.25)
En un fluido perfecto, sin viscosidad, los esfuerzos viscosos est´an ausentes tanto si el fluido est´a en reposo como si est´a en movimiento. En tal caso, la definici´on de presi´on seg´un (1.14) sigue siendo v´alida.
1.4. Ecuaci´on fundamental de la est´atica de fluidos
en el campo gravitatorio
Brook Taylor (Edmond, 1685; Londres, 1731): Matem´atico ingl´es. El desarrollo que lleva su nombre era ya conocido por James Gregory (Drumoak (Aberdeen), 1638; Edimburgo, 1675).
Consideremos una part´ıcula de fluido de forma paralelepip´edica centrada en el punto de coordenadas (x, y, z) (fig. 1.9). Si el fluido est´a en reposo, la part´ıcula estar´a sometida a la acci´on de fuerzas normales sobre cada una de sus seis caras y, adem´as, la fuerza de volumen debida a su propio peso. La presi´on que act´ua sobre cada una de las caras de la part´ıcula puede obtenerse mediante un desarrollo de Taylor. As´ı, por ejemplo, la presi´on en la cara perpendicular al eje z situada a la altura z − 12 dz se expresar´a como
p(x, y, z − 12 dz) = p(x, y, z) −
∂p ∂z
dz 2
donde se ha limitado el desarrollo hasta t´erminos infinit´esimos de primer orden. An´alogamente, la presi´on del fluido en la cara opuesta valdr´a
p(x, y, z + 12 dz) = p(x, y, z) + ∂p ∂z
dz 2
Expresiones an´alogas se obtienen para las restantes caras. Puesto que la part´ıcula fluida est´a en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que act´uan sobre ella ha de ser necesariamente nula. El balance de fuerzas en la direcci´on z es entonces
p(x, y, z − 12 dz)dxdy
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1.4 Ecuaci´on fundamental de la est´atica de fluidos en el campo gravitatorio 11
−p(x, y, z + 12 dz)dxdy −ρgdxdydz = 0, (1.28)
y teniendo en cuenta las ecuaciones (1.26)–(1.27) resulta
∂p ∂z
En las direcciones x e y del espacio no act´ua ninguna fuerza de volumen, por lo que los respectivos balances de fuerzas resultan ser
∂p ∂x
∂p ∂y
El conjunto de las ecuaciones (1.29)–(1.31) puede escribirse como una ´unica ecuaci´on vectorial que recibe el nombre de ecuaci´on fundamental de la est´atica de fluidos en el campo gravitatorio,
∇^ ~p = ρ~g, (1.32)
donde ~g = −g~k es el vector gravedad y ∇~p es el gradiente de la presi´on,
∇^ ~p =
∂p ∂x
∂p ∂y
∂p ∂z
0
A
zA pA
pB
p = pB' atm
H zB B
B'
zB'
z
FIGURA 1.10: Presi´on en los puntos de un fluido situados a distintas altu- ras.
De las ecs. (1.30)–(1.31) se deduce que la presi´on en el campo gravitatorio es independiente de las coordenadas x e y. Por tanto, las superficies isobaras (lugares geom´etricos de los puntos de igual presi´on) son planos horizontales. Por el contrario, como lo muestra la ec. (1.29), la presi´on s´ı cambia con la coordenada z. Puesto que el cambio de presi´on por unidad de longitud en la direcci´on z (∂p/∂z) es negativo (−ρg), la presi´on en el fluido disminuye con la altura. Teniendo en cuenta que p = p(z), la ec. (1.29) puede integrarse f´acilmente entre dos puntos arbitrarios de alturas zA y zB y presiones pA y pB respectivamente, (^) ∫ pB
pA
dp = −
∫ (^) zB
zA
ρgdz. (1.34)
Si la densidad del fluido es constante resulta entonces
pB − pA = −ρg(zB − zA), (1.35)
o bien pA + ρgzA = pB + ρgzB. (1.36)
Claramente, si la presi´on en el punto B es conocida, la presi´on en el punto A puede determinarse en funci´on de la presi´on en el punto B y la diferencia de alturas entre los dos puntos (fig. 1.10). Frecuentemente, el punto B se toma en la superficie libre del fluido (B′), donde la presi´on es igual a la presi´on atmosf´erica. La presi´on en el punto A vale entonces
pA = patm + ρgH, (1.37)
donde H = zB − zA es la profundidad del punto A respecto de la superficie libre.
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1.5 Principio de Pascal 13
d
6 m agua
aire
aceite
0,5 m
B
C
E
PROBLEMA RESUELTO 1.
Soluci´on:
Mediante la ecuaci´on fundamental de la est´atica de fluidos, la presi´on en el punto E (de contacto entre el aceite y el l´ıquido de densidad ρ′) se puede relacionar con la presi´on atmosf´erica a la que se encuentra el aceite que est´a en la superficie en el dep´osito de la derecha (abierto a la atm´osfera):
pE = patm + ρaceite g(6, 5 − d), (P1.1)
o bien con la presi´on a la que se encuentra el aire encerrado en el dep´osito de la izquierda: pE = pB + ρagua g6 + ρ′^ g 0 , 5. (P1.2)
Sustituyendo los datos y despejando la ´unica inc´ognita llegamos a que
d = 2,5 m. (P1.3)
1.5. Principio de Pascal
Llamado “principio” por razones hist´oricas es, en realidad, una consecuencia importante de la variaci´on lineal de la presi´on con la profundidad en un l´ıquido en reposo. Este principio fue establecido experimentalmente por primera vez por Pascal y puede enunciarse como sigue: si la presi´on ejercida en un punto de un fluido incompresible en equilibrio cambia en una cantidad ∆p, entonces la presi´on cambia en la misma cantidad ∆p en todos los puntos del fluido.
Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, 1623; Par´ıs, 1662): Fil´osofo, ma- tem´atico y f´ısico, destaca por sus contribuciones a la geo- metr´ıa de c´onicas, la combinatoria, c´alculo de probabilidades. Descu- bri´o la utilidad del bar´ometro como alt´ımetro y fue el fundador de la est´atica de fluidos. En 1642 cons- truy´o la primera calculadora.
En efecto, sean dos puntos A y B de un fluido incompresible en equilibrio. Como ya sabemos, las presiones en dichos puntos est´an relacionadas mediante la ec. (1.36). Supongamos ahora que la presi´on del fluido se modifica por alguna causa, de forma que en el punto A pasa a ser pA +∆pA y en el punto B pasa a ser pB + ∆pB. Si el fluido contin´ua en equilibrio, tendr´a que cumplirse nuevamente que pA + ∆pA + ρgzA = pB + ∆pB + ρgzB, (1.40)
y teniendo en cuenta la ec. (1.36) resulta
∆pA = ∆pB. (1.41)
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14 Est´atica de fluidos
Una de las aplicaciones m´as importantes del principio de Pascal es la prensa prensa hidr´aulica hidr´aulica. B´asicamente, una prensa hidr´aulica es un recipiente cerrado, dotado de dos ´embolos de distinta superficie, y que contiene un l´ıquido incompresible en su interior. Al aplicar sobre el ´embolo de menor superficie, SA, una fuerza nor- mal de m´odulo FA, la presi´on del fluido situado tras el ´embolo se modificar´a en la cantidad ∆pA = FA/SA. Seg´un el principio de Pascal, dicho incremento de presi´on se transmite a todos los puntos del fluido y, en particular, a los puntos del fluido situados bajo el ´embolo de mayor superficie. Para equilibrar dicho ´embolo, de superficie SB , deber´a aplicarse una fuerza normal de m´odulo FB tal que ∆pA =
FA
SA
FB
SB
= ∆pB. (1.42)
Por tanto, si la superficie de los ´embolos se elige de forma que SA ≪ SB se tendr´a que FA ≪ FB , de donde se desprende la utilidad de este dispositivo para amplificar la fuerza ejercida. El principio del funcionamiento de la prensa hidr´aulica se utiliza en otras muchas aplicaciones pr´acticas, por ejemplo en sistemas de elevaci´on electro-hidr´aulicos de cargas o en los frenos de discos de los coches y motocicletas.
1.6. Empuje sobre paredes sumergidas
1.6.1. Empuje sobre una pared horizontal
Sea una pared horizontal, de superficie S, en contacto con un l´ıquido de densidad ρ en una de sus caras. Sobre cada punto de dicha cara el l´ıquido ejerce una presi´on de id´entico de valor, p = patm + ρgH, donde H es la profundidad de la pared respecto de la superficie libre. Por tanto, la pared est´a sometida a una fuerza distribuida homog´eneamente por su superficie y el m´odulo de la fuerza total ser´a entonces
F =
S
p da
= p
S
da
= pS = (patm + ρgH)S. (1.43)
La direcci´on de la fuerza es vertical y su sentido es siempre hacia la pared. El punto de aplicaci´on de dicha fuerza es siempre el del centroide de la superficie S. Si al otro lado de la pared hay aire, la fuerza neta ejercida sobre la pared ser´a entonces Fneta = pS − patmS = ρgHS. (1.44)
1.6.2. Empuje sobre una pared inclinada
FIGURA 1.11: Fuerzas hidrost´aticas sobre una pared inclinada.
Sea una pared rectangular, inclinada un ´angulo θ respecto de la horizontal, tal que una de sus caras est´a en contacto con un l´ıquido de densidad ρ y la cara opuesta est´a en contacto con la atm´osfera (fig. 1.11). Consideremos el
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16 Est´atica de fluidos
tono m´as oscuro) de densidad ρfluido= 1200 kg/m^3. La pared AB pesa 18 × 104 N y est´a empotrada en el suelo. En estas condiciones, calcula:
(a) La altura h que alcanza el fluido oscuro en el tubo en U respecto del fondo del dep´osito, sabiendo que la interfaz agua-fluido (punto C) est´a a una altura de 0 , 5 m respecto del fondo del dep´osito.
(b) Para la pared vertical AB, los vectores fuerza de reacci´on vincular y momento en el empotramiento B.
Datos adicionales: patm ≈ 105 Pa, ρagua = 10^3 kg/m^3.
PROBLEMA RESUELTO 1.
A
B
5 m
2 m 3 m h C (^) 0,5 m
Soluci´on:
(a) La presi´on en el contacto entre el fluido y el agua se puede relacionar mediante la ecuaci´on fundamental de la est´atica de fluidos con la presi´on atmosf´erica a la que se encuentra el agua en el dep´osito abierto a la atm´osfera o bien con la presi´on atmosf´erica a la que se encuentran los puntos del fluido en U que distan una altura h respecto del fondo del dep´osito:
pC = patm + ρfluido g(h − 0 ,5), (P2.1) pC = patm + ρagua g(2 − 0 ,5). (P2.2)
Por tanto, despejando h = 1,75 m. (P2.3)
(b) La pared vertical AB se puede considerar como un s´olido r´ıgido vinculado en el punto B mediante un empotramiento. Para estudiar el equilibrio aplicamos el principio de liberaci´on y sustituimos el empotramiento por dos fuerzas de reacci´on vincular ~φBx y ~φBy , que impidan respectivamente las posibles traslaciones hori- zontal y vertical, y un momento de reacci´on vincular M~B que impida los posibles giros alrededor de B.
2 m
2/3 m
G
B
A
F
f Bx
P
f By
MB
FIGURA P2a: Diagrama de fuerzas del apartado (b).
El diagrama de fuerzas se ilustra en la fig. P2a. Las fuerzas activas son el peso de la pared y la resultante del sistema de fuerzas distribuidas triangular debido a la presencia de los fluidos agua y aire a la izquierda y derecha, respectivamente, de la pared. Este sistema de fuerzas distribuidas puede reducirse a una ´unica fuerza de componentes las de la resultante y aplicado en el centro de vectores parale- los, que en el caso de una carga triangular se encuentra a h 3 desde el punto de empotramiento, donde h es la altura de la columna de agua (fig. P2a).
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1.7 Empuje de tierras 17
Las ecuaciones de equilibrio del s´olido r´ıgido en el plano son:
∑ Fx = 0, (P2.4) ∑ Fx = 0, (P2.5) ∑ MOz = 0. (P2.6)
Teniendo en cuenta que la pared es de grosor despreciable, la ecuaciones de equi- librio quedan
F − φBx = 0, (P2.7) φBy − P = 0, (P2.8)
MB − F
h 3
= 0, (P2.9)
donde la resultante del sistema de fuerzas distribuidas triangular es
F =
ρgah^2 , (P2.10)
siendo a = 5 m y h = 2 m.
Resolviendo el sistema de ecs. (P2.7)–(P2.9) y expresando la soluci´on en forma vectorial obtenemos
~φB = (− 105 , 18 10^4 ) N, (P2.11)
M^ ~B = (0, 0 , 2 3
× 105 ) N m. (P2.12)
1.7. Empuje de tierras
Si se deja caer un chorro de arena seca sobre un plano horizontal se forma un cono. Las generatrices de dicho cono forman con el plano horizontal un ´angulo bien definido, llamado ´angulo de talud natural, de forma que cualquier talud de ´angulo de talud natural mayor pendiente ser´ıa inestable. La presencia de humedad en la tierra puede alterar su cohesi´on, por lo que el ´angulo de talud natural podr´ıa verse afectado por el grado de humedad.
William John Macquorn Ranki- ne (Edimburgo, 1820; Glasgow, 1872): Es uno de los fundadores de la teor´ıa de las m´aquinas de fuerza termodin´amica; investig´o la m´aquina de vapor y la resistencia por fricci´on en los barcos.
Cuando se requiere que un apilamiento de tierras tenga una pendiente su- perior a la de su ´angulo de talud natural es necesario emplear un muro de contenci´on o de sostenimiento que impida el deslizamiento de las tierras. La re- sultante de las fuerzas que ejercen las tierras sobre el muro se denomina empuje y, en ciertas circunstancias, guarda gran similitud con el empuje hidrost´atico sobre una pared sumergida en un fluido. Existen dos teor´ıas aceptadas com´unmente para el c´alculo del empuje de tie- rras: la teor´ıa de Coulomb (1776) y la teor´ıa de Rankine (1857). Ambas teor´ıas presuponen que el terreno del suelo es no cohesivo (sin componentes arcillosos), homog´eneo (no es una mezcla variable de distintos materiales), isotr´opico (pre- senta propiedades similares en todas las direcciones), semi-infinito (el muro de
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1.8 Teorema de Arqu´ımedes 19
presi´on son id´enticas. El empuje que experimenta el paralelep´ıpedo surge pues de la diferencia de presiones entre la cara inferior y la cara superior,
b
p inf bc
p sup bc
a
c
→
E
FIGURA 1.15: El empuje E~ que act´ua sobre el paralelep´ıpedo surge de la di- ferencia de presiones que act´ua sobre las caras inferior y superior.
E = (pinf − psup)bc = ρgabc = ρgV = P, (1.51)
donde P es el peso que tendr´ıa el volumen V del paralelep´ıpedo si estuviera ocupado por el fluido. El punto de aplicaci´on de dicho empuje es el centroide del paralelep´ıpedo y se le denomina centro de empuje o de carena.
centro de empuje
PROBLEMA RESUELTO 1.3:
Una barra cil´ındrica, de secci´on S = 5 cm^2 y de longitud L = 1 m, encuentra atada mediante un cable de 25 cm de longitud al techo de un dep´osito de agua. El agua del dep´osito dista 50 cm del techo y la barra flota parcialmente sumergida en el agua seg´un se muestra en la figura. Determine
(a) Angulo que forma el cable con la vertical en el equilibrio.´
(b) La longitud l de la barra que est´a sumergida.
(c) La tensi´on del cable.
Dato adicional: ρbarra/ρagua = 0, 84.
Soluci´on:
(a) El peso de la barra y el empuje que experimenta la porci´on de barra sumergida son fuerzas verticales. Por tanto, la ´unica posibilidad para que exista equilibrio es que la tensi´on que ejerce el cable sea tambi´en vertical, luego el ´angulo que forma el cable con la vertical es 0 ◦.
(b) Dibujamos el diagrama de fuerzas. Hay dos fuerzas activas: el peso P~ de la barra y el empuje E~, y una fuerza de reacci´on vincular: la tensi´on T~ del cable.
En el equilibrio, la suma de todas las fuerzas en la direcci´on vertical debe ser el vector nulo. Por tanto, E − P + T = 0. (P3.1)
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20 Est´atica de fluidos
PROBLEMA RESUELTO 1.
B
A
Adem´as, la suma de los momentos de todas las fuerzas en un punto tambi´en debe ser el vector nulo. Tomando momentos en el punto B obtenemos:
P
L
cos α − E
L −
l 2
cos α = 0. (P3.2)
Teniendo en cuenta el teorema de Arqu´ımedes, el m´odulo del empuje vale
E = Slρagua g, (P3.3)
Por otro lado, el m´odulo del peso vale,
P = SLρbarra g. (P3.4)
Sustituyendo en la ec. (P3.2) y sacando factor com´un cos α, [ P
L
− E
L −
l 2
)]
cos α = 0. (P3.5)
En este problema cos α 6 = 0, puesto que en el enunciado nos dicen que la barra
E
a
P
B
T
l
A
FIGURA P3a: Diagrama de fuerzas del apartado (b).
est´a parcialmente sumergida (y no totalmente sumergida y horizontal). Por tanto,
SLρbarra g
L
− Slρagua g
L −
l 2
= 0. (P3.6)
Eliminando S g, dividiendo por ρagua y multiplicando por 2,
L^2
ρbarra ρagua
− 2 lL + l^2 = 0, (P3.7)
que es una ecuaci´on de segundo grado en l. Resolviendo llegamos a que
l = L
ρbarra ρagua
. (P3.8)
Como la longitud sumergida l tiene que ser menor que la distancia total L = 1 m, la ´unica soluci´on v´alida es l = 0,6 m. (P3.9)
