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Estructuras Algebraicas Finitas
Capítulo 5
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5.1 Introducción Las estructuras algebraicas constituyen una de las herramientas básicas para tratar la mayor parte de los problemas asociados a la matemática discreta. Estudiaremos en primer lugar, las propiedades compartidas por ciertos sistemas matemá- ticos particulares formados por conjuntos de funciones, o de matrices, o bien conjuntos numéricos, cuando se asocia a cada uno de ellos, uno o más operadores binarios. Tal es el caso de los enteros, desarrollados en el capítulo 3, a los que asociamos naturalmente la adición y la multiplicación habituales. La aritmética computacional ofrece numerosos ejem- plos de operaciones binarias sobre conjuntos finitos. Cada computador tiene una selección de operaciones aritméticas sobres números enteros que incluyen sumas, diferencias, multi- plicaciones y divisiones. Debido a la estructura del computador, solo un subconjunto finito de enteros puede utilizarse, por lo que en la práctica las operaciones aritméticas son modu- lares. Se pueden describir otros tipos de operaciones binarias diferentes. El hecho de que una señal pueda tomar valores sobre el conjunto Z 2 = {0,1} hace que cualquier dispositivo con dos entradas y una salida representa una operación binaria en Z 2. Estas operaciones pueden describirse tabulando los valores de los pares asociados a un dominio a través de una tabla de composición de la operación. Generalizaremos estos ejemplos particulares para identificar la estructura subyacente común a ellos estudiando los grupos como modelo más completo de estructura definida a partir de una operación, los anillos, los cuerpos y las álgebras de Boole como estructuras algebraicas con dos operaciones. Además de su interés intrínseco como estructuras discre- tas, los grupos, anillos y cuerpos ofrecen una variedad considerable de aplicaciones. Al analizar la estructura de grupo, trabajaremos los conceptos de subgrupos, morfismos y congruencias que son necesarios para iniciarse en el estudio de la codificación y decodifica- ción de mensajes que presentaremos como lectura complementaria. Muchos conceptos, definiciones o términos tales como álgebras de Boole , función boo- leana , expresión booleana , honran a George Boole (1815-1864), eximio matemático del siglo XIX, que en su monumental obra de 1854 se dedicó a formalizar y mecanizar el proceso del pensamiento lógico. Su contribución consistió en el desarrollo de una teoría lógica que utili- zaba símbolos en lugar de palabras. Su obra “Investigation in the Laws of Thought” pasó casi inadvertida hasta que Bertrand Russell, para quien la matemática era casi lo mismo que la lógica formal, dijo “la matemática pura fue descubierta por Boole”.
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Casi un siglo después de Boole, en 1938, C.E. Shannon, padre de la teoría de la codifica- ción, observó que el álgebra booleana se podía aplicar en el análisis de circuitos eléctricos y diseñó el álgebra de las funciones de conmutación. Como consecuencia de esto, el álgebra booleana se convirtió en un medio indispensable para el análisis y el diseño de computado- ras electrónicas. En una computadora digital hay sólo dos posibilidades, usar el 0 o bien el 1 para repre- sentar el objeto más pequeño e indivisible. Todos los programas y datos se reducen final- mente a combinaciones de bits. A través de los años se han utilizado una gran variedad de recursos para almacenar bits. Los circuitos electrónicos permiten que estos recursos de almacenamiento se comuniquen entre sí. Distintos tipos de circuitos, tales como los combi- natorios y los secuenciales pueden ser abordados con detalles en otros cursos de Matemá- tica Discreta. Nosotros estudiaremos el soporte lógico de tales circuitos. Pondremos especial énfasis en las funciones booleanas y en sus formas normales de re- presentación. Éstas nos permitirán escribir a las funciones en forma compacta, por medio de etiquetas en binario. El proceso de minimización muestra la representación de una función booleana como suma minimal de productos o producto minimal de sumas.
5.2 Leyes de composición interna Pensemos en los números naturales. Primero hemos aprendido a contar y luego hemos operado con ellos. La primera operación que realizamos fue la suma. Dados dos naturales, al sumarlos obtenemos un nuevo elemento del mismo conjunto. En símbolos, esto se expre- sa diciendo: m N, n N, m + n N. Podemos pensar por consiguiente que la adición es una descripción abreviada de una función N x N o N, que a cada elemento (m, n) del dominio N x N, le hace corresponder una imagen que se indica por m + n, donde m + n N. Lo mismo sucede con la multiplicación de naturales: m N, n N, m x n N. Igualmente puede mirarse como una función de N x N o N, donde la imagen de (m, n) N x N se indica por m x n y m x n N. Ambas son operaciones binarias porque se operan dos elementos de un mismo conjunto y el resultado está en el mismo conjunto. Tam- bién se suele decir que el conjunto de los números naturales es cerrado para la adición y para la multiplicación. No sucede lo mismo con la división en los naturales, ya que por ejemplo, tomando 1 N y 2 N resulta 1/2 = 0,5 que no es un número natural. El conjunto de los números naturales no es cerrado para la división. Esta operación no es binaria en el conjunto de los números naturales porque la división no da siempre otro natural. Formalizaremos estas ideas en la siguiente definición.
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Como caso particular, tomamos el conjunto A = {1, 2, 3} y F(A) como el conjunto de to- das las funciones biyectivas de A en A, esto es , F(A) = {f: A o A / f es función biyectiva}. Estas funciones son todas las permutaciones de los tres elementos de A y podemos descri- birlas sólo por sus imágenes, ya que asumimos que el dominio es ordenadamente el conjun- to {1, 2, 3}. Así f 1 = {1, 2, 3} significa que f 1 (1) = 1; f 1 (2) = 2 y f 1 (3) = 3; si definimos la fun- ción f 2 = {1, 3, 2}, esta notación nos indica que f 2 (1) = 1, f 2 (2) = 3 y f 2 (3) = 2; continuando con esta tarea f 3 = {2, 1, 3}, f 4 = {2, 3, 1}, f 5 = {3, 1, 2} y f 6 = {3, 2, 1}. Luego F(A) = {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 }. Teniendo en cuenta que la composición de funciones se define aquí explícitamente para cada elemento, mostramos una tabla con todas las composiciones posibles entre ellas, de modo que en la intersección de la fila i con la columna j, se encuentra la función compuesta fj o fi, que se lee fi compuesta con fj, es decir primero se aplica la función fi y luego la fj. Por ejemplo: (f 5 o f 2 ) (1) = f 5 (f 2 (1)) = f 5 (1) = 3, (f 5 o f 2 ) (2) = f 5 (f 2 (2)) = f 5 (3) = 2, (f 5 o f 2 ) (3) = f 5 (f 2 (3)) = f 5 (2) = 1. La función (f 5 o f 2 ) se describe por {3, 2, 1} y coincide con f 6. Luego, en la intersección de la fila 2 con la columna 5 colocamos f 6 :
Tabla 5. o f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 2 f 2 f 1 f 4 f 3 f 6 f 5 f 3 f 3 f 5 f 1 f 6 f 2 f 4 f 4 f 4 f 6 f 2 f 5 f 1 f 3 f 5 f 5 f 3 f 6 f 1 f 4 f 2 f 6 f 6 f 4 f 5 f 2 f 3 f 1
Otro ejemplo lo tenemos en R^2 , cuando definimos las funciones biyectivas:
e: R^2 o R^2 / e (x, y) (x, y) rotación de 360º r: R^2 o R^2 / r (x, y) (x, y) rotación de 180º h: R^2 o R^2 / h (x, y) (x, y) reflexión respecto del eje x v: R^2 o R^2 / v (x, y) (x, y) reflexión respecto del eje y
Si K 4 {e, r, h, v}, construimos la siguiente tabla que nos da las imágenes de todos los pares ordenados de K 4 x K 4 por la composición de funciones:
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Tabla 5. o e r h v e e r h v r r e v h h h v e r v v h r e Si calculamos: (h o r) (x, y) = h (r (x, y) = h (x, y) = (x, y) = v (x, y). Luego h o r = v, función que es- cribimos en la fila 2 y columna 3 de la matriz de imágenes. (r o v) (x, y) = r (v (x, y) = r (x, y) = (x, y) = h (x, y). Luego r o v = h, resultado que es- cribimos en la posición 4, 2 de la matriz de imágenes. La composición de funciones es una ley de composición interna en K4.
Veamos otro ejemplo. En R^2 se definen las siguientes funciones biyectivas: e(x, y) = (x, y) r 1 (x, y) = (y, x) r 2 (x, y) = (x, y) r 3 (x, y) = (y, x) v(x, y) = (x, y) h(x, y) = (x, y) d 1 (x, y) = (y, x) d 2 (x, y) = (y, x)
Sea K 8 = {e, r 1 , r 2 , r 3 , v, h, d 1 , d 2 }. Construyamos la tabla de la composición de estas fun- ciones biyectivas. Recordamos que (f o e)(x, y) = f(x, y), f K 8 y que revisando previamen- te algunos cálculos tenemos que: (r 3 o r 2 ) (x, y) = r 3 (r 2 (x, y)) = r 3 (x, y) = (y, x) = r 1 (x, y). (r 3 o v) (x, y) = r 3 (v (x, y)) = r 3 (x, y) = (y, x) = d 1 (x, y). (r 2 o h) (x, y) = r 2 (h (x, y)) = r 2 (x, y) = (x, y) = v (x, y).
Tabla 5. o e r 1 r 2 r 3 v h d 1 d 2 e e r 1 r 2 r 3 v h d 1 d 2 r 1 r 1 r 2 r 3 e d 1 d 2 h v r 2 r 2 r 3 e r 1 h v d 2 d 1 r 3 r 3 e r 1 r 2 d 2 d 1 v h v v d 2 h d 1 e r 2 r 3 r 1 h h d 1 v d 2 r 2 e r 1 r 3 d 1 d 1 v d 2 h r 1 r 3 e r 2 d 2 d 2 h d 1 v r 3 r 1 r 2 e
Ejemplo 3 Para un conjunto finito A = {a 1 , a 2 , ..., ai, ..., aj, ..., an} definimos las leyes de composición interna, en general, mediante cuadros de doble entrada o matrices, colocando en la inter- sección de la fila i con la columna j , el elemento aij que definimos como aij = ai x aj.
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Definición 5. Sean A z y x: A u A o A una función. Decimos que:
- x es asociativa a, b, c A, (a x b) x c = a x (b x c).
- x es conmutativa a, b A, a x b = b x a.
- A tiene elemento neutro respecto de x e A / a x e = e x a = a a A. Sea e A, el elemento neutro para x. Un elemento a A es inversible respecto de x si y sólo si a’ A, llamado elemento inverso de a / a x a’ = a’ x a = e. Entonces,
- En A se verifica que todo elemento tiene inverso para x si y sólo si todos los elementos de A son inversibles. En símbolos: a A, a’ A / a x a’ = a’ x a = e.
En numerosos ejemplos la operación “x” hace referencia a la operación aditiva “+”. Para estos casos se utiliza la designación de elemento opuesto en lugar de elemento inverso.
Un elemento a A es regular respecto de x cuando se verifican simultáneamente:
® (^) x x
x x b a=c a b=c (2)
a b=a c b=c (1)
Cuando sea preciso distinguiremos la regularidad izquierda (1) de la regularidad derecha (2).
- x es cancelativa todos los elemento de A son regulares respecto de x.
Veamos ahora que propiedades tienen algunas leyes de composición interna que hemos visto en los ejemplos anteriores:
Ejemplo 5 Sea A = P(X), donde X denota el conjunto universal y tomemos la unión como ley de composición interna en P(X). Sabemos por la teoría de conjuntos, que la unión es asociativa, conmutativa y que P(X) tiene elemento neutro, que es el conjunto vacío. Los elementos de P(X) no tienen inverso porque no es posible obtener el conjunto vacío como unión de otros dos conjuntos, excepto si se trata del propio vacío. Continuemos en P(X) con las propiedades de la intersección, diferencia y diferencia simé- trica. En la intersección el elemento neutro es e = X pero los elementos de P(X) no tienen inver- so porque no existe un conjunto que al intersecarlo con otro, pueda dar el conjunto universal X, excepto el mismo conjunto universal. La intersección satisface además, las propiedades asociativa y conmutativa. En la diferencia no existe el elemento neutro ni el inverso. No cumple las propiedades asociativa y conmutativa. En la diferencia simétrica el elemento neutro es e = y cada elemento tiene como inver- so al mismo conjunto. Además, cumple las propiedades asociativa y conmutativa. Es impor-
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tante recordar las propiedades de P(X) respecto de esta última operación, la diferencia simé- trica, porque tiene la estructura de grupo abeliano, concepto que veremos más adelante.
Ejemplo 6 Consideremos ahora en F(A) la composición de funciones como en el ejemplo 2. Sabe- mos que la composición es asociativa, pero no es conmutativa. En la tabla 5.1 notamos que f 6 o f 5 = f 2 y f 5 o f 6 = f 3. Además existe la función llamada identidad que asigna a cada ele- mento el mismo elemento como imagen, y que se simboliza: id : A o A / id (x) = x, x A. La función “id” es biyectiva y además id o f = f o id = f, f F(A). Por esta razón la fun- ción identidad es el elemento neutro de la composición de funciones. En la tabla 5.1 la iden- tidad es f 1. En las tablas 5.2 y 5.3, la identidad es e(x, y). También sabemos que toda función biyectiva admite una función inversa que también es biyectiva. En la tabla 5.1), f 2 ^1 = f 2 , f 3 ^1 = f 3 y f 4 ^1 = f 5.
Ejemplo 7 Volvamos ahora al ejemplo 3 a). Si A = ^0, 1`, la ley x definida en la primera tabla es: Asociativa, lo que se comprueba haciendo los cálculos para todos los elementos de A tomados de a tres. Conmutativa ya que los elementos que se encuentran en posiciones simétricas respecto de la diagonal principal, son iguales. Tiene neutro e = 0 que se detecta observando cuál es la fila y la columna de la matriz que repite los elementos de A, en el mismo orden que tienen en la fila y en la columna que sirven de encabezamiento de la tabla. Cada elemento es su propio inverso, lo que se comprueba observando la presencia del elemento neutro en la diagonal principal.
En el caso más general, la presencia del elemento neutro en la diagonal principal o en posiciones simétricas respecto de ella garantiza la existencia de inverso.
Propiedad 5. Sea A z y x: A u A o A una función. i) Si existe neutro en A respecto de x, éste es único. ii) Sea x: A u A o A asociativa y e A, el elemento neutro. Si a A posee inverso, este in- verso es único.
Demostración de i) : Supongamos que existen dos neutros e 1 y e 2 en A respecto de x. Debemos probar que son iguales. Para ello observemos que, e 2 = e 2 x e 1 porque e 1 es elemento neutro. Además e 2 x e 1 = e 1 x e 2 = e 1 porque e 2 es elemento neutro. Por lo tanto, e 1 = e 2.
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Actividad 1 Problema Nº1 : Sea A = {0, 1}. 1.1) Realiza la tabla para cada una de las 16 operaciones binarias que pueden definirse sobre A. 1.2) ¿Cuáles de las operaciones definidas en 1.1) son conmutativas? 1.3) ¿Cuáles tienen elemento neutro? 1.4) Identifica, entre las leyes dadas en 1.1), aquellas que sean idempotentes.
Problema Nº2 : Sea el conjunto A = {0, 1, 2}. 2.1) ¿Cuántas operaciones binarias se pueden definir en A? 2.2) Define cuatro leyes de composición interna en A = {0, 1, 2}. 2.3) Sea A un conjunto con n elementos: a) ¿Cuántas operaciones binarias pueden definirse en A? b) ¿Cuántas operaciones binarias conmutativas pueden definirse en A?
Problema Nº3 : Sea A = {a, b, c, d}. Dadas las leyes de composición interna definidas por las siguientes tablas: a b c d o a b c d a a c b d a a b c d b d a b c b b a d c c c d a a c c d a b d d b a c d d c b a 3.1) Calcula c d, d c, a (b c) y (a b) c. 3.2) Repite las operaciones para la ley de composición interna o. 3.3) Para cada operación responde: ¿Es conmutativa? ¿T elemento neutro?
Problema Nº4 : La siguiente tabla define una ley de composición interna asociativa en el conjunto A = {s, t, x, y}:
- s t x y s y x s t t x y t s x s t x y y t s y x 4.1) ¿Tiene elemento neutro? 4.2) ¿Es conmutativa? 4.3) ¿Cuáles son los elementos que admiten opuesto en A?
Problema Nº5 : Comprueba si las siguientes leyes de composición interna definidas en el conjunto de los números enteros Z, son conmutativas, asociativas, tienen elemento neutro, y
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cuáles de sus elementos admiten inverso. 5.1) a b = a + b a b 5.3) a b = a + 1 5.2) a b = a^2 b^2 5.4) a b = 3 (a + b)
Problema Nº6 : Sea Q el conjunto de los números racionales y sea la operación definida en Q por a b = a + b – a b. 6.1) Calcula 3 4, 2 (–5) y 7 1/ 6.2) ¿Es asociativa? 6.3) ¿Es conmutativa? 6.4) Encuentra el elemento neutro. 6.5) ¿Qué elementos tienen inversos?
Problema Nº7 : Sea S z con la operación a b = a. 7.1) ¿Es asociativa? 7.2) ¿Es conmutativa? 7.3) ¿Es cancelativa por derecha? ¿Por izquierda?
Problema Nº8 : Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 8.1) Si es cualquier lci en un conjunto S, entonces a S, a a = a. 8.2) Si es cualquier lci conmutativa en un conjunto S entonces a, b, c S, a (b c) = (b c) a. 8.3) Una lci en un conjunto S asigna al menos un elemento de S a todo par ordenado de elementos de S. 8.4) Una lci en un conjunto S asigna a lo sumo un elemento de S a todo par ordenado de elementos de S.
5.4 Estructuras algebraicas En su forma más simple, una estructura es un objeto matemático constituido por un con- junto no vacío y una ley de composición interna definida en él. Según sean las distintas pro- piedades que verifique la ley de composición interna, tendremos formas más complejas correspondientes a distintas estructuras algebraicas.
Definición 5. Se llama monoide a todo par (M, x) formado por un conjunto no vacío M y una ley de composición interna x definida en M. Si no da lugar a confusión nos referiremos al monoide (M, x) simplemente por M, haciendo abuso del lenguaje matemático.
Son ejemplos de monoides: i) (N, ), (N, · ) donde N es el conjunto de los números naturales, + es la operación suma
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Como caso particular, para x ¦* definimos la concatenación de x consigo mismo como: x^0 O, x^1 x, x^2 x x, y en general xn+1^ = x xn, n Z
. Sean ¦ = {0, 1}, x = 01 e y = 1101 entonces xy 011101, x^2 = 0101, y^0 = O resultando todos ellos elementos de ¦. El par (¦, concatenación) se denomina semigrupo libre generado por ¦. La concatenación cumple con la propiedad asociativa, no es conmutativa (por ejemplo, xy 011101 mientras que yx = 110101) y tiene como elemento neutro a O, la cadena vacía.
Muchos de los ejemplos a los que nos referiremos están basados en conjuntos finitos. La definición que damos a continuación es extensiva a todas las estructuras algebraicas que vayamos mencionando, definidas en conjuntos finitos.
Definición 5. Decimos que un monoide (M, x) es finito si M es un conjunto finito. Análogamente, el se- migrupo (S, x) es finito si S lo es.
Ejemplo 10 Si A = ^0, 1`, el par (A, x) es un monoide finito para cada x definida a continuación: x 0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 ¿Existe algún par (A, x) que sea un semigrupo finito? La segunda tabla puede pensarse como el operador binario producto restringido a los elementos 0 y 1. Por consiguiente es asociativa y el par (A, x) es un semigrupo finito. (¦, concatenación) definido como el semigrupo libre generado por ¦ no es finito porque ¦ no lo es, a pesar de que el alfabeto ¦ sea finito.
5.5 Grupos Vamos a definir ahora una estructura más compleja que la de semigrupo, a la que desig- naremos con el nombre de grupo. Tiene múltiples aplicaciones en la matemática y en otras áreas como la física y la química. Daremos a continuación nuevas propiedades y ejemplos.
Definición 5. Sea G z y x una ley de composición interna definida sobre G. El par (G, x) es un grupo si y sólo si x es asociativa, con elemento neutro e y tal que todo elemento de G admite inver- so respecto de x. Es decir, G es grupo si se satisfacen los axiomas:
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g 1 ) x: G u G o G es una ley de composición interna. Es decir, x, y G, x x y G. g 2 ) (x x y) x z x x (y x z) x, y, z G. g 3 ) e G / x G, x x e e x x x. g 4 ) Para cada x G x’ G / x x x’ x’ x x e.
Observación: Es decir, un grupo G es un semigrupo con elemento neutro y donde todos sus elementos son inversibles.
Ejemplo 11 Son grupos (Z, ), (Q, ), (R, ) donde Z, Q y R son los conjuntos de números enteros, ra- cionales y reales, respectivamente, y + es la operación suma habitual. Esta operación es una ley de composición interna asociativa, con neutro e = 0 y donde cada elemento tiene su opuesto. También resultan grupos respecto del producto habitual (R {0}, · ), (Q {0}, · ), donde 1 es elemento neutro y cada elemento no nulo x tiene por inverso al elemento 1/x.
Ejemplo 12 Consideremos M2x3(R) como el conjunto de las matrices de orden 2x3 sobre los reales y la operación suma. El par (M2x3(R), +) es un grupo. En efecto, si sumamos dos matrices cualesquiera de orden 2x3 obtenemos una matriz del mismo orden. Además, la suma de matrices es asociativa, tiene elemento neutro que es la matriz nula O de orden 2x3, y para toda A M2x3(R) existe una matriz del mismo orden lla- mada opuesta de A, que se simboliza A, tal que se verifica A + (A) = (A) + A = O. Ge- neralizando para matrices de tamaño mxn podemos afirmar que (Mmxn(R), ) es grupo.
Ejemplo 13 a) El conjunto F(A) de las funciones biyectivas de A en A respecto de la composición (o) resulta también un grupo, ya que según vimos en los ejemplos precedentes esta operación es una ley de composición interna asociativa, con elemento neutro que es la función identi- dad y donde cada función biyectiva tiene inversa que también es biyectiva. (K 4 , o) y (K 8 , o) son grupos que se denominan, respectivamente, grupo de Klein de orden 4 y grupo de Klein de orden 8. b) Sea n un número natural. El conjunto Sn cuyos elementos son todas las permutaciones de n elementos resulta un grupo respecto de la composición (o). Cada elemento de Sn puede ser representado por una función biyectiva W (1)=j 1 , W (2)=j 2 , W (3)=j 3 , …, W (n)=jn, donde j 1 j 2 j 3 … jn representa una permutación de n elementos, o bien de una manera más simplifi- cada como
¸¸¹
j 1 j 2 ... j n
1 2 ... n W.
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Demostración del ítem v): De la definición de inverso tenemos que, (x x y) x (y’x x’) x x (y x y’) x x’ (x x e) x x’ x x x’ e. Análogamente, (y’ x x’) x (x x y) y’ x (x’ x x) x y (y’ x e) x y y’ x y = e. Luego utilizando g 4 ) concluimos que (x x y)’ y’ x x’.
Observaciones:
- Si G es grupo con una suma lo llamaremos grupo aditivo. En estos casos de grupos aditivos, la ecuación a x x b se traduce como a x b y la solución a la ecuación se escri- be como x (a) b. Si G es conmutativo entonces x b + (a) que escribimos como x b a.
- Para grupos aditivos traducimos la Propiedad 5.2 ítem iv) como (x) x mientras que el ítem v) como (x y) (y) (x), x, y G. Si G es conmutativo es (x y) (x) (y).
- Si G es grupo con una multiplicación lo llamaremos grupo multiplicativo. En el caso de grupos multiplicativos utilizamos la siguiente notación: a · x b o más simplemente a x = b donde x a’ b; dada la unicidad del elemento inverso, escribiremos a’ = a^1. Así x = a^1 b, además (x^1 )^1 x, (x y)^1 y^1 x^1. Si G es conmutativo (x y)^1 y^1 x^1 = x^1 y^1.
- En general nos referiremos al grupo (G, x) simplemente como G.
Actividad 2 Problema Nº1 : Sea A = {a, b}. ¿Cuáles de las siguientes leyes de composición interna definidas en A, dadas por las tablas siguientes definen un semigrupo con elemento neutro? 1.1) 1.2) 1.3) 1.4)
- a b * a b * a b * a b a a b a a b a a b a a a b b a b a a b b b b a b
Problema Nº2 : Sea 6 = {0, 1}. Consideremos el semigrupo ( 6 *, concatenación) y T un subconjunto de 6 * que consta de todas las sucesiones que tienen un número impar de unos. Por ejemplo, T tiene cadenas de la forma 1, 10, 001, 111000, etc. ¿Es (T, concatena- ción) un semigrupo?
Problema Nº3 : Sean 6 = {0, 1}. Consideremos ( 6 *, concatenación) y ( 6 , +) donde + es- tá definida por la siguiente tabla,
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y la función f : 6 o6 / f(x) = ¯
® (^1) sixtieneunnúmeroimpardeunos
0 sixtieneunnúmeropardeunos
3.1) Verifica que la función f satisface la condición: f (x y) = f (x) + f (y). 3.2) ¿Es f una función biyectiva?
Problema Nº4 : Sea G el conjunto de los números reales no nulos y sea la ley de compo-
sición interna definida por a b = 2
a ·b. Muestra que (G, ) es un grupo abeliano.
Problema Nº5 : Sea G el conjunto de los números reales y a b = a + b + 2. ¿Es (G, ) un grupo? Nota: + es la suma de números reales.
Problema Nº6 : Sea G el conjunto de los números reales que son distintos de 1, donde a b = a + b + a · b. ¿Es (G, ) un grupo? Nota: + es la suma de números reales y · es el producto usual de números reales.
Problema Nº7 : Sea (G, .) un semigrupo con identidad e y donde a. a = e, a G. De- muestra que (G, .) es grupo abeliano.
Problema Nº8 : Considera el conjunto M de las matrices cuadradas de tamaño 2x2 de la
forma A = (^) ¸¸ ¹
b a
a b con las operaciones usuales de adición y multiplicación de matrices.
8.1) Verifica que (M, +) es grupo abeliano.
8.2) Verifica que (M { (^) ¸¸ ¹
}, · ) es grupo abeliano.
Problema Nº9 : Responde: 9.1) ¿Porqué Z no es un grupo bajo la resta? 9.2) ¿Porqué Q no es un grupo bajo la multiplicación?
Problema Nº10 : Sea G un grupo. Demuestra que G es grupo abeliano a, b G, (a. b)^1 = a^1. b^1.
Problema Nº11 : Encuentra los elementos y la tabla de composición del grupo simétrico de orden 3, S 3.
Problema Nº12 : Demuestra que si G es un grupo entonces (a-1)-1^ = a, a G.
Problema Nº13 : Sea (G, x) un grupo con neutro e y sea a un elemento de G. Demuestra
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Consideremos ahora un conjunto G de tres elementos, G = {e, a, b}. Al completar la si- guiente tabla, quedan cuatro espacios en blanco por llenar. Tabla 5. x e a b e e a b a a b b
Recordando que no es posible repetir elementos a lo largo de una fila o columna y otros pequeños ensayos nos muestran que sólo puede llenarse como en la Tabla 5.8, de manera que se satisfagan todos los axiomas que caracterizan a los grupos. Tabla 5. x e a b e e a b a a b e b b e a
Observamos que los grupos de orden 1, 2 y 3 son abelianos y que existe sólo un grupo de cada orden para cada asignación fija de los elementos.
Veamos ahora cuáles son las posibles tablas para un grupo G = {e, a, b, c} de orden 4. No es difícil demostrar que la posible tabla de multiplicación de G se completará como se muestra en las Tablas 5.9, 5.10, 5.11 y 5.12, teniendo en cuenta que cada elemento puede tener por inverso al mismo elemento, o que haya dos elementos que sean sus propios inver- sos y que los otros tengan los inversos cruzados. Se puede demostrar que cada una de ellas es un grupo. Por lo tanto, existen cuatro posibles tablas de operadores binarios para un grupo de orden 4. Tabla 5.9 Tabla 5. x e a b c x e a b c e e a b c e e a b c a a e c b a a e c b b b c e a b b c a e c c b a e c c b e a
Tabla 5.11 Tabla 5. x e a b c x e a b c e e a b c e e a b c a a b c e a a c e b b b c e a b b e c a c c e a b c c b a e
Matemática Discreta
Ejemplo 14 a) Sea B = {0, 1} y sea + la operación definida en B como sigue
Entonces (B, +) es un grupo y en él cada elemento es su propio inverso. b) Siendo n = 2, 3, 4, definimos los grupos finitos Zn = {0, 1, ..., n 1} por las siguientes tablas: Z 2 :
- 0 1 0 0 1 1 1 0 Z 3 :
- 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 Z 4 :
- 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2
La construcción de Zn = {0, 1, 2, ..., n 1} se puede generalizar para todo número entero positivo de acuerdo a la siguiente operación aditiva que llamaremos suma módulo n.
Para cada n Z+^ y i, j: 0, 1, 2, ..., n 1, definimos i + j = (i + j) mod n, donde el símbolo
- ( suma módulo n ) de la expresión que está a la izquierda de la igualdad es la operación entre elementos de Zn y el símbolo + que está a la derecha es la operación suma de enteros. Entonces, para cada n Z+, Zn es un grupo abeliano con la operación + (suma módulo n).
5.7 Homomorfismos de grupos Vamos a definir un tipo especial de función entre dos grupos que preserva la estructura algebraica definida, a la que llamaremos morfismo. Veamos previamente unos ejemplos.
Ejemplo 15 a) Sea G = {e, a} con la ley de composición interna x, definida por la tabla 5.6 y sea Z 2
