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FÍSICA de GRADO, GA
Fac. CC Físicas
Dpto. Física de la Tierra, Astronomía y Astrofísica 1
Mecánica newtoniana: CINEMÁTICA
** Movimientos en una y varias dimensiones. Desplazamiento, velocidad y aceleración.
Texto: Sears-Zamanski-Young-Freedman, Física Universitaria. Primer volumen, 11 ma Edición. Pearson Educación, 2004.
“Desgraciados los hombres que tienen todas las ideas claras”. Louis Pasteur
Aristóteles, griego (384-322 a.C.)
Personalidades (Cultura Científica)
Galileo Galilei, italiano (1564-1642) Isaac Newton, inglés (1642-1727)
Cinemática.- Parte de la Física Mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin interesar las causas.
ALGUNOS CONCEPTOS
1) Partícula .- Es un punto material que representa a un objeto, sin importar su estructura interna. En definitiva es un modelo.
2) Trayectoria.- La línea (recta o curva) que describe un móvil.
3) Desplazamiento.- ∆x = xf – xi
x(m)
∆ r = r f – r i xi x
∆x
f
S.I. [ L ] ▬► m 0
Distancia recorrida por un móvil con un determinado sentido. Es un concepto vectorial. Además, se puede determinar en espacios de 1, 2 y 3 dimensiones.
Seguidamente, se presenta una figura (gráfico) de x(t). En ella puede apreciar las representaciones de ejes, unidades, cantidades, y la pendiente. ¡ Adelante! Enfrente un análisis físico y valore lo aprendido en clases.
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Preguntas de control
- ¿Los conceptos Distancia Recorrida y Desplazamiento son equivalentes? Explique.
: 1) ¿Qué puede decir del siguiente comentario de un periodista deportivo: “El desplazamiento de Marta Hernández en la pista del estadio de Murcia al completar una vuelta completa es de 400 m”? Argumente.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO.- Implica trayectoria recta.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
v
.- Si la trayectoria es recta y los espacios recorridos son directamente proporcionales a los tiempos.
Espacio recorrido = área
v=cte.
t
- Si el movimiento NO es uniforme, la velocidad varía.
3) Rapidez.- La distancia que viaja un objeto en un intervalo de tiempo dado. Es una magnitud escalar. Tiene las mismas unidades que la velocidad.
4) Velocidad.- Se usa para expresar la magnitud (valor numérico) de la rapidez con que se mueve un objeto y su dirección y sentido. Es un vector. Puede ser positiva o negativa.
5) Velocidad media.- vM = ∆x / ∆t │ vM │= distancia total / tiempo total
[ L / T] ▬► m / s x
P 2
Es la pendiente de la línea recta que
conecta los puntos P 1 y P 2
P
Pdte. = ∆x / ∆t 1
0 t
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9) Aceleración instantánea.- El límite del cociente ∆v/∆t cuando ∆t tiende a cero.
a = lim ∆v/∆t = dv/dt = d^2 x/dt ∆t→
2
- Es la pendiente de la línea tangente a la curva de velocidad en función del tiempo.
** Observar que los puntos 8) y 9) aquí están dados para un espacio E(x) = E 1
v v
∆v=0 ═► v=cte.
a=cte. vo a=
vo
t t
10) Movimiento con aceleración constante
- El movimiento de una partícula que tiene a=cte. Es corriente en la naturaleza.
Ejemplo: Cerca de la superficie de la Tierra TODOS los objetos caen verticalmente con aceleración constante (si se puede despreciar la resistencia del aire).
- Evidentemente, si una partícula tiene a=cte.═►a (^) M es la misma aceleración en cualquier intervalo de tiempo (a = aM
- Podemos suponer que en t
= ∆v/∆t). o = 0 la vo tiene un valor y que un tiempo t posterior hay una v.
Por lo tanto, a = ∆v/∆t = (v - vo)/(t - to) = (v - vo )/t
at = v - vo → at + vo = v
x = vM t v
v(t) = vo + at v(t) = vo v
v
o M = ½ (vo + v)
∆x = x – xo = vo t + ½ a t^2 0 t
v^2 = vo^2 + 2a ∆x Donde: vo
a = pendiente
= intercepto
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- Un movimiento es UNIFORMEMENTE ACELERADO cuando la magnitud de la ACELERACIÓN es CONSTANTE y el movimiento sigue una TRAYECTORIA RECTILÍNEA.
- En ese tipo de movimiento las aceleraciones INSTANTÁNEA Y PROMEDIO son IGUALES.
Gráficos de a = cte.
v(m/s)
v v = vo
Pdte. = a
+ at
at Movimiento en dirección +
vo
v
(aumento de v)
o
0 t t(s)
v(m/s)
Pdte. = -a
v
-at Movimiento en dirección -
o
(disminución de v)
v vo v = vo - at
0 t t(s)
v(m/s)
0 t t(s)
-vo Pdte. = -a -vo
(aumento de v)
Movimiento en dirección -
-at
-v
-v = -vo - at
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La aceleración será: a = dvx /dt i + dvy /dt j = ax i + ay j
**** Caso de un E 3 = E (x,y,z) r=** x i + y j + z k
v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt z
a = dvx /dt i + dvy /dt j + dvz /dt z = ax i + ay j + az z
Comentarios:
** el desplazamiento es el área bajo la curva de v = f(t). ** la velocidad instantánea se representa gráficamente por la pendiente de la curva
x= f(t).
** la aceleración instantánea se representa gráficamente por la pendiente de la curva
v= f(t).
12) Sistema de Referencia
E (x) = E
.- Es un objeto material cuyas partes están en reposo entre sí. Por lo general, se emplean sistemas de coordenadas de tipo cartesiano. En consecuencia pueden ser de 1, 2 y 3 dimensiones. 1
X (m)
E (x, y) = E^2
Y (m)
X(m)
E (x, y, z) = E^3
Y(m)
X (m)
Z (m)
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Cuando uno de los sistemas de referencia está “fijo” y el otro en movimiento:
13) Velocidad relativa.- Se deben considerar al menos dos sistemas de referencia. Uno asociado (rígidamente) a la partícula y otro fijo en otro sitio (seleccionado a conveniencia).
**SUPONGAMOS:
- Que una partícula se mueve con velocidad vPA
- Y éste a su vez se mueve respecto de otro sistema de coordenadas B con velocidad v
respecto al sistema de coordenadas A AB
** ENTONCES la velocidad de la partícula relativa al sistema B ( vPB
v
) está dada por la expresión: PB =^ vPA +^ vAB
Sistema B Sistema A Partícula
vAB v PA
OB OA
EJEMPLO: Una persona nada en un río paralelamente a la dirección de la corriente. La velocidad relativa a la orilla ( vPO ) será igual a la suma de la velocidad relativa al agua ( vPA ) y la velocidad del agua relativa a la orilla ( vAO ).
Esto queda así: vPO = vPA + vAO
Orilla
ESQUEMA
Corriente del río (agua) Persona
v
Río v
PA AO
Orilla
OBSERVAR QUE: Las velocidades se suman o restan según la persona nada a favor o en contra de la corriente.
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y E 2
x (t) = x
= E (x,y)
o + vox
v
t
oy v
y (t) = y
o
o + voy t – ½ g t
2
vox = vo
v
cos θ θ ox
voy = vo sen θ
ax
a
= 0 x
y = -g
- Para cada punto de la trayectoria del proyectil es posible descomponer la velocidad en sus componentes sobre los ejes x e y
vy j v
vx i
- Observar que en cada punto del recorrido ese vector:
- es de igual valor, pero sus componentes SI varían (incluso alguna puede valer cero, vy
- tiene valor positivo o negativo en distintos puntos. Por lo que las componentes pueden ser + ó – (v
x es siempre positiva).
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R = (vo^2 / g ) sen 2θ (Alcance de un proyectil) (-g = 9,8 m/s^2 )
RMAX ▬► θ = 45º ▬►2θ = 90º ▬► sen 2θ = 1
Observar
- ¿Qué tipo de movimiento es éste?
: 1) Salto con impulso de un cuerpo desde una altura.
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COMPONENTES PERPENDICULAR Y PARALELA DE LA ACELERACIÓN
Sabemos que: a = (v 2 + v 1 ) / (t 2 – t 1 ) = ∆v / ∆t
a = lim ∆v / ∆t = d v / dt ∆t→
a = ax i + ay j + az k = dvx/ dt i + dvy / dt j + dvz/ dt k = dx^2 / dt^2 i + dy^2 / dt^2 j + dz^2 / dt^2 k
v 1 v 2 v (^1)
P (^2)
P 1 amed P (^1)
a
∆v v (^1)
v (^2)
OBSERVAR QUE:
1) La amed
2) La v
tiene la MISMA dirección que el vector ∆v. Por lo tanto, apunta hacia la parte CONCAVA. 1 (velocidad instantánea) es TANGENTE al punto P 1 , por lo que la^ a^ de una partícula en movimiento SIEMPRE apunta hacia el lado CONCAVO de una trayectoria curva.
Ejemplo: Un niño sentado en un tiovivo que gira con velocidad angular constante percibe, muy bien, que algo tira de él. No es capaz de entender qué sucede y por ello deposita una canica en el suelo del aparato y observa que sale disparada de forma tangencial. ¿Qué puede Usted explicar al respecto al pequeño?
** En muchas ocasiones es útil describir la aceleración de una partícula que se mueve en una trayectoria curva en función de sus componentes PARALELA y PERPENDICULAR.
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TANGENTE EN P
v TRAYECTORIA
P
NORMAL EN P
v
a (^) ║
a
a (^) ┴
Donde: a║ y a┴ son las componentes paralela y perpendicular, respectivamente.
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ACELERACIÓN POR UNA RAMPA
Un esquema sería:
DIRECCION ( sentido) DEL MOVIMIENTO
B a N N N
a a a
C F
D E NOTAS: 1) En el segmento rectilíneo (B-C) la a tiene la dirección del movimiento. 2) A partir del punto C (cambio de CURVATURA de la pista) la a aparece SIEMPRE hacia la parte CONCAVA. 3) Punto D
4)
: como el cuerpo aumenta la rapidez la a tiene una componente tangencial además de la perpendicular, y con ello la resultante a se dibuja hacia delante de la normal. Punto E
5)
: no hay cambio de rapidez, en ese instante, por consiguiente es máxima (su derivada sería cero) por lo que sólo hay a radial o componente perpendicular al movimiento. Punto F : la a tiene una componente perpendicular (ya que sabemos que también aquí la trayectoria es curva) y también tiene una componente paralela, aunque opuesta a la dirección del movimiento, la rapidez está disminuyendo. Esto conlleva a que la a apunte hacia atrás.
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Movimientos: Circular, Circular Uniforme y Circular Uniformemente Acelerado
Es un tipo de movimiento que está en todas partes: átomos, galaxias, flagelos, ruedas de coches, etc. Aparentemente es muy complejo, pero si domina la Trigonometría no hay problema.
ROTAR .- Cuando el eje está en el cuerpo. GIRAR .- Cuando el eje está fuera del cuerpo.
Movimiento Circular Uniforme.- Aquel en que una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante. Es un movimiento en dos dimensiones. Puede definirse como horario y antihorario.
- La aceleración media de un movimiento circular está dada por:
amed = (v 2 – v 1 ) / ( t 2 – t 1 ) = ∆ v / ∆t
Observar que : v 2 y v 1 son velocidades instantáneas
Lim amed = Lim ( v 2 – v 1 ) / ( t 2 – t 1
∆t →0 ∆t →0 ∆t →
) = Lim ∆ v / ∆t = dv / dt = a
- La aceleración tiene dos partes: Una componente tangencial y otra radial.
a = d (v τ ) / dt = (dv / dt) τ + v ( dτ / dt) = (dv / dt) τ + (v^2 / R) n
a = at + a
donde: τ = vector unitario en la dirección de v
r
n = vector unitario al centro de curvatura y perpendicular a la trayectoria.
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α y ω se denominan Vectores Axiales. Son perpendiculares al plano donde se desarrolla el movimiento circular. Ambos vectores apuntan en la misma dirección, aunque el sentido puede ser diferente.
NOTA:
salen perpendicularmente α
α y ω ω y
del papel.
v
R
x
v
PREGUNTA DE RAZONAMIENTO Y DE AUTOEVALUACIÓN :
Usted, como joven al fin, en un día de vacaciones con sus amigos decide impresionarles utilizando su habilidad como conductor. Así que Usted conduce su flamante BMW 790 a 100 km/h por una carretera estrecha y de doble vía. Al llegar a una curva pronunciada (aproximadamente de 75º) piensa que puede tomarla a esa velocidad, pero se percata, ya en ella, que el coche se tiende a salir de la calzada. ¿Qué haría Usted?
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Ejemplo: Un volante (torno) que gira a 600 r.p.m. frena y se detiene en 40 s. Determine:
A) La ωo B) La α [aunque es supuesta constante]
en rad/s
C) Las vueltas que da el volante desde que frena hasta que deja de girar D) La aC antes de frenar (considerar R = 1,2 m).
RESPUESTAS/
A) Sabemos que: 1 r.p.m. o vuelta ≡ 2 π rad
Por tanto, ωo = [600 (2 π rad)] / [60 s] = 20 π rad/s
ωo = 20 π rad/s
B) ω = ωo + α t → [ω - ωo ] / t = α
α = [0 – 20 π rad/s] / 40 s = - π/2 rad/s^2
α = - π/2 rad/s^2 El signo MENOS se corresponde con el sentido de la frenada del volante.
C) φ = φo + ωo t + ½ α t^2
φ = 0 + [(20 π rad/s) (40 s)] + [½ (- π/2 rad/s^2 )(40 s)] = 400 π rad
φ = 400 π rad
Recordemos que: 1 vuelta ≡ 2 π rad
Por tanto, φ = [400 π rad] / [2 π rad/vuelta] = 200 vueltas
φ = 200 vueltas Éste es el número de vueltas que el volante realiza ANTES de detenerse
D) aC = v^2 / R = [(Rω)^2 ] / [R] = R ω^2 = (1,2 m)(400 π^2 rad/s^2 )
aC = 4.737,41 m/s^2
