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Examen 1: Problema 2
En un grupo de estudiantes, el 60 % aprueba una determinada
i^
Si
l^
i^
d^
d^
l^
i^
i d
di
materia. Si elegimos de modo aleatorio e independiente 12estudiantes, calcule: a^
-^ La probabilidad de que aprueben 5 estudiantes a.- La probabilidad de que aprueben 5 estudiantes. 1. n=12 2
En cada ensayo dos resultados
- En cada ensayo dos resultados
mutuamente excluyentes:
Aprobar P(A)=0,6=p
X
di
ib
p^
(^
)^
,^
p
Suspender P(S)=0,4=q
- Ensayos independientes (p y q se
l^
l^
d^
l
X se distribuyesegún la binomial
mantienen constantes a lo largo de los15 ensayos) X (v a ):
“nº de estudiantes que aprueban”
X (v.a.):
n de estudiantes que aprueban
Examen 1: Problema 2 (cont.)
a.- La probabilidad de que aprueben 5 estudiantes.
(^
^
F
F
f
X
P
b.- La probabilidad de que aprueben al menos 3 estudiantes.
(^997) , 0
) 2
( 1
0,003-
1,
F(2)- 1
X P
3)
P(X
)
(
arios
complement
son
X
y
X
( )
)
(
L^
b bilid d d
b^
d^
d^
c.- La probabilidad de que aprueben más de 3 y menos de 8
0
(^015) , 0
(^562) , 0 ) 3 ( ) 7 ( ) 7
(^3) (
) 8
(^3) (
^
F F X P X P
b) a
),( )( )
((
, , , ) ( ) ( ) ( ) (
^
siendo a F bF b X aP
Examen 3: Problema 1
Para llevar a cabo ciertas pruebas se eligen, de forma aleatoria ei d
di
l^
i^
d^
l^
l^
i^
d
independiente, algunos pacientes de un grupo en el que la mitad sonfóbicos y la otra mitad psicóticos. Se define la variable aleatoria X
y^
p
como
número de pacientes fóbicos elegidos
. Sabiendo que en la población a
la que pertenecen los pacientes la variable aleatoria
inteligencia
(Y) se
distribuye N(105,25) y que las variables X e Y son independientes,calcule: a^
La probabilidad de que al elegir al azar a un paciente tenga una a.-
La
probabilidad de que, al elegir al azar a un paciente, tenga una inteligencia superior a 115.
Y
z
z P Y P Y P
^ Y
z
^ Y
Examen 3: Problema 1 (cont.)
b.- La probabilidad de que un paciente, elegido al azar, tenga una
inteligencia entre 105 y 110..
g^
y
(^3413) , 0 (^5) , 0
(^8413) , 0 ) 0
( ) 1
(
) 105 ( ) 110 (
) (^105) (
) (^110) (
) 110
(^105) (
z P
z P
Y P Y P F F Y P
1
5
, , , ) ( ) (
^
(^105) -
110
- Y z
Y Y
^
b] a a F b F b Y a
P^
^
), ( ) ( ) ( [ Y
c.- La probabilidad de que, elegidos al azar 5 pacientes, haya al menos 3 fóbicos.
n=
- n=52. En cada ensayo dos resultados
fóbico P(F)=0,5=p
X se distribuye
,^
p
psicótico P(Ps)=0,5=q
- Ensayos independientes (p y q se
i^
X se distribuyesegún la binomial
mantienen constantes)
- X (v.a.):
“nº de pacientes fóbicos”
Examen 4: Problema 1
1.- En una población, la variable
Inteligencia (X)
se distribuye N(25, 25).
a.- Calcular la probabilidad de que, elegido un sujeto de dicha
p^
q^
,^
g^
j
población al azar, tenga una inteligencia mayor que 20.
25 20
(^8413) , 0
(^1587) , 0 1
) 1
( 1 ) (^255) 20 ( 1 ) 20 ( 1 ) 20 (
^
z P z P X P X P
(^8413) , 0
(^1587) , 0 1
b.- La probabilidad de que, elegido un sujeto de dicha población, al
i^
li^
i^
i^
l^
azar tenga una inteligencia igual a 10.P(X=10)=0P(X=10)=
Examen 4: Problema 1 (cont.)
c.- La probabilidad de que, elegido un sujeto de dicha población, al
i^
li^
i^
i^
l^
(^5) , 0 ) 0
( ) 25 (^
^
z P
X azar tenga una inteligencia menor o igual que 25. P
0 (^25) - 25
z^
x^
^
X
^
0
5
x
Nota. 25 es la media de la variable Inteligencia y siempre ocurre que la probabilidad deencontrar un valor inferior o igual a la media es 0,5d.- E(X) y VAR(X)
N
X
g^
,
^ X
E
N
X
(^
X
Var
Examen 6: Problema 2 (cont.)
b.- La probabilidad de que dos estudiantes de FP elegidos aleatoria e
independientemente superen el valor 50 en autoconceptoindependientemente superen el valor 50 en autoconcepto.
z P
X P
X P^
(^0126) , 0
(^9874) , 0 1 ) (^24) , 2
( 1 ) 50 ( 1 ) 50 (^
x x
X P
X P
(^40) - 50
- X z
(^000160)
(^01260)
(^01260) ) 50 ( ) 50 (
(^24) , 2
20
diente)
e indepen
aleatoria
n de forma
(se extrae
X P
X P^
(^00016) , 0
(^0126) , 0
(^0126) , 0 ) 50 ( ) 50 (^
c.- La probabilidad de que un estudiante de Bachillerato tenga un
valor en autoconcepto de 49.
(^
^ Y
P
Bachiller des
estudiante en to
autoconcep Y
Examen 7: Problema 2
Suponiendo que el
CI
se distribuye N(110,16) en la población de estudiantes
universitarios de la Universidad Complutense de Madrid y que el 60% dedicha población son mujeres y el 40% varones, calculad:a - La probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga una. La probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga un
CI superior a 115.
(^1056) , 0
(^8944) , 0 1 ) (^25) , 1
( 1 ) 115
( 1 ) 115
(^
^
z P
CI P
CI P
(^25) , 1
16
, , ) , ( ) ( ) (
^
(^110) -
115
- CI z
CI
CI
16
b.- El valor de corte de CI que deberíamos considerar para seleccionar al
67% de los sujetos con menores puntuaciones en CI67% de los sujetos con menores puntuaciones en CI.
(^67) , 0 ) 0 ^
z
P(Z
CI
(^76) , 111
110 ) 4
(^44) , 0 (
(^44) , 0
16
^
0
0
CI
(^110) - CI
Z^ CI
Examen 7: Problema 2 (cont.)Examen
7: Problema 2 (cont.)
d.- La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea
p^
q
varón y tenga un CI inferior a 110, teniendo en cuenta que lasvariables
sexo
y
CI
son independientes.
(Justifique sus respuestas)
) 110
( *) (
] 110
( ) [(^
CI P V P
CI
V P^
ntes
independie CI, y
(sexo
)
(^5) , 0 ) 110
(
(^4) , 0 ) (
) ( ) ( ] ( )
[(
CI P
V P
y n
distriució la de
media la es 110 que (ya
p
y
(^
)
(^2) , 0 (^5) , (^0) * (^4) , 0 ) 110
( *) (
] 110
( ) [(
, )
(
CI P V P
CI
V P
iguales)
áreas dos en
divide la
y
q (y
(^2) , 0 (^5) , 0 (^4) , 0 ) 110
( ) (
] 110
( ) [(^
CI P V P
CI
V P
Examen 8: Problema 2 (cont.)
En una determinada población la v.a. Y se distribuye N(25,16) y la v.a.X se distribuye según F con 2 y 10 grados de libertad Sabiendo que XX se distribuye según F con 2 y 10 grados de libertad. Sabiendo que Xe Y son independientes y que seleccionamos a los sujetos al azar,calcular:a.- La probabilidad de que un sujeto obtenga en Y una puntuación
superior a 30.
(^1056) , 0
(^8944) , 0 1 ) (^25) , 1
( 1 ) 30 ( 1 ) 30 (^
^
z P Y P Y P
(^25) , 1
16
^
(^25) - 30
- Y z
Y Y
16
Y
Examen 8: Problema 2 (cont.)
c.- La probabilidad de que un determinado sujeto obtenga en Y una
puntuación inferior a 25 y en X inferior a 4,10.
(^95) ' 0 ) (^104)
(^
X P^
(^950) ) (^10) , 4
(^
X P
(^10) , 4
(^10) , 2 , (^95) ' 0
F
25) (
Y P^
(^5) , 0 ) 25 (
,,
0’975 P(X<4.10)=0’
5.
P[(Y<25)
(X<4,10)]=0.50.95=0,475 (X e Y son independientes)*
Examen 8: Problema 2 (cont.)
d.- ¿Cuántos sujetos obtendrán en Y una puntuación superior a 30 si
l^
bl
d
a)
apartado
(según
Y P
1056 0 ) 30
(^
la población se compone de 500.000 sujetos?
a)
apartado
(según
Y P
(^1056) , 0 ) 30
(^
P(Y>30)=0,1056 implica que un 10,56% de esapoblación obtiene una puntuación en Y superior a 30500.000 * 0,1056 = 52.800 es el nºde individuos queobtienen una puntuación por encima de 30
Examen 9: Problema 1 (cont.)
(^1841) , 0 ) 9 , 0
( ) 51 ( ) 1
(
1 Y
baja A
z P A P Y P
^
(^9) , 0
100 (^60) - 51
z^
A A
A
(^1841) , 0
(^8159) , 0 1 ) 9 , 0
( 1 ) 69 ( 1 ) 69 ( ) 1
(
3 Y
alta A
z P A P A P Y P
^
(^9) , 0
100
(^60) - 69
z^
A A
A
(^6318) , 0
(^1841) , 0
(^8159) , 0 ) 51 ( ) 69 ( ) 69
(^51) (
) 2
(
2 Y
media A
A P A P A P Y P
^
^
(^1841) , 0 ) (^1) (
, , , ) ( ) ( ) ( ) (
f
(^1841) , 0 ) 3 (
(^6318) , 0 ) 2 (
)
( ) (
f f
Y Y P Y f^
i
Examen 9: Problema 1 (cont.)
b.- La función de probabilidad conjunta de X e Y.
Y
Y
X
^
(^11050)
(^18410)
( f
(^11050) ) 3
(
; (^3790) , 0
(^6318) , 0
(
; (^1105) , 0
(^1841) , 0
( arqf^ arqf^ arqf
; (^2527) , 0
(^6318) , 0
(
(^0736) , 0
(^1841) , 0 (^4) , 0
1
(^1105) , 0 ) (^3) ,
( ) , (
Pilot f
;
*
) arqf (Pilot,f
y x f^
j i
^
^
(^0736) , 0 ) (^3) ,
(
; (^2527) , 0
(^6318) , 0 (^4) , 0 ) 2 ,
( Pilotf^ Pilotf
