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FÍSICA DE GRADO, GA
Fac. CC Físicas Dpto. de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica 1 CAPÍTULO 1- Mecánica newtoniana: SISTEMAS DE PARTÍCULAS
_ Centro de masas. Conservación del momento lineal._**
Texto: Sears-Zamanski-Young-Freedman, Física Universitaria. Primer volumen, 11 ma Edición. Pearson Educación, 2004.
“La libertad mental es aún más difícil de adquirir que la libertad política.” Alejandro Von Humbolt
- Cuando se estudia Física se conoce que hay un conjunto de cantidades muy importantes; y en particular resultan muy útiles aquellas que se conservan 1- La energía
están:
2- La cantidad de movimiento 3- El momento angular 4- La carga eléctrica
Cantidad de Movimiento = Cantidad de Movimiento Lineal = Momentum
p = m v
.- De un cuerpo es el producto de la masa por la velocidad. Es una magnitud vectorial.
S.I. = kg.m/s
Es conocido que la persona que dispara el fusil, de tenerlo correctamente situado, percibe un golpe en el hombre.
Por experiencia, resulta evidente que a mayor cantidad de movimiento de un cuerpo es más difícil detenerle. Ej. Suponga un auto veloz y un auto lento (ambos de igual masa) , pero con velocidades diferentes, en consecuencia el producto mv es diferente para ellos.
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- La rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada a él. [ Ésta fue la forma en que Newton presentó la 2ª ley ∑ F = Δp / Δt = (m v
.] f – m vi ) / Δt = m^ ( vf –^ vi ) / Δt = m a
∑ F = dp / dt
Para el caso: F = 0 → dp/ dt = 0 → p = constante
OBSERVAR que la masa puede variar.
F = m dv/dt = d(mv) / dt = (dm/dt) v = m (dv/dt)
Ejemplos: 1) Nave espacial al salir al espacio exterior.
- Coche en marcha.
- Conservación de la cantidad de movimiento
CANTIDAD ANTES = CANTIDAD DESPUÉS
.- La cantidad total de movimiento de un sistema de cuerpos aislado permanece constante.
m 1 v 1 + m 1 v 1 ’ = m 2 v 2 + m 2 v 2 ’
Sistema.- Conjunto de objetos que interactúan entre sí.
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Fac. CC Físicas Dpto. de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica 1 Ejemplo I) Se tienen dos pelotas: m 1 = 0,50 kg ; v 1 m
= 4,0 m/s 2 = 0,10 kg ; v 2 ¿Cuál de ellas resulta más fácil de atrapar?
= 20,0 m/s
Respuesta: 1º p 1 = m 1 v 1 p
= (0,50 kg) (4,0 m/s) = 2,0 kg.m/s 2 = m 2 v 2 = (0,10 kg) (20,0 m/s) = 2,0 kg.m/s
■ Vemos que la Cantidad de Movimiento es la misma.
2º Ec 1 =1/2 m 1 v 12 = 1/2 (0,50 kg) (4,0 m/s)^2 Ec
= 4,0 J 2 =1/2 m 2 v 2 (^2) = 1/2 (0,10 kg) (20,0 m/s) (^2) = 20,0 J
■ Vemos que la Energía Cinética es diferente.
Por lo tanto, resulta más fácil atrapar la bola grande (mayor masa) y lenta, ya que tiene menor energía.
::::::::::::::::::::::::::::::::
Ejemplo
¿Cuál de ellos resulta más fácil de atrapar?
II) Suponga una pelota de béisbol lanzada por un profesional de ese deporte. Y pensemos que tenemos un proyectil de calibre 22 disparado por un fúsil.
Respuesta:
**_- Intuitivamente, Usted preferirá detener la pelota y no el proyectil. ¿Cierto?
- Pero veamos el razonamiento físico:_**
1º Podemos asumir que la Energía Cinética de ambos es aproximadamente igual (compruébelo Usted) 2º Es evidente que la Cantidad de Movimiento es diferente, siendo la del proyectil menor en valor que la de la pelota (compruébelo Usted) 3º El Impulso es bien distinto. Y aquí radica la explicación, una fuerza aplicada en tiempo muy breve.
▲ Supongamos que presenciamos un partido Rugby
En el momento de una jugada dos atletas de masa y velocidades diferentes buscan de forma decidida el balón y coinciden al mismo tiempo en el mismo punto.
Evidentemente, la dinámica del choque entre esos cuerpos puede ser muy compleja desde el punto de vista físico
Se produce un choque (una colisión)
- Sabemos que el choque se rige un principio sencillo de la Física (la ley de conservación de la cantidad de movimiento). Esto significa que:
■ ■ Al calcular el producto de la masa y la velocidad (vectorial) de cada jugador y sumamos los resultados, esa suma tendrá el mismo valor antes y después del choque.
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Fac. CC Físicas Dpto. de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica 1 Colisión.- El fenómeno que se produce en un instante muy breve de tiempo y en el cual la fuerza es tremendamente grande. Pueden ser elásticas (CE) e inelásticas (CI).
C.E.- Cuando la Energía cinética se conserva
C.I.- Cuando la Energía cinética no se conserva
En una colisión se observa que:
Al menos dos objetos se aproximan entre sí
En un instante dado ellos interaccionan fuertemente (en un tiempo muy breve)
En ese tiempo de colisión, cualquier fuerza externa es MUCHO MENOR que las fuerzas de interacción entre los objetos
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CHOQUE ELÁSTICO .- Cuando la Energía Cinética Total de los objetos es la misma antes y después del choque.
CHOQUE INELÁSTICO .- Cuando la Energía Cinética Total de los objetos NO es la misma antes y después del choque.
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CHOQUE PERFECTAMENTE INELÁSTICO .- Aquel choque donde toda la Energía Cinética Relativa al centro de masas se convierte en calor o energía interna del sistema y los objetos quedan unidos después de la colisión.
** Para el caso de un choque (colisión) rectilíneo elástico
v
de dos cuerpos, las velocidades relativas antes y después del impacto tienen la MISMA magnitud pero signo CONTRARIO. 2 - v 1 = -(v’ 2 - v’ 1 )
** Si se satisface la condición anterior, entonces se CONSERVA la energía cinética.
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Desarrollamos el binomio: a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)
(V (^) A1 - V (^) A2) (V (^) A1 + V (^) A2) / (VA1 - VA2 ) = V (^) B
V (^) A1 + V (^) A2 = V (^) B
V B2 = V A1 + V A2 (5)
Sustituyendo (5) en (4) tenemos: mA (VA1 - VA2 ) = mB (V (^) A1 + V (^) A2 )
Desarrollando quedará esto: VA1 = (mB - mA) (V (^) A2) / (mB + mA ) (6)
Sustituyendo (6) en (5): V (^) B2 = [(mB - mA) (V (^) A2) / (mB + mA)] + V (^) A
V (^) B2 = (2 mA) (V (^) A1) / (mB + mA )] (7)
Observar que finalmente nos han quedado tres expresiones [ caso del segundo objeto en REPOSO ], las cuales son de suma importancia en Física:
(5) V (^) B2 = V (^) A1 + V (^) A
(6) VA1 = (mB - mA) (V (^) A2) / (mB + mA )
(7) V (^) B2 = (2 mA) (V (^) A1) / (mB + mA )]
Cabe preguntarse: ¿Por qué en las mudanzas se empacan con papel los objetos frágiles?
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Fac. CC Físicas Dpto. de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica 1 Centro de masa
Y
(CM).- Las observaciones del movimiento de los cuerpos indican que cuando un cuerpo gira, o cuando aparecen varios cuerpos que se mueven unos en relación con otros, hay un punto que se mueve en la misma trayectoria que seguiría una partícula si se sujetara a la misma fuerza neta.
M 1 M 2
X 1 XCM X 2 X
XCM = (∑mi xi) / ∑mi = (∑mi xi) / M RCM = (∑mi Ri) / ∑mi = (∑mi Ri Y
) / M
CM = (∑mi yi) /^ ∑mi = (∑mi yi) / M^ vCM = (∑mi vi) /^ ∑mi = (∑mi Vi Z
) / M
CM = (∑mi zi) /^ ∑mi = (∑mi zi) / M^ aCM = (∑mi ai) /^ ∑mi = (∑mi ai) / M
Para el caso de un cuerpo continuo : M RCM = ∫ Rdm
Para un sistema de partículas p = ∑m
i vi =^ M^ v^ CM
F = dp/ dt = M a (^) CM
- Así cuando la F externa resultante sobre un sistema es cero, entonces el momento lineal total del sistema es constante.
Fext = 0 ═► p = constante
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Fac. CC Físicas Dpto. de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica 1 Ejemplos básicos :
1- Se tienen dos pelotas: [m 1 = 0,50 kg con v 1 = 4,0 m/s] y [m 2 = 0,10 kg con v 2 = 20,0 m/s]. ¿Cuál de ellas es más fácil de atrapar?
R/ p = m v p 1 = 0,50 kg(4,0 m/s) = 2,0 kg m/s
p 2 = 0,10 kg(20,0 m/s) = 2,0 kg m/s
_ Observamos que ambas pelotas tienen IGUAL valor de cantidad de movimiento._**
EC = ½ mv^2 EC1 = 4,0 J
EC2 = 20,0 J
_ Estos resultados indican que los valores de energía cinética son distintos._**
Por tanto, resulta más fácil coger la bola grande y lenta, ya que tiene menor energía cinética.
2- Valorando el ejemplo anterior, cabe ahora preguntarse: 1) ¿puede que la Energía no sea el único factor?
Así que SUPONGAMOS ahora dos objetos distintos (una pelota y un proyectil) :
a) la pelota de béisbol es lanzada por un jugador profesional b) el proyectil, de calibre 22, es disparado por un fúsil.
2) ¿Cuál de los dos objetos Usted prefiere detener?
R/ Suponemos que por intuición Usted prefiere detener la pelota y no la bala. Pero esa respuesta no está justificada físicamente. Así que lo haremos correctamente, y esto es suponiendo que:
- Las masas son muy diferentes en valor (desde miligramos [proyectil] a kg [pelota]).
** Las velocidades también difieren, pero en mucho [proyectil ≈ 150 m/s; pelota ≈ 40 m/s].
Por ello, el producto mv (cantidad de movimiento) es muy diferente en valor [menor en el proyectil que en la pelota].
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Fac. CC Físicas Dpto. de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica 1 ***Mientras que para la Energía Cinética tenemos aproximadamente igual valor [observar que la “velocidad” (rapidez) está al cuadrado y así se compensa el resultado].
3- Suponga una manguera de un jardín. Esa manguera deja salir un chorro de agua de 1,5 kg/s, con una rapidez de 20 m/s. El agua choca contra una pared que la detiene. No considere el agua que regresa después del choque. Determinar la fuerza que ejerce el agua sobre la pared.
R/
- En cada segundo se detiene agua con una cantidad de movimiento:
p = (1,5 kg)(20 m/s) = 30 kg.m/s
Por dato sabemos que: [pf = (1,5 kg)(0 m/s = 0]
- Entonces la magnitud de la fuerza [de la pared], que se supone constante , necesaria para cambiar la cantidad de movimiento es:
F = ∆p / ∆t = (pf – pi ) / 1,0 s = (0 – 30) / 1,0 = - 30 N
Observar que: A) el signo menos indica que la fuerza sobre el agua se opone a su velocidad original
B) La pared ejerce una fuerza de -30 N para detener el agua, por lo que, de acuerdo con la tercera ley de Newton, el agua ejerce una fuerza de igual valor y signo contrario (30 N) sobre la pared.
4- Un carro de ferrocarril de 10.00 kg viaja con una rapidez de 24,0 m/s. Éste choca contra otro vagón, idéntico, que está en reposo. Como consecuencia del choque, los vagones se enganchan. Determinar la rapidez común después de la colisión.
R/ * La cantidad de movimiento inicial total p
es: 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 = m v 1 + m v 2 = m (v 1 + v 2 )
p 1 + p 2 = (10.000)(24,0 + 0) = 2,40.10^5 kg.m/s
A) La cantidad de movimiento total será la misma
p
, pero compartida por los dos vagones. 1 + p 2 = p’ 1 + p’ 2 = 2,40. (^5) kg.m/s
B) Como se enganchan los vagones entonces tienen la misma velocidad final (v’).
p’ 1 + p’ 2 = m 1 v’ 1 + m 2 v’ 2 = m v’ 1 + m v’ 2 = 2 m v’
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Fac. CC Físicas Dpto. de Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica 1 Ahora se resta una de la otra ecuación: v’ 1 = 0 quedando que: v’ 2 = v - v’ 1 = v + 0 = v
Por lo tanto:
A) Antes de la colisión: v 1 = v; v 2 = 0
B) Después de la colisión: v’ 1 = 0; v’ 2
7- Tres partículas de igual masa m descansan a lo largo del eje x (en metros), en los puntos 1,0; 5,0; 6,0. Determine la posición del centro de masas del sistema.
= v
R/ Sabemos que:
- XCM = (m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 ) / (m 1 + m 2 + m 3
- m
1 = m 2 = m 3
= m 1 = 1,0 m; x 2 = 5,0 m; x 3 = 6,0 m
Con esa información aplicamos la expresión correspondiente:
XCM = m(x 1 + x 2 + x 3 ) / (3m) = 4,0 m
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MOMENTO de Inercia [ I ] .- Implica que I (mr^2 ) depende de la distribución espacial de la masa del cuerpo.
- Unidad SI del Momento de Inercia o Inercial Rotacional (kg m^2 )
** Es el equivalente a la masa en el movimiento traslacional
*** Es una medida de la resistencia de un objeto a verificar cambios en su movimiento de rotación
**** Un cuerpo NO tiene sólo un Momento de Inercia. Depende de la masa de su distribución. Es decir, no es una propiedad del objeto.
Momentos de inercia de cuerpos regulares:
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I = ICM + M h^2
