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Estructuras algebraicas
Ravenna, Gabriela S.
Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata
31 de octubre de 2008
´Indice
- Introducci´on 1
- Los enteros algebraicos 3
- Integrabilidad 6
- Ideales 17
1. Introducci´on
(1.1)Definici´on: Un anillo (R, +, ·) es un conjunto R dotado con dos operaciones binarias + : R × R → R (adici´on) y · : R × R → R (multipli- caci´on) satisfaciendo las siguientes propiedades (a) (R, +) es un grupo abeliano. Escribiremos el elemento identidad como 0. (b)a · (b · c) = (a · b) · c (· es asociativo) (c)a · (b + c) = a · b + a · c y (b + c) · a = b · a + c · a (· es distributivo a derecha y a izquierda respecto de la suma).
Si a 6 = 0 y b 6 = 0 son elementos de R tal que ab = 0 entonces a y b son divisores del cero del anillo R. Si R tiene unidad, un elemento a ∈ R es inversible si a tiene inverso multiplicativo, esto es, existe b ∈ R con ab = ba = 1. R∗^ denota el conjunto de todos los inversibles de R. R∗^ es un grupo, llamado el grupo de inversibles de R.
(1.2)Definici´on: (1) Un anillo R es un dominio integral si es un anillo conmutativo con unidad tal que R no tiene divisores del cero. (2) Un anillo R con identidad es un anillo divisi´on si R∗^ = R \ { 0 }, i.e., todo elemento no nulo de R tiene inverso multiplicativo. (3) Un cuerpo es un anillo conmutativo con divisi´on.
(1.3)Definici´on: Sea R un anillo y sea I ⊆ R. Diremos que I es un ideal de R si y solo si (1) I es un subgrupo aditivo de R, (2) rI ⊆ I para todo r ∈ R, y (3) Ir ⊆ I para todo r ∈ R.
(1.4)Definici´on: Un ideal M en un anillo R es llamado maximal si m 6 = R y M es tal que si I es un ideal con M ⊆ I ⊆ R entonces I = M o I = R.
(1.5)Teorema: Sea R un anillo con identidad y sea I 6 = R un ideal de R. Entonces existe un ideal maximal de R conteniendo a I.
(1.6)Corolario: En un anillo con unidad siempre hay ideales maximales.
(1.7)Teorema: Sea R un anillo conmutativo con unidad. Entonces un ideal M de R es maximal si y solo si R/M es un cuerpo.
(1.8)Definici´on: Un ideal P en un anillo conmutativo se dice primo si P 6 = R y P es tal que si ab ∈ P entonces a ∈ P o b ∈ P. Un elemento p ∈ R es primo si el ideal Rp = 〈p〉 es un ideal primo.
(1.9)Definici´on: Sea R un anillo. Diremos que R satisface la condici´on de cadena ascendiente sobre ideales si para cada cadena
I 1 ⊆ I 2 ⊆ I 3 ⊆ ...
de ideales de R existe n tal que Ik = In para todo k ≥ n, i.e., la cadena es eventualmente constante. Un anillo que satisface la condici´on de cadena ascendiente se dice Noetheriano.
(1.10)Definici´on: Un dominio integral R es un dominio Euclideano si existe una funci´on v : R \ { 0 } → Z+^ = N ∪ { 0 } tal que (1) para todo a, b ∈ R \ { 0 }, v(a) ≤ v(ab); y (2) dados a, b ∈ R con a 6 = 0, existen q, r ∈ R con b = aq + r tal que r = 0 o v(r) < v(a).
Basados en este resultado acerca del anillo Z[i], el teorema (2.1) sigue de este modo: es suficiente mostrar que un n´umero primo p ≡ 1 mod 4 de Z no sigue siendo un elemento primo en el anillo Z[i]. De hecho, si este resultado es probado, entonces existe una descomposici´on de p
p = α.β
en dos no inversibles α, β de Z[i]. La norma de z = x + iy est´a definida por
N (x + iy) = (x + iy)(x − iy) = x^2 + y^2 ,
i.e., por N (z) = |z|^2. Esto es multiplicativo, entonces tenemos
p^2 = N (α).N (β).
Como α y β son no inversibles, se sigue que N (α), N (β) 6 = 1, y adem´as p = N (α) = a^2 + b^2 , donde consideramos α = a + bi. Finalmente, en orden de probar que un primo de la forma p = 1 + 4n no puede ser primo de Z[i], notamos que la congruencia
− 1 ≡ x^2 mod p
admite una soluci´on, llamada x = (2n)!. De hecho, como − 1 ≡ (p − 1)! mod p por el Teorema de Wilson, uno tiene
− 1 ≡ (p − 1)! = [1, 2 ...(2n)][(p − 1)(p − 2)...(p − 2 n)] ≡ [(2n)!][(−1)^2 n(2n)!] = [(2n)!]^2 mod p
Entonces tenemos que p|(x^2 + 1) = (x + i)(x − i). Pero como xp ± (^) pi 6 ∈ Z[i], p no divide ningunos de los factores x + i, x − i, y no es entonces un primo del anillo factorial Z[i].
Cuando desarrolamos la teor´ıa de divisibilidad en un anillo hay dos prob- lemas b´asicos prominentes: por un lado, el de determinar los inversibles del anillo en cuesti´on; por otro lado, sus elementos primos. La respuesta al primer problema en el presente caso es sencilla. Un n´umero α = a + bi ∈ Z[i] es inversible si y solo si su norma es 1:
N (α) := (a + ib)(a − ib) = a^2 + b^2 = 1
i.e., si a^2 = 0, b^2 = 1 ´o a^2 = 1, b^2 = 0. As´ı obtenemos la siguiente proposici´on.
(2.3) Proposici´on: El grupo de los inversibles del anillo Z[i] consiste de las ra´ıces cuartas de la unidad,
Z[i]∗^ = { 1 , − 1 , i, −i}
En orden de responder la cuesti´on de los elementos primos, i.e., irre- ducibles elementos del anillo Z[i], primero recordemos que dos elementos α, β en un anillos son llamados asociados, simb´olicamente α ∼ β, si difieren so- lamente por un factor inversible, y si todo elemento asociado a un elemento irreducible π es tambi´en irreducible. Usando el teorema (2.1) obtenemos la siguiente lista de todos los n´umeros primos de Z[i].
(2.4) Teorema: Los elementos primos de Z[i], y elementos asociados, est´an dados como sigue:
(1) π = 1 + i, (2) π = a + bi, con a^2 + b^2 = p, p ≡ 1 mod 4 , a > |b| > 0 , (3) π = p, p ≡ 3 mod 4
Aqu´ı p denota un n´umero primo de Z.
Dem. Los n´umeros como en (1) o (2) son primos porque una descom- posici´on π = α.β ∈ Z[i] implica una ecuaci´on
p = N (π) = N (α).N (β),
con alg´un n´umero primo p. Por lo tanto, N (α) = 1 o N (β) = 1, entonces α o β es inversible. Los n´umeros π = p, donde p ≡ 3 mod 4, son primos en Z[i], porque una descomposici´on p = α.β donde α, β no son inversibles, implicar´ıa que p^2 = N (α).N (β), entonces p = N (α) = N (a + bi) = a^2 + b^2 , que de acuerdo con el teorema (1.1) tendr´ıamos que p ≡ 1 mod 4. Dicho esto, debemos chequear que dado un elemento primo arbitrario π de Z[i] est´a asociado a alguno de los de la lista. Primero que nada, la descomposici´on
N (π) = π.π = p 1 ...pr,
en primos pi, muestra que π|p para alg´un p = pi. Esto es que N (π)|N (p) = p^2 , entonces o N (π) = p o N (π) = p^2. En el caso de que N (π) = p tenemos, π = a+bi con a^2 +b^2 = p, entonces π es del tipo (2); o, si p = 2, est´a asociado a 1 + i. En el caso de que N (π) = p^2 , entonces π esta asociado a p pues p/π es un entero con norma uno y entonces es inversible. Adem´as, p ≡ 3 mod 4 y por (1.1) p = a^2 + b^2 = (a + bi)(a − bi) que no puede ser primo. Esto completa la demostraci´on.
es llamado integral, si es un cero de un polinomio m´onico f (x) ∈ Z[x]. Esta´ noci´on de integrabilidad se aplica, no solo en n´umeros algebraicos si no que ocurre en diferentes contextos y por lo tanto, debe ser tratado en forma general. En lo que sigue, los anillos siempre ser´an entendidos como anillos conmu- tativos con unidad.
(3.1)Definici´on: Sea A ⊆ B una extensi´on de anillos. Un elemento b ∈ B es llamado integral sobre A, si satisface una ecuaci´on m´onica
xn^ + a 1 xn−^1 + ... + an = 0, n ≥ 1 ,
con coeficientes ai ∈ A. El anillo B es llamado integral sobre A si todo elemento b ∈ B es integral sobre A.
Es deseable, pero no inmediatamente obvio que la suma y el producto de dos elementos que son integrales sobre A son integrales. Esto ser´a una consecuencia de la siguiente abstracci´on y reinterpretaci´on de la noci´on de integrabilidad.
(3.2)Proposici´on: Finitos elementos b 1 , b 2 , ..., bn ∈ B son todos inte- grables sobre A si y solo si el anillo A[b 1 , ..., bn] visto como un A-m´odulo es finitamente generado.
Para probar esto usaremos el siguiente resultado de ´algebra lineal.
(3.3)Proposici´on(Expansi´on fila-columna): Sea A = (aij ) una ma- triz cuadrada de r ×r con entradas en un anillo arbitrario, y sea A∗^ = (a∗ ij ) la matriz adjunta, i.e., a∗ ij = (−1)i+j^ det(Aij ), donde la matriz Aij es obtenida por a borrando la i-´esima columna y la j-´esima columna. Entonces uno tiene
AA∗^ = A∗A = det(A)E,
donde E denota la matriz unidad de rango r. Para alg´un vector x = (x 1 , ..., xr), se tiene la siguiente implicaci´on
Ax = 0 =⇒ (detA)x = 0
Dem. de (3.2): Sea b ∈ B un integral sobre A y f (x) ∈ A[x] un poli- nomio m´onico de grado n ≥ 1 tal que f (b) = 0. Para un polinomio arbitrario g(x) ∈ A[x] podemos escribir
g(x) = q(x)f (x) + r(x),
con q(x), r(x) ∈ A[x] y gr(r(x)) < n, entonces tenemos
g(b) = r(b) = a 0 + a 1 b + ... + an− 1 bn−^1
Entonces A[b] es generado como A-m´odulo por 1, b, ..., bn−^1. M´as generaleralmente, si b 1 , ..., bn ∈ B son integrales sobre A, entonces el hecho de que A[b 1 , ..., bn− 1 ] sea de tipo finito sobre A sale por inducci´on sobre n. De hecho, como bn es integral sobre R = A[b 1 , ..., bn−1], lo que hemos mostrado antes implica que R[bn] = A[b 1 , ..., bn− 1 ] est´a finitamente generado sobre R, y por lo tanto, tambi´en sobre A, si asumimos por inducci´on que R es un A-m´odulo de tipo finito. Inversamente, supongamos que el A-m´odulo A[b 1 , ..., bn] es finitamente generado y que w 1 , ...wr es un sistema de generadores. Entonces, para alg´un elemento b ∈ A[b 1 , ..., bn], uno tiene que
bwi =
∑^ r
j=
aij wj , i = 1, ..., r, aij ∈ A
En la proposici´on (3.3) vimos que det(bE − (aij ))wi = 0, i = 1, ..., r (aqu´ı E es la matriz unitaria de rango r), y como 1 puede ser escrito como 1 = c 1 w 1 + ... + crwr, la igualdad det(bE − (aij )) = 0 nos da una ecuaci´on m´onica para b con coeficientes en A. Esto muestra que b es tambi´en integral sobre A. De acuerdo con esta proposici´on, si b 1 , ..., bn ∈ B son integrables so- bre A, entonces tambi´en lo es cualquier elemento b de A[b 1 , ..., bn], porque A[b 1 , ..., bn, b] = A[b 1 , ..., bn] es un a-m´odulo finitamente generado. En partic- ular, dados dos elementos integrables b 1 , b 1 ∈ B, entonces b 1 + b 2 y b 1 b 2 son integrables sobre A. Al mismo tiempo obtenemos...
(3.4)Proposici´on: Sean A ⊆ B ⊆ C dos anillos extensi´on. Si C es integrable sobre B y B es integrable sobre A, entonces C es integrable sobre A. Dem. Tomamos c ∈ C, y sea cn^ + b 1 cn−^1 + ... + bn = 0 una ecuaci´on con coeficientes en B. Definimos R = A[b 1 , ..., bn]. Entonces R[c] es un R-m´odulo finitamente generado. Si B es integrable sobre A, entonces R[c] es tambi´en finitamente generado sobre A, pues R es finitamente generado sobre A. En- tonces c es integrable sobre A.
Por lo que hemos probado, el conjunto de todos los elementos
A = {b ∈ B| b integral sobre A}
en un anillo extensi´on A ⊆ B forma un anillo. ES llamado la clausura integral de A en B. A se dice que es integralmente cerrado en B si
del K-espacio vectorial L:
T rL|K (x) = T r(Tx), NL|k(x) = det(Tx)
En el polinomio caracter´ıstico
fx(t) = det(t.id − Tx) = tn^ − a 1 tn−^1 + ... + (−1)nan ∈ K[t]
de Tx, n = [L : K], reconoceremos la traza y la norma como
a 1 = T rL|K (x) y an = NL|K (x)
como Tx+y = Tx + Ty y Txy = Tx ◦ Ty, obtenemos los homomorfismos
T rL|K : L −→ K y NL|K : L∗^ −→ K∗
En el caso donde la extensi´on L|K es separable, la traza y la norma admiten the following Galois- theoteric interpretation.
(3.6)Proposici´on: Si L|K es una extensi´on separable y σ : L → K var´ıa sobre los diferentes K-embeddings de L sobre una clausura algebraica K de K, entonces tenemos:
(i) fx(t) =
σ
(t − σx),
(ii) T rL|K (x) =
σ
σx,
(iii) NL|K (x) =
σ
σx.
Dem. El polinomio caracter´ıstico fx(t) es un poder
fx(t) = px(t)d, d = [L : K(x)],
del polinomio minimal
px(t) = tm^ + c 1 tm−^1 + ... + cm, m = [K(x) : K].
De hecho, 1, x, ..., xm−^1 es una base de K(x)|K, y si α 1 , ..., αd es una base de L|K(x), entonces
α 1 , α 1 x, ..., α 1 xm−^1 , ..., αd, αdx, ...αdxm−^1
es una base de L|K. La matriz de la transformaci´on lineal Tx : y 7 → xy con respecto a las bases tiene obviamente un ´unico bloque a lo largo de la diagonal, cada uno igual a
0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 −cm −cm− 1 −cm− 2 ... −c 1
Es f´acil chequear que el polinomio caracter´ıstico es tm^ + c 1 tm−^1 + ... + cm = px(t),
entonces finalmente fx(t) = px(t)d. El conjunto HomK (L, K) de todos los K-embeddings de L es particionado por la relaci´on de equivalencia
σ ∼ τ ⇔ σx = τ x
en m clases de equivalencia de d elementos cada una. Si σ 1 , ..., σm es un sistema de representantes, entonces hallamos
px(t) =
∏^ M
i=
(t − σix),
y fx(t) =
∏m i=1(t^ −^ σix) d (^) = ∏m i=
σ∼σi (t^ −^ σx) =^
σ(t^ −^ σx). Esto prueba (i), y adem´as tambi´en prueba (ii) y (iii), despu´es de Viet`a.
(3.7)Corolario: En una torre de cuerpos de extensi´on finitos K ⊆ L ⊆ M , uno tiene
T rL|K ◦ T rM |L = T RM |K , NL|K ◦ NM |L = NM |K
Dem. Asumamos que M |K es separable. El conjunto HomK (M, K) de K-embeddings de M est´a particionado por la relaci´on
σ ∼ τ ⇔ σ|L = τ |L
en m = [L : K] clases de equivalencia. Si σ 1 , ..., σm es un sistema de representantes, entonces HomK (L, K) = {σi|L | i = 1, ..., m}, y encontramos
T rM |K (x) =
∑^ m
i=
σ∼σi
σx =
∑^ m
i=
T rσiM |σiL(σix) =
∑^ m
i=
σiT rM |L(x)
= T rL|K (T rM |L(x))
y
(x, y) = T rL|K (xy)
es una forma bilineal no degenerada sobre el K-espacio vectorial L.
Dem. Primero veremos que la forma bilineal (x, y) = T r(xy) es no de- generada. Sea θ un elemento primitivo para L|K, i.e., L = K(θ). Entonces 1 , θ, ..., θn−^1 es una base con respecto a (x, y) cuya forma est´a dada por la ma- triz M = (T rL|K (θi−^1 θj−^1 ))i,j=1,...,n. Es no degenarada porque, para θi = σiθ, tenemos
det(M ) = d(1, θ, ..., θn−^1 ) =
i y, como T rL|K (αiα) ∈ A, est´an dados como el cociente de un elemento de A por el determinante det(T rL|K (αiαj )) = d. Adem´as daj ∈ A, y esto
dα ∈ Aα 1 + ... + Aαn.
Un sistema de elementos ω 1 , ..., ωn ∈ B tal que cada b ∈ B puede ser escrito de manera ´unica como una combinaci´on lineal
b = a 1 ω 1 + ... + anωn
con coeficientes ai ∈ Ai es llamada una base integral de B sobre A (o; una A-base de B). Ya que tal base integral es automaticamente una base de L|K, su longitud n es siempre igual al grado [L : K] del cuerpo extensi´on. La existencia de una base integral significa que B es un A-m´odulo libre de rango n = [L : K]. En general, tal base integral no existe. Si, por otro lado, A es un dominio ideal principal, entonces uno tiene la siguiente proposici´on m´as general. (3.10)Proposici´on: Si L|K es separable y A es un dominio ideal prin- cipal, entonces todo B-subm´odulo 6 = 0 finitamente generado de L es un A- m´odulo libre de rango [L : K]. En particular, B admite una base integral sobre A.
Dem. Sea M 6 = 0 un B-subm´odulo finitamente generado de L y α 1 , ..., αn una base de L|K. Multiplicando por un elemento de A, podemos acomodar αi para que est´e en B. Por (3.9), tenemos entonces dB ⊆ Aα 1 + ... + Aαn, en particular, rg(B) ≤ [L : K], y como un sistema de generadores del A- m´odulo B es tambi´en un sistema de generadores del K-m´odulo L, tenemos que rg(B) = [L : K]. Sea μ 1 , ..., μr ∈ M un sistema de generadores del B- m´odulo M. Existe un a ∈ A, a 6 = 0, tal que aμi ∈ B, i = 1, ..., r tal que aM ⊆ B. Entonces
adM ⊆ dB ⊆ Aα 1 + ... + Aαn = M 0.
De acuerdo con el principal teorema sobre m´odulos finitamente generados sobre dominios ideales principales, como M 0 es un A-m´odulo libre, entonces tambi´en lo es adM , y tambi´en M. Finalmente,
[L : K] = rg(B) ≤ rg(M ) = rg(adM ) ≤ rg(M 0 ) = [L : K],
luego rg(M ) = [L : K].
Esta matriz es por s´ı misma una (n × n′)-matriz con matrices de (n × n) de entradas, de las cuales, la (l, j)-entrada es la matriz Qσ l′ω′ j donde Q = (σkωi). En otras palabras,
M =
Q 0
0 Q
Eσ′ 1 ω′ 1 ... Eσ n′′ ω′ 1 ... ... ... Eσ 1 ′ω n′′ ... Eσ n′′ ω n′′
Aqu´ı E denota la matriz unitaria de (n × n). Por cambio de ´ındices la segunda matriz puede ser transformada como luce la primera. Esto produce
∆ = det(M )^2 = det(Q)^2 n
′ det((σ′ lω j′ ))^2 n^ = dn
′ d′n.
Observaci´on: Se sigue de la prueba que la proposici´on es v´alida para arbi- trarias extensiones separables (no necesariamente Galois), si uno asume, en cambio de L ∩ L′^ = K que L y L′^ son disjuntos linealmente.
La principal aplicaci´on de nuestras consideraciones de ´algebra concern- er´an de la clausura algebraica OK ⊆ K de Z ⊆ Q en un cuerpo num´erico algebraico K. Por proposici´on (2.10), todo OK -subm´odulo finitamente gen- erado a de K admite una Z-base α 1 , ..., αn,
a = Zα 1 + ... + Zαn.
El discriminante
d(α 1 , ..., αn) = det((σiαj ))^2
es independiente de la elecci´on de la Z-base; si α′ 1 , ..., α′ n es otra base, entonces la matriz cambio de base T = (aij ), α′ i =
j aij^ αj^ , como su inversa, tiene entradas algebraicas. Adem´as tiene determinante ±1, entonces
d(α′ 1 , ..., n′) = det(T )^2 d(α 1 , ..., αn) = d(α 1 , ..., αn)
Podemos escribir tambi´en
d(a) = d(α 1 , ..., αn).
En el caso especial de una base algebraica ω 1 , ..., ωn de OK obtenemos el discriminante del n´umero algebraico cuerpo K,
dK = d(OK ) = d(ω 1 , ..., ωn).
En general, uno tiene
(3.12)Proposici´on: Si a ⊆ a′^ son dos OK -subm´odulos finitamente gen- erados no nulos de K, entonces el indice (a′^ : a) es finito y satisface
d(a) = (a′^ : a)^2 d(a′).
Todo lo que tenemos que mostrar es que el ´ındice (a′^ : a) es igual al valor absoluto del determinante de la matriz cambio de base pasando de una Z- base de a a una Z-base de a′. Esta prueba es parte de la bien conocida teor´ıa de los Z-m´odulos finitamente generados.
- Ideales
Sea una generalizaci´on del anillo Z ⊆ Q, el anillo OK de enteros de un cuerpo numerico algebraico K es el centro de nuestra consideraci´on. Como en Z, todo α 6 = 0 no inversible puede ser factoreado en OK en un producto de elementos irreducibles. Si α no es irreducible, entonces puede ser escrito como un producto de dos no inversibles α = γβ. Entonces por lo visto en el cap´ıtulo 2, uno tiene
1 < |NK|Q(β)| < |NK|Q(α)|, 1 < |NK|Q(γ)| < |NK|Q(α)|
Ejemplo: El anillo de algebraicos del cuerpo K = Q(
−5), OK = Z +
Z
−5. En este anillo, el entero racional 21 puede ser descompuesto de dos maneras,
21 = 3 · 7 = (1 + 2
Todos estos factores son irreducibles en OK. Si uno tuviera 3 = αβ, con α, β no inversibles, entonces 9 = NK|Q(α)NK|Q(β) implicar´ıa NK|Q(α) = ±3. Pero la ecuaci´on
NK|Q(x + y
−5) = x^2 + 5y^2 = ± 3
no tiene soluci´on en Z. De la misma manera podemos ver que 7, 1 + 2
y 1 − 2
−5 son irreducibles. Como las fracciones
1 ± 2
no pertenecen a OK , los n´umeros 3 y 7 son no asociados a 1 + 2
−5 o 1 − 2
−5. Las dos factorizaciones primas de 21 son esencialmente diferentes.
Dem. OK es noetheriano porque todo ideal a es un Z-m´odulo finitamente generado por (3.10), y adem´as, a priori, un OK -m´odulo finitamente generado. Por lo visto en el cap´ıtulo 2, ϑK es tambi´en integralmente cerrado, siendo la clausura integral de Z en K. Entonces nos queda por mostrar que cada ideal primo p 6 = 0 es maximal. Ahora, p ∩ Z es un primo ideal no nulo (p) en Z: que es primo es claro, y si y ∈ p, y 6 = 0, y
yn^ + a 1 yn−^1 + ... + an = 0
es una ecuaci´on para y con ai ∈ Z, an 6 = 0, entonces an ∈ p ∩ Z. El dominio integral O = OK /p surge desde k = Z/pZ por elementos algebraicos contiguos y es entonces un cuerpo (recordar el hecho de que k[α] = k(α), si α es algebraico). Entonces p es un maximal ideal.
(4.2) Definici´on. Un noetheriano, dominio integralmente cerrado en el cual todo ideal primo no nulo es maximal es llamado un dominio Dedekind.
Como los anillos de la forma OK pueden ser vistos como generalizaciones del anillo Z, los dominios Dedekind pueden ser vistos como generalizaciones de los dominios ideales principales. En efecto, si A es un dominio ideal princi- pal con cuerpo de fracciones K, y L|K es un campo extensi´on finita, entonces la clausura integral B de A en L no es, en general, un dominio ideal principal, pero siempre es un dominio Dedekind. En vez del anillo OK , consideraremos ahora un dominio Dedekind O arbitrario, y denotaremos por K al cuerpo de escalares de O. Dados dos ideales a y b de O (o m´as generalmente, de un anillo arbitrario), la relaci´on de divisibilidad a|b est´a definida por b ⊆ a, y la suma de ideales por
a + b = {a + b | a ∈ a, b ∈ b}
Este es el ideal m´as peque˜no que contiene tanto a a como a b, en otras palabras, es el m´aximo com´un divisor de a y b. Por lo mismo, tomando la intersecci´on a ∩ b conseguimos el m´ınimo com´un m´ultiplo de a y b. Definimos el producto de a y b por
ab = {
i
aibi | ai ∈ a, bi ∈ b}
(4.3)Teorema: Todo ideal a de O diferente de (0) y (1) admiten una factorizaci´on
a = p 1 ...pr
en ideales primos no nulos pi de O que es ´unica excepto por el orden de los factores. Este teorema esta perfectamente en linea con la invenci´on de los ”n´umero ide- ales”. Sin embargo, el hecho de que funciona es remarcable porque su prueba est´a lejos de ser sencilla. Para su demostraci´on enunciaremos dos lemas.
(4.4)Lema: Para todo ideal a de O existen ideales primos no nulos p 1 , p 2 , ..., pr tal que
a ⊇ p 1 p 2 ...pr.
Dem. Supongamos que el conjunto M de cuyos ideales que no cumplen esta condici´on es no vac´ıo. Como O es noetheriano, toda cadena ascendiente de ideales se detiene. Entonces M es inductivamente ordenado con respec- to a la inclusi´on y entonces admite un elemento a. Este no puede ser un ideal primo, entonces existen elementos b 1 , b 2 ∈ O tal que b 1 b 2 ∈ a, pero b 1 , b 2 6 ∈ a. Tomamos ahora a 1 = (b 1 )+a, a 2 = (b 2 )+a. Entonces a $ a 1 , a $ a 2 y a 1 a 2 ⊆ a. Por la maximalidad de a, a 1 y a 2 contienen un producto de ide- ales primos, y el producto de estos productos est´a contenido en a, ABSURDO.
(4.5)Lema: Sea p un ideal primo de O y definimos
p−^1 = {x ∈ K | xp ⊆ O}
Entonces uno tiene ap−^1 := {
i aixi, xi^ ∈^ p − (^1) } 6 = a, para todo ideal
a 6 = 0.
Dem. Sea a ∈ p, a 6 = 0 y p 1 p 2 ...pr ⊆ (a) ⊆ p, con r tan chico como sea posible. Entonces uno de los pi, digamos p 1 , est´a contenido en p, y en- tonces pi = p porque p 1 es un ideal maximal. (En efecto, si ninguno de los pi est´a contenido en p, entonces para todo i existe ai ∈ pi\p tal que a 1 ...ar ∈ p. Pero p es primo.) Como p 2 ...pr * (a), existe b ∈ p 2 ...pr tal que b 6 ∈ aO, i.e., a−^1 b 6 ∈ O. Por otro lado, tenemos que bp ⊆ (a), i.e., a−^1 b ∈ p−^1. Se sigue que p−^1 6 ∈ O. Ahora sea a 6 = 0 un ideal de O y α 1 , ..., αn un sistema de generadores. Y asumamos que ap−^1 = a. Entonces para todo x ∈ p−^1 ,
xαi =
j
aij αj , aij ∈ O.
