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DEPARTAMENT D’ESTAD´ISTICA I
INVESTIGACI ´O OPERATIVA
F´ormulas, Resultados y Tablas
C´alculo de Probabilidades y Estad´ıstica Matem´atica
A. Distribuciones de variables aleatorias.
1. Descripci´on de una distribuci´on univariante.
a) Funci´on de distribuci´on: F (x) = P (X ≤ x), ∀x ∈ R. Cumple: Es no decreciente, continua por la derecha, l´ımx→−∞ F (x) = 0 y l´ımx→+∞ F (x) = 1. b) Caso discreto: Funci´on de probabilidad. f (x) = P (X = x) , ∀x ∈ R. Debe cumplir: f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R, y
i f^ (xi) = 1. c) Caso absolutamente continuo: Funci´on de densidad. f (x) tal que P (X ∈ A) =
A f^ (x)dx^ para todo^ A^ subconjunto de Borel de^ R. Debe cumplir: f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R, y
−∞ f^ (x)dx^ = 1.
2. Descripci´on de distribuciones bivariantes.
a) Funci´on de distribuci´on conjunta. F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) ∀(x, y) ∈ R^2.
- Marginales: FX (x) = l´ımy→∞ F (x, y), y FY (y) = l´ımx→∞ F (x, y).
- Independencia: X e Y son independientes si y s´olo si F (x, y) = FX (x)FY (y) ∀(x, y) ∈ R^2. b) Caso discreto: Funci´on de probabilidad conjunta. f (x, y) = P (X = x, Y = y). Debe cumplir: f (x, y) ≥ 0 ∀ (x, y) ∈ R^2 , y
i,j f^ (xi, yj^ ) = 1.
j f^ (x, yj^ ), y^ fY^ (y) =^
i f^ (xi, y).
- Condicionales: Para cada y tal que fY (y) > 0, se puede definir fX|Y =y (x) = f f^ (Yx,y (y)) ∀x ∈ R. Para cada x tal que fX (x) > 0, se puede definir fY |X=x(y) = f f^ (Xy,x (x)) ∀y ∈ R.
- Independencia: X e Y son independientes si y s´olo si f (x, y) = fX (x)fY (y) ∀(x, y) ∈ R^2. c) Caso absolutamente continuo: Funci´on de densidad conjunta. f (x, y) tal que P ((X, Y ) ∈ A) =
A f^ (x, y)dxdy. Debe cumplir: f (x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ R^2 , y
−∞
−∞ f^ (x, y)dxdy^ = 1.
−∞ f^ (x, y)dy, y^ fY^ (y) =^
−∞ f^ (x, y)dx.
- Condicionales: Para cada y tal que fY (y) > 0, se puede definir fX|Y =y (x) = f f^ (Yx,y (y)) ∀x ∈ R. Para cada x tal que fX (x) > 0, se puede definir fY |X=x(y) = f f^ (Xy,x (x)) ∀y ∈ R.
- Independencia: X e Y son independientes si y s´olo si f (x, y) = fX (x)fY (y) ∀(x, y) ∈ R^2.
3. Distribuci´on de una funci´on de variables aleatorias.
a) Caso univariante: Sea X v.a. absolutamente continua con funci´on de densidad fX (·), y sea S su soporte; esto es, P (X ∈ S) = 1. Sea Y = r(X) y sea T = r(S) = {y ∈ R : ∃x ∈ S con y = r(x)}, siendo r una funci´on de S en T biyectiva. Sea x = s(y) la funci´on inversa de r(·). Entonces:
fY (y) =
fX (s(y))
∣ (^) dyd s(y)
∣ si^ y^ ∈^ T
0 en otro caso.
b) Caso multivariante: Sea X = (X 1 ,... , Xn)′^ un vector aleatorio cuya distribuci´on es absolutamente continua y sea fX(·) su funci´on de densidad de probabilidad. Sea S el soporte de fX(·); esto es, P (X ∈ S) = 1. Sea Y = r(X) una funci´on biyectiva, con Yi = ri(X), y sea T = r(S). Si x = s(y) representa la funci´on inversa de r(·), entonces la funci´on de densidad de probabilidad del vector aleatorio Y viene dada por:
fY (y) =
|J|fX(s(y)) si y ∈ T
0 en otro caso. Donde |J| es el valor absoluto del jacobiano de la transformaci´on. Esto es, J es el determinante de la matriz cuyo elemento (i, j) es (^) ∂y∂sij.
B. Esperanzas y Momentos.
4. Esperanzas.
a) Caso discreto: Si
x |x|^ f^ (x)^ <^ +∞, entonces^ E(X) =^
x x f^ (x). Si
x |g(x)|^ f^ (x)^ <^ +∞, entonces^ E(g(X)) =^
x g(x)f^ (x). b) Caso continuo: Si
−∞ |x|^ f^ (x)dx <^ +∞, entonces^ E(X) =^
−∞ x f^ (x)dx. Si
−∞ |g(x)|^ f^ (x)dx <^ +∞, entonces^ E(g(X)) =^
−∞ g(x)f^ (x)dx. c) Linealidad: E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y ) + c. d ) Si X e Y son independientes, E(XY ) = E(X)E(Y ). e) Si P (a ≤ X ≤ b) = 1 ⇒ a ≤ E(X) ≤ b. f ) Si P (X ≥ a) = 1 y E(X) = a ⇒ P (X = a) = 1. g) Si X ≤ Y ⇒ E(X) ≤ E(Y ). h) Desigualdad de Jensen: Si g(x) es convexa (por ejemplo g(x) = x^2 ) ⇒ E(g(X)) ≥ g(E(X)).
5. Momentos.
a) Momento de orden k : E(Xk), si existe esa esperanza. b) Momento de orden k respecto a la media: E((X − E(X))k), si existe esa esperanza. c) Si existe E(Xk) ⇒ existen E(Xj^ ) y E((X − E(X))j^ ) ∀j = 0, 1 ,... k.
C. Algunas distribuciones discretas:
9. Bernoulli Br(p).
a) Funci´on de probabilidad: f (x|p) = px(1 − p)^1 −x^ si x = 0, 1. b) Rango del par´ametro: 0 ≤ p ≤ 1. c) Media y Varianza: E(X) = p; V ar(X) = p(1 − p).
10. Binomial Bi(n, p).
a) Es la distribuci´on del n´umero de ´exitos en n pruebas Bernoulli independientes e id´enticamente distribuidas.
b) Funci´on de probabilidad: f (x|n, p) =
n x
px(1 − p)n−x^ si x = 0, 1 ,... , n.
c) Rango de los par´ametros: 0 ≤ p ≤ 1 y n = 1, 2 ,.. .. d ) Media y Varianza: E(X) = np; V ar(X) = np(1 − p). e) Funci´on generatriz de momentos: Ψ(t) = (pet^ + 1 − p)n. f ) Funci´on caracter´ıstica: Φ(t) = (peit^ + 1 − p)n. g) Sean X 1 ,... , Xn variables aleatorias independientes con Xi ∼ Bi(ni, p), entonces:
∑^ n
i=
Xi ∼ Bi
( (^) n ∑
i=
ni, p
h) Distribuci´on Bernoulli: X ∼ Br(p) si y s´olo si X ∼ Bi(1, p).
11. Hipergeom´etrica Hg(A, B, n).
a) Funci´on de probabilidad: f (x|A, B, n) =
A
x
A
B
n − x
A
A^ +^ B
n
A
si x = 0,... , n.
b) Rango de los par´ametros: A, B y n deben ser enteros mayores que 0. c) Media y Varianza: E(X) = (^) AnA+B ; V ar(X) = (^) (AnAB+B)( 2 A(+AB+B−n−)1). d ) Si Xi, Xj son variables aleatorias Bernoulli representando las extracciones i, j (i 6 = j) de una prueba hipergeom´etrica, entonces:
Cov(Xi, Xj ) = −
AB
(A + B)^2 (A + B − 1)
e) Si X 1 , X 2 son dos variables aleatorias independientes con Xi ∼ Bi(ni, p), entonces:
X 1 |(X 1 + X 2 = k) ∼ Hg(n 1 , n 2 , k).
f ) Si A + B es grande en comparaci´on con n, entonces Hg(x|A, B, n) ≈ Bi
x
∣n, (^) AA+B
12. Geom´etrica Ge(p).
a) Es la distribuci´on del n´umero de fracasos antes del primer ´exito en una sucesi´on de pruebas Bernoulli independientes e id´enticamente distribuidas. b) Funci´on de probabilidad: f (x|p) = p(1 − p)x^ si x = 0, 1 , 2 ,... c) Rango del par´ametro: 0 ≤ p ≤ 1. d ) Media y Varianza: E(X) = 1 − p p; V ar(X) = 1 − p 2 p.
13. Binomial Negativa Bn(r, p).
a) Es la distribuci´on del n´umero de fracasos antes del ´exito r en una sucesi´on de pruebas Bernoulli independientes e id´enticamente distribuidas.
b) Funci´on de probabilidad: f (x|r, p) =
r + x − 1 x
pr^ (1 − p)x^ si x = 0, 1 , 2 ,...
c) Rango de los par´ametros: 0 ≤ p ≤ 1 y r = 1, 2 ,.. .. d ) Media y Varianza: E(X) = r(1 p− p); V ar(X) = r(1 p− 2 p).
e) Funci´on generatriz de momentos: Ψ(t) =
[
p 1 −(1−p)et
]r para t < log
1 1 −p
f ) Funci´on caracter´ıstica: Φ(t) =
[
p 1 −(1−p)eit
]r .
g) Sean X 1 , X 2 ,... , Xn v.a. independientes, Xi ∼ Bn(ri, p) i = 1, 2 ,... , n, entonces:
∑^ n
i=
Xi ∼ Bn
( (^) n ∑
i=
ri, p
h) Distribuci´on Geom´etrica: X ∼ Ge(p) si y s´olo si X ∼ Bn(1, p).
14. Poisson P o(λ).
a) Funci´on de probabilidad: f (x|λ) = e
−λλx x! si^ x^ = 0,^1 ,... b) Rango del par´ametro: λ > 0. c) Media y Varianza: E(X) = V ar(X) = λ. d ) Funci´on generatriz de momentos: Ψ(t) = eλ(e
t−1) . e) Funci´on caracter´ıstica: Φ(t) = eλ(e
it−1) . f ) Si X 1 , X 2 ,... , Xn son variables aleatorias independientes, Xi ∼ P o(λi), entonces:
∑^ n
i=
Xi ∼ P o
( (^) n ∑
i=
λi
g) Si X 1 , X 2 son variables aleatorias independientes con Xi ∼ P o(λi) i = 1, 2 , entonces:
X 1 |(X 1 + X 2 = k) ∼ Bi
k,
λ 1 λ 1 + λ 2
h) Si n tiende a infinito y p tiende a cero, permaneciendo np = λ constante, entonces:
Bi(x|n, p) converge a P o(x|λ).
i) Si n tiende a infinito y (1 − p) tiende a cero, permaneciendo n(1 − p) = λ constante, entonces la funci´on de probabilidad Bn(x|r, p) converge a la funci´on de probabilidad P o(x|λ).
20. Beta Be(α, β).
a) Funci´on de densidad: f (x|α, β) = (^) Γ(Γ(αα)Γ(+ββ)) xα−^1 (1 − x)β−^1 si 0 < x < 1. b) Rango de los par´ametros: α > 0 y β > 0. c) Media y Varianza: E(X) = (^) α+αβ ; V ar(X) = (^) (α+β) 2 αβ(α+β+1)
d ) Funci´on generatriz de momentos: 1 +
k=
k− 1 r=
α+r α+β+r
tk k!. e) Si X ∼ Be(α, β), entonces: 1 − X ∼ Be(β, α). f ) Si X e Y son dos variables aleatorias independientes, con X ∼ Ga(α 1 , β) e Y ∼ Ga(α 2 , β), entonces (^) XX+Y y (X + Y ) son variables aleatorias independientes con distribuciones Be(α 1 , α 2 ) y Ga(α 1 + α 2 , β) respectivamente. g) Distribuci´on Uniforme: X ∼ U n(0, 1) si y s´olo si X ∼ Be(1, 1).
21. Cauchy Ca(μ, σ).
a) Funci´on de densidad: f (x|μ, σ) =
[
πσ
1 + ( x− σ μ)^2
)]− 1
∀x ∈ R. b) Rango de los par´ametros: μ ∈ R y σ > 0. c) Momentos: No existe ning´un momento. d ) Si X 1 y X 2 son variables aleatorias independientes con distribuci´on N (0, 1) entonces su co- ciente, X 1 /X 2 , sigue una distribuci´on Ca(0, 1).
22. t-Student t(ν).
a) Funci´on de densidad: f (x|ν) = Γ(^
ν+ √^2 ) νπΓ( ν 2 )
1 + x
2 ν
)− ν+1 2 ∀x ∈ R.
b) Rango del par´ametro: ν > 0.
c) Momentos E(Xk) = Γ(^
k+1 2 )Γ( ν− 2 k) √πΓ( ν 2 )^
νk/^2 si k es par y menor que ν. E(Xk) = 0 si k impar y menor que ν. E(Xk) no existe si k ≥ ν. d ) Media y Varianza: E(x) = 0 si ν > 1 , V ar(X) = (^) ν−ν 2 si ν > 2. e) Si Z ∼ N (0, 1) e Y ∼ χ^2 (ν) son independientes, entonces: X = √Z Y /ν ∼ t(ν).
f ) Distribuci´on Cauchy: X se distribuye Ca(0, 1) si y s´olo si X ∼ t(1).
23. F-Snedecor F (m, n).
a) Funci´on de densidad: f (x|m, n) = Γ( m+ 2 n) Γ( m 2 )Γ( n 2 ) m
m/ (^2) nn/ 2 xm/^2 −^1 (mx+n)(m+n)/^2 si^ x >^ 0. b) Rango de los par´ametros: m > 0 y n > 0.
c) Momentos: E(Xk) = Γ(^
m+2 2 k)Γ( n− 22 k) Γ( m 2 )Γ( n 2 ) (^
n m )
k (^) para k < n
E(Xk) no existe para k ≥ n 2.
d ) Media y Varianza: E(X) = (^) (n−n2) si n > 2 , V ar(X) = 2 n
(^2) (m+n−2) m(n−2)^2 (n−4) si^ n >^ 4. e) Sean Y ∼ χ^2 (m) y Z ∼ χ^2 (n) dos variables aleatorias independientes, entonces X = Y /m Z/n tiene una distribuci´on F (m, n). f ) Si X ∼ t(ν) entonces X^2 ∼ F (1, ν). g) Si X ∼ F (m, n), entonces Y = 1/X ∼ F (n, m). h) Si X ∼ F (m, n), entonces (^) mXmX+n ∼ Be(m/ 2 , n/2).
E. Estad´ıstica Aplicada:
24. Inferencia sobre una proporci´on poblacional
Error est´andar de πˆ: SE(ˆπ) =
ˆπ(1−πˆ) n donde ˆπ = r n es la proporci´on muestral, r el n´umero de ´exitos en la muestra y n el tama˜no muestral. Intervalo de confianza aproximado para π al 95 %: ˆπ ± 1.960 SE(ˆπ) Los intervalos de confianza con otros coeficientes (como 90 %, 99 %, etc) se construyen de forma similar, utilizando los correspondientes cuantiles de la Normal t´ıpica (1.645, 2.576, etc). Contraste sobre una proporci´on Hip´otesis H 0 : π = π 0 HA : π 6 = π 0 no direccional HA : π < π 0 direccional a la izquierda HA : π > π 0 direccional a la derecha
Estad´ıstico del contraste ts = q^ ππˆ 0 −(1π−^0 π 0 )
n Significatividad El p-valor se obtiene en la tabla de la Normal t´ıpica (t de Student con ∞ grados de libertad). Es un resultado aproximado, s´olo debe utilizarse si n es grande.
25. Inferencia sobre la varianza de una poblaci´on
Intervalo de confianza para σ^2 al 95 %:
(n−1)s^2 χ^20. 975 ,n− 1 ,^
(n−1)s^2 χ^20. 025 ,n− 1
donde n es el tama˜no muestral y s^2 la varianza muestral. χ^20. 025 ,n− 1 y χ^20. 975 ,n− 1 son los cuantiles 0 .025 y 0.975 de la distribuci´on Ji-cuadrado con n − 1 grados de libertad. Los intervalos de confianza con otros coeficientes de confianza (90 %, 99 %, etc) se construyen de forma similar, utilizando los cuantiles correspondientes. Test χ^2 Hip´otesis H 0 : σ^2 = σ^20 HA : σ^2 6 = σ^20 no direccional HA : σ^2 < σ^20 direccional a la izquierda HA : σ^2 > σ^20 direccional a la derecha Estad´ıstico del contraste χ^2 = (n−1)s
2 σ^20 El p-valor es el ´area de la cola, bajo la curva χ^2 con n−1 grados de libertad, en la direcci´on (o direcciones) especificada (especificadas) por HA. Decisi´on Rechazar H 0 cuando p-valor< α, siendo α el nivel de significatividad del contraste.
26. Inferencia sobre la media de una poblaci´on
Error est´andar de y¯: SE(¯y) = √sn Intervalo de confianza para μ al 95 %: y¯ ± t 0. 975 SE(¯y) donde t 0. 975 es el cuantil 0.975 de la distribuci´on t-Student con n − 1 grados de libertad. Los intervalos de confianza con otros coeficientes de confianza (90 %,99 %, etc) se construyen de forma similar, utilizando los cuantiles correspondientes. Intervalo de predicci´on para una nueva observaci´on al 95 %: y¯ ± t 0. 975 s
1 + (^) n^1 Test t Hip´otesis H 0 : μ = μ 0 HA : μ 6 = μ 0 no direccional HA : μ < μ 0 direccional a la izquierda HA : μ > μ 0 direccional a la derecha Estad´ıstico del contraste t = y SE(¯¯−μy^0 ) =
√n s (¯y^ −^ μ^0 ) El p-valor es el ´area de la cola, bajo la curva t-Student con n − 1 grados de libertad, en la direcci´on (o direcciones) especificada (especificadas) por HA. Decisi´on Rechazar H 0 cuando p-valor< α, siendo α el nivel de significatividad del contraste.
Estad´ıstico del contraste: U = m´aximo{K 1 , K 2 }, donde K 1 y K 2 se calculan como: K 1 Para cada valor de Y 1 contamos el n´umero de observaciones de Y 2 que tiene por debajo, y sumamos todos los valores obtenidos. Los empates cuentan por 12 cada uno. K 2 Para cada valor de Y 2 contamos el n´umero de observaciones de Y 1 que tiene por debajo, y sumamos todos los valores obtenidos. Los empates cuentan por 12 cada uno. Significatividad: El p-valor se obtiene comparando el valor de U con los valores cr´ıticos mos- trados en la tabla U de Mann-Whitney, en la fila que corresponde a los tama˜nos muestrales n(2) = m´aximo{n 1 , n 2 } y n(1) = m´ınimo{n 1 , n 2 }. Los p-valores de la tabla corresponden a hip´otesis no direccionales, si la hip´otesis alternativa es direccional habr´a que dividirlos por 2.
28. Comparaci´on de las varianzas de dos muestras independientes
Intervalo de confianza para σ
(^21) σ^22 al 95 %:
s^21 s^22
1 F 0. 975 ,n 1 − 1 ,n 2 − 1 ,^
s^21 s^22
1 F 0. 025 ,n 1 − 1 ,n 2 − 1
donde F 0. 025 ,n 1 − 1 ,n 2 − 1 y F 0. 975 ,n 1 − 1 ,n 2 − 1 son los cuantiles 0.025 y 0.975 de la distribuci´on F de Snedecor con n 1 − 1 y n 2 − 1 grados de libertad. Los intervalos de confianza con otros coeficientes de confianza (90 %, 99 %, etc) se construyen de forma similar, utilizando los cuantiles correspondientes. Test F Hip´otesis H 0 : σ^21 = σ^22 HA : σ^21 6 = σ^22 no direccional HA : σ^21 < σ^22 direccional a la izquierda HA : σ^21 > σ^22 direccional a la derecha Estad´ıstico del contraste F = s
(^21) s^22 El p-valor es el ´area de la cola, bajo la curva F con n 1 − 1 y n 2 − 1 grados de libertad, en la direcci´on (o direcciones) especificada (especificadas) por HA. Decisi´on Rechazar H 0 cuando p-valor< α, siendo α el nivel de significatividad del contraste.
29. Comparaci´on de las medias de k muestras independientes
Tabla ANOVA Fuente df (grados libertad) SS (suma de cuadrados) MS (cuadrados medios) F
Entre df(entre)= k − 1 SS(entre)=
∑k i=1 ni( ¯yi^ −^ y¯)
(^2) MS(entre)= SS(entre) df(entre)
MS(entre) MS(dentro)
Dentro df(dentro)= n − k SS(dentro)=
∑k i=1(ni^ −^ 1)s 2 i MS(dentro)=^
SS(dentro) df(dentro)
Total n − 1
∑k i=
∑ni j=1(yji^ −^ y¯)
2
Donde k es el n´umero de grupos, {y 1 i, y 2 i,... , ynii} son los ni datos del grupo i = 1,... , k cuya media y varianza son ¯yi y s^2 i. El n´umero total de datos es n =
∑k i=1 ni, y su media es ¯y. El test F global Hip´otesis H 0 : μ 1 = μ 2 =... = μk HA: Las μ’s no son todas iguales. Estad´ıstico del contraste: F = (^) MS(dentro)MS(entre) Significatividad: La distribuci´on del estad´ıstico F bajo la hip´otesis nula es la distribuci´on F , con grados de libertad del numerador df(entre) y grados de libertad del denominador df(dentro). Intervalo de confianza al 95 % para μi: ¯yi ± t 0. 975
MS(dentro) (^) n^1 i Donde t 0. 975 se refiere a la distribuci´on t-Student con n − k grados de libertad. Intervalo de confianza al 95 % sobre la diferencia μi − μj : y¯i−y¯j ±t 0. 975
MS(dentro) ( (^) n^1 i + (^) n^1 j ) Donde t 0. 975 se refiere a la distribuci´on t-Student con n − k grados de libertad.
30. Regresi´on lineal y correlaci´on
Notaci´on y estad´ısticos descriptivos b´asicos Datos: Son los n pares de valores observados {(xi, yi), i = 1,... , n}. Medias: ¯x = (^1) n
∑n i=1 xi^ ,^ ¯y^ =^
1 n
∑n i=1 yi. Sumas de cuadrados: SSx =
∑n i=1 (xi^ −^ x¯) (^2) , SSy = ∑n i=1 (yi^ −^ y¯) (^2) , SPxy = ∑n i=1 (xi^ −^ x¯)(yi^ −^ y¯). Varianzas y covarianza: s^2 x = (^) n−^11 SSx , s^2 y = (^) n−^11 SSy , sxy = (^) n−^11 SPxy. Coeficiente de correlaci´on muestral: r = √SPxy SSxSSy = (^) ssxxysy.
Recta de regresi´on M´ınimos Cuadrados: Y = b 0 + b 1 X, donde b 1 = SP SSxyx y b 0 = ¯y − b 1 x¯ Valores ajustados Son los valores ˆyi = b 0 + b 1 xi (i = 1,... , n). Residuos Son los valores yi − yˆi (i = 1,... , n). Suma de cuadrados residuales: SS(resid) =
∑n i=1(yi^ −^ yˆi) (^2) = SSy − SP (^2) xy SSx = SSy^ −^ SSx^ b
2
Desviaci´on t´ıpica residual: sy|x =
SS(resid) n− 2. Adem´as r^2 = 1 − SS(resid) SSy = SS SSxy b^21 y, si n es grande, sy|x ≃ sy
1 − r^2 Modelo de regresi´on lineal simple Normal homoced´astico Y = β 0 + β 1 X + ε donde ε es Normal con media 0 y varianza σ^2 desconocida. Equivalentemente, se supone que la distribuci´on de Y condicionada a X = x, Y |X = x, es Normal con media β 0 + β 1 x y varianza σ^2.
Error est´andar de b 1 : SE(b 1 ) =
s^2 y|x SSx Intervalo de confianza al 95 % para β 1 : b 1 ± t 0. 975 SE(b 1 ) donde t 0. 975 es el cuantil 0.975 de una distribuci´on t-Student con n − 2 grados de libertad. Otros niveles de confianza requerir´an sus correspondientes cuantiles. Contraste de linealidad: Hip´otesis: H 0 : β 1 = 0 HA : β 1 6 = 0 (no direccional) HA : β 1 > 0 (direccional a la derecha) HA : β 1 < 0 (direccional a la izquierda)
Estad´ıstico del contraste: t = (^) SE(b^1 b 1 ) = r
n− 2 1 −r^2 Significatividad: El p-valor del contraste viene determinado por la distribuci´on t-Student con n − 2 grados de libertad.
Intervalo de confianza al 95 % sobre el valor medio en x∗: b 0 +b 1 x∗±t 0. 975 sy|x
1 n +^
(¯x−x∗)^2 SSx Donde t 0. 975 se refiere a la distribuci´on t-Student con n − 2 grados de libertad. Intervalo de predicci´on al 95 % en x∗: b 0 + b 1 x∗^ ± t 0. 975 sy|x
1 + (^1) n + (¯x−x
∗) 2 SSx Donde t 0. 975 se refiere a la distribuci´on t-Student con n − 2 grados de libertad.
32a. Funci´on de distribuci´on Binomial.
35. Algunos cuantiles de la Normal T´ıpica.
(^2) Para mayores grados de libertad puede utilizarse el Teorema Central del l´ımite: Si X es Ji-cuadrado con n grados de
37. Cuantiles de la distribuci´on t-Student.
38. Cuantiles 0.90 de las distribuciones F con k y m grados de libertad.
k, grados de libertad del numerador
- n k p = 0.1 p = 0.2 p = 0.25 p = 0.3 p = 0.4 p = 0.
- 2 0 0.8100 0.6400 0.5625 0.4900 0.3600 0.
- 1 0.9900 0.9600 0.9375 0.9100 0.8400 0.
- 3 0 0.7290 0.5120 0.4219 0.3430 0.2160 0.
- 1 0.9720 0.8960 0.8438 0.7840 0.6480 0.
- 2 0.9990 0.9920 0.9844 0.9730 0.9360 0.
- 4 0 0.6561 0.4096 0.3164 0.2401 0.1296 0.
- 1 0.9477 0.8192 0.7383 0.6517 0.4752 0.
- 2 0.9963 0.9728 0.9492 0.9163 0.8208 0.
- 3 0.9999 0.9984 0.9961 0.9919 0.9744 0.
- 5 0 0.5905 0.3277 0.2373 0.1681 0.0778 0.
- 1 0.9185 0.7373 0.6328 0.5282 0.3370 0.
- 2 0.9914 0.9421 0.8965 0.8369 0.6826 0.
- 3 0.9995 0.9933 0.9844 0.9692 0.9130 0.
- 4 1.0000 0.9997 0.9990 0.9976 0.9898 0.
- 6 0 0.5314 0.2621 0.1780 0.1176 0.0467 0.
- 1 0.8857 0.6554 0.5339 0.4202 0.2333 0.
- 2 0.9842 0.9011 0.8306 0.7443 0.5443 0.
- 3 0.9987 0.9830 0.9624 0.9295 0.8208 0.
- 4 0.9999 0.9984 0.9954 0.9891 0.9590 0.
- 5 1.0000 0.9999 0.9998 0.9993 0.9959 0.
- 7 0 0.4783 0.2097 0.1335 0.0824 0.0280 0.
- 1 0.8503 0.5767 0.4449 0.3294 0.1586 0.
- 2 0.9743 0.8520 0.7564 0.6471 0.4199 0.
- 3 0.9973 0.9667 0.9294 0.8740 0.7102 0.
- 4 0.9998 0.9953 0.9871 0.9712 0.9037 0.
- 5 1.0000 0.9996 0.9987 0.9962 0.9812 0.
- 6 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9984 0.
- 8 0 0.4305 0.1678 0.1001 0.0576 0.0168 0.
- 1 0.8131 0.5033 0.3671 0.2553 0.1064 0.
- 2 0.9619 0.7969 0.6785 0.5518 0.3154 0.
- 3 0.9950 0.9437 0.8862 0.8059 0.5941 0.
- 4 0.9996 0.9896 0.9727 0.9420 0.8263 0.
- 5 1.0000 0.9988 0.9958 0.9887 0.9502 0.
- 6 1.0000 0.9999 0.9996 0.9987 0.9915 0.
- 7 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993 0.
- 9 0 0.3874 0.1342 0.0751 0.0404 0.0101 0.
- 1 0.7748 0.4362 0.3003 0.1960 0.0705 0.
- 2 0.9470 0.7382 0.6007 0.4628 0.2318 0.
- 3 0.9917 0.9144 0.8343 0.7297 0.4826 0.
- 4 0.9991 0.9804 0.9511 0.9012 0.7334 0.
- 5 0.9999 0.9969 0.9900 0.9747 0.9006 0.
- 6 1.0000 0.9997 0.9987 0.9957 0.9750 0.
- 7 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9962 0.
- 8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.
- n k p = 0.1 p = 0.2 p = 0.25 p = 0.3 p = 0.4 p = 0. 32b. Funci´on de distribuci´on Binomial. (Continuaci´on)
- 10 0 0.3487 0.1074 0.0563 0.0282 0.0060 0. - 1 0.7361 0.3758 0.2440 0.1493 0.0464 0. - 2 0.9298 0.6778 0.5256 0.3828 0.1673 0. - 3 0.9872 0.8791 0.7759 0.6496 0.3823 0. - 4 0.9984 0.9672 0.9219 0.8497 0.6331 0. - 5 0.9999 0.9936 0.9803 0.9527 0.8338 0. - 6 1.0000 0.9991 0.9965 0.9894 0.9452 0. - 7 1.0000 0.9999 0.9996 0.9984 0.9877 0. - 8 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9983 0. - 9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.
- 15 0 0.2059 0.0352 0.0134 0.0047 0.0005 0. - 1 0.5490 0.1671 0.0802 0.0353 0.0052 0. - 2 0.8159 0.3980 0.2361 0.1268 0.0271 0. - 3 0.9444 0.6482 0.4613 0.2969 0.0905 0. - 4 0.9873 0.8358 0.6865 0.5155 0.2173 0. - 5 0.9978 0.9389 0.8516 0.7216 0.4032 0. - 6 0.9997 0.9819 0.9434 0.8689 0.6098 0. - 7 1.0000 0.9958 0.9827 0.9500 0.7869 0. - 8 1.0000 0.9992 0.9958 0.9848 0.9050 0. - 9 1.0000 0.9999 0.9992 0.9963 0.9662 0. - 10 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993 0.9907 0. - 11 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9981 0. - 12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0. - 13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0. - 14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.
- 20 0 0.1216 0.0115 0.0032 0.0008 0.0000 0. - 1 0.3917 0.0692 0.0243 0.0076 0.0005 0. - 2 0.6769 0.2061 0.0913 0.0355 0.0036 0. - 3 0.8670 0.4114 0.2252 0.1071 0.0160 0. - 4 0.9568 0.6296 0.4148 0.2375 0.0510 0. - 5 0.9887 0.8042 0.6172 0.4164 0.1256 0. - 6 0.9976 0.9133 0.7858 0.6080 0.2500 0. - 7 0.9996 0.9679 0.8982 0.7723 0.4159 0. - 8 0.9999 0.9900 0.9591 0.8867 0.5956 0. - 9 1.0000 0.9974 0.9861 0.9520 0.7553 0. - 10 1.0000 0.9994 0.9961 0.9829 0.8725 0. - 11 1.0000 0.9999 0.9991 0.9949 0.9435 0. - 12 1.0000 1.0000 0.9998 0.9987 0.9790 0. - 13 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9935 0. - 14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9984 0. - 15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0. - 16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0. - 17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0. - 18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1. - 19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.
- 0 0.3679 0.1353 0.0498 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 0.0003 0.0001 0.0000 x λ = 1 λ = 2 λ = 3 λ = 4 λ = 5 λ = 6 λ = 7 λ = 8 λ = 9 λ = 10 x
- 1 0.7358 0.4060 0.1991 0.0916 0.0404 0.0174 0.0073 0.0030 0.0012 0.0005
- 2 0.9197 0.6767 0.4232 0.2381 0.1247 0.0620 0.0296 0.0138 0.0062 0.0028
- 3 0.9810 0.8571 0.6472 0.4335 0.2650 0.1512 0.0818 0.0424 0.0212 0.0103
- 4 0.9963 0.9473 0.8153 0.6288 0.4405 0.2851 0.1730 0.0996 0.0550 0.0293
- 5 0.9994 0.9834 0.9161 0.7851 0.6160 0.4457 0.3007 0.1912 0.1157 0.0671
- 6 0.9999 0.9955 0.9665 0.8893 0.7622 0.6063 0.4497 0.3134 0.2068 0.1301
- 7 1.0000 0.9989 0.9881 0.9489 0.8666 0.7440 0.5987 0.4530 0.3239 0.2202
- 8 0.9998 0.9962 0.9786 0.9319 0.8472 0.7291 0.5925 0.4557 0.3328
- 9 1.0000 0.9989 0.9919 0.9682 0.9161 0.8305 0.7166 0.5874 0.4579
- 10 0.9997 0.9972 0.9863 0.9574 0.9015 0.8159 0.7060 0.5830
- 11 0.9999 0.9991 0.9945 0.9799 0.9467 0.8881 0.8030 0.6968
- 12 1.0000 0.9997 0.9980 0.9912 0.9730 0.9362 0.8758 0.7916
- 13 0.9999 0.9993 0.9964 0.9872 0.9658 0.9261 0.8645
- 14 1.0000 0.9998 0.9986 0.9943 0.9827 0.9585 0.9165
- 15 0.9999 0.9995 0.9976 0.9918 0.9780 0.9513
- 16 1.0000 0.9998 0.9990 0.9963 0.9889 0.9730
- 17 0.9999 0.9996 0.9984 0.9947 0.9857
- 18 1.0000 0.9999 0.9993 0.9976 0.9928
- 19 1.0000 0.9997 0.9989 0.9965
- 20 0.9999 0.9996 0.9984
- 21 1.0000 0.9998 0.9993
- 22 0.9999 0.9997
- 23 1.0000 0.9999
- 24 1.0000
- z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0. 34. Funci´on de Distribuci´on de la Normal T´ıpica.
- 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.
- 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.
- 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.
- 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.
- 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.
- 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.
- 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.
- 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.
- 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.
- 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.
- 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.
- 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.
- 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.
- 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.
- 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.
- 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.
- 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.
- 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.
- 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.
- 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.
- 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.
- 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.
- 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.
- 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.
- 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.
- 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.
- 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.
- 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.
- 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.
- 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.
- 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.
- 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.
- 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.
- 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.
- 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.
- 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.
- 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.
- 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.
- 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.
- 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1. - 0.55 0.126 0.80 0.842 0.93 1.476 0.9800 2.054 0.999900 3. α qα α qα α qα α qα α qα - 0.60 0.253 0.85 1.036 0.94 1.555 0.9900 2.326 0.999950 3. - 0.65 0.385 0.90 1.282 0.95 1.645 0.9950 2.576 0.999990 4. - 0.70 0.524 0.91 1.341 0.96 1.751 0.9990 3.090 0.999995 4. - 0.75 0.674 0.92 1.405 0.97 1.881 0.9995 3.291 0.999999 4.
- 36a. Cuantiles de la distribuci´on Ji Cuadrado - 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 0.20 0.25 0.30 0. g.l. Orden de los cuantiles - 1 0.0000 0.0002 0.0010 0.0039 0.0158 0.0642 0.1015 0.1485 0. - 2 0.0100 0.0201 0.0506 0.1026 0.2107 0.4463 0.5754 0.7133 1. - 3 0.0717 0.1148 0.2158 0.3518 0.5844 1.0052 1.2125 1.4237 1. - 4 0.2070 0.2971 0.4844 0.7107 1.0636 1.6488 1.9226 2.1947 2. - 5 0.4117 0.5543 0.8312 1.1455 1.6103 2.3425 2.6746 2.9999 3. - 6 0.6757 0.8721 1.2373 1.6354 2.2041 3.0701 3.4546 3.8276 4. - 7 0.9893 1.2390 1.6899 2.1673 2.8331 3.8223 4.2549 4.6713 5. - 8 1.3444 1.6465 2.1797 2.7326 3.4895 4.5936 5.0706 5.5274 6. - 9 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682 5.3801 5.8988 6.3933 7. - 10 2.1559 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652 6.1791 6.7372 7.2672 8. - 11 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 5.5778 6.9887 7.5841 8.1479 9. - 12 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038 7.8073 8.4384 9.0343 10. - 13 3.5650 4.1069 5.0088 5.8919 7.0415 8.6339 9.2991 9.9257 11. - 14 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 7.7895 9.4673 10.165 10.821 12. - 15 4.6009 5.2293 6.2621 7.2609 8.5468 10.307 11.036 11.721 13. - 16 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 9.3122 11.152 11.912 12.624 13. - 17 5.6972 6.4078 7.5642 8.6718 10.085 12.002 12.792 13.531 14. - 18 6.2648 7.0149 8.2307 9.3905 10.865 12.857 13.675 14.440 15. - 19 6.8440 7.6327 8.9065 10.117 11.651 13.716 14.562 15.352 16. - 20 7.4338 8.2604 9.5908 10.851 12.443 14.578 15.452 16.266 17. - 21 8.0337 8.8972 10.283 11.591 13.240 15.445 16.344 17.182 18. - 22 8.6427 9.5425 10.982 12.338 14.042 16.314 17.240 18.101 19. - 23 9.2604 10.196 11.689 13.090 14.848 17.187 18.137 19.021 20. - 24 9.8862 10.856 12.401 13.848 15.659 18.062 19.037 19.943 21. - 25 10.520 11.524 13.120 14.611 16.473 18.940 19.939 20.867 22. - 26 11.160 12.198 13.844 15.379 17.292 19.820 20.843 21.792 23. - 27 11.808 12.878 14.573 16.151 18.114 20.703 21.749 22.719 24. - 28 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 21.588 22.657 23.647 25. - 29 13.121 14.257 16.047 17.708 19.768 22.475 23.567 24.577 26. - 30 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 23.364 24.478 25.508 27. - 31 14.458 15.656 17.539 19.281 21.434 24.255 25.390 26.440 28. - 32 15.134 16.362 18.291 20.072 22.271 25.148 26.304 27.373 29. - 33 15.815 17.073 19.047 20.867 23.110 26.042 27.219 28.307 30. - 34 16.501 17.789 19.806 21.664 23.952 26.938 28.136 29.242 31. - 35 17.192 18.509 20.569 22.465 24.797 27.836 29.054 30.178 32. - 36 17.887 19.233 21.336 23.269 25.643 28.735 29.973 31.115 33. - 37 18.586 19.960 22.106 24.075 26.492 29.635 30.893 32.053 34. - 38 19.289 20.691 22.878 24.884 27.343 30.537 31.815 32.992 35. - 39 19.996 21.426 23.654 25.695 28.196 31.441 32.737 33.931 36. - 40 20.706 22.164 24.433 26.509 29.051 32.345 33.660 34.872 37. - 50 27.991 29.707 32.357 34.764 37.689 41.449 42.942 44.313 46. - 60 35.535 37.485 40.482 43.188 46.459 50.641 52.294 53.809 56. - 70 43.275 45.442 48.758 51.739 55.329 59.898 61.698 63.346 66. - 80 51.172 53.540 57.153 60.391 64.278 69.207 71.145 72.915 76. - 90 59.196 61.754 65.647 69.126 73.291 78.558 80.625 82.511 85.
- 100 67.328 70.065 74.222 77.929 82.358 87.945 90.133 92.129 95. - 0.50 0.60 0.70 0.75 0.80 0.90 0.95 0.975 0.99 0. g.l. Orden de los cuantiles
- 1 0.4549 0.7083 1.0742 1.3233 1.6424 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 7.
- 2 1.3863 1.8326 2.4079 2.7726 3.2189 4.6052 5.9915 7.3778 9.2103 10.
- 3 2.3660 2.9462 3.6649 4.1083 4.6416 6.2514 7.8147 9.3484 11.345 12.
- 4 3.3567 4.0446 4.8784 5.3853 5.9886 7.7794 9.4877 11.143 13.277 14.
- 5 4.3515 5.1319 6.0644 6.6257 7.2893 9.2364 11.071 12.833 15.086 16.
- 6 5.3481 6.2108 7.2311 7.8408 8.5581 10.645 12.592 14.449 16.812 18.
- 7 6.3458 7.2832 8.3834 9.0371 9.8032 12.017 14.067 16.013 18.475 20.
- 8 7.3441 8.3505 9.5245 10.219 11.030 13.362 15.507 17.535 20.090 21.
- 9 8.3428 9.4136 10.656 11.389 12.242 14.684 16.919 19.023 21.666 23.
- 10 9.3418 10.473 11.781 12.549 13.442 15.987 18.307 20.483 23.209 25.
- 11 10.341 11.530 12.899 13.701 14.631 17.275 19.675 21.920 24.725 26.
- 12 11.340 12.584 14.011 14.845 15.812 18.549 21.026 23.337 26.217 28.
- 13 12.340 13.636 15.119 15.984 16.985 19.812 22.362 24.736 27.688 29.
- 14 13.339 14.685 16.222 17.117 18.151 21.064 23.685 26.119 29.141 31.
- 15 14.339 15.733 17.322 18.245 19.311 22.307 24.996 27.488 30.578 32.
- 16 15.339 16.779 18.418 19.369 20.465 23.542 26.296 28.845 32.000 34.
- 17 16.338 17.824 19.511 20.489 21.615 24.769 27.587 30.191 33.409 35.
- 18 17.338 18.868 20.601 21.605 22.760 25.989 28.869 31.526 34.805 37.
- 19 18.338 19.910 21.689 22.718 23.900 27.204 30.143 32.852 36.191 38.
- 20 19.337 20.951 22.774 23.828 25.038 28.412 31.410 34.170 37.566 39.
- 21 20.337 21.992 23.858 24.935 26.171 29.615 32.671 35.479 38.932 41.
- 22 21.337 23.031 24.939 26.039 27.302 30.813 33.924 36.781 40.289 42.
- 23 22.337 24.069 26.018 27.141 28.429 32.007 35.173 38.076 41.638 44.
- 24 23.337 25.106 27.096 28.241 29.553 33.196 36.415 39.364 42.980 45.
- 25 24.337 26.143 28.172 29.339 30.675 34.382 37.653 40.646 44.314 46.
- 26 25.337 27.179 29.246 30.435 31.795 35.563 38.885 41.923 45.642 48.
- 27 26.336 28.214 30.319 31.528 32.912 36.741 40.113 43.194 46.963 49.
- 28 27.336 29.249 31.391 32.620 34.027 37.916 41.337 44.461 48.278 50.
- 29 28.336 30.282 32.461 33.711 35.139 39.088 42.557 45.722 49.588 52.
- 30 29.336 31.316 33.530 34.800 36.250 40.256 43.773 46.979 50.892 53.
- 31 30.336 32.349 34.598 35.887 37.359 41.422 44.985 48.232 52.191 55.
- 32 31.336 33.381 35.665 36.973 38.466 42.585 46.194 49.480 53.486 56.
- 33 32.336 34.413 36.731 38.057 39.572 43.745 47.400 50.725 54.776 57.
- 34 33.336 35.444 37.795 39.141 40.676 44.903 48.602 51.966 56.061 58.
- 35 34.336 36.475 38.859 40.223 41.778 46.059 49.802 53.203 57.342 60.
- 36 35.336 37.505 39.922 41.304 42.879 47.212 50.999 54.437 58.619 61.
- 37 36.335 38.535 40.984 42.383 43.978 48.363 52.192 55.668 59.893 62.
- 38 37.335 39.564 42.045 43.462 45.076 49.513 53.383 56.896 61.162 64.
- 39 38.335 40.593 43.105 44.540 46.173 50.660 54.572 58.120 62.428 65.
- 40 39.335 41.622 44.165 45.616 47.269 51.805 55.758 59.342 63.691 66.
- 50 49.335 51.892 54.723 56.334 58.164 63.167 67.505 71.420 76.154 79.
- 60 59.335 62.135 65.227 66.981 68.972 74.397 79.082 83.298 88.379 91.
- 70 69.335 72.358 75.689 77.577 79.715 85.527 90.531 95.023 100.43 104.
- 80 79.334 82.566 86.120 88.130 90.405 96.578 101.88 106.63 112.33 116.
- 90 89.334 92.761 96.524 98.650 101.05 107.57 113.15 118.14 124.12 128.
- 100 99.334 102.95 106.91 109.14 111.67 118.50 124.34 129.56 135.81 140. - .55 .60 .65 .70 .75 .80 .85 .90 .95 .975 .99. g.l. Orden de los cuantiles - 1 0.158 0.325 0.510 0.727 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63. - 2 0.142 0.289 0.445 0.617 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9. - 3 0.137 0.277 0.424 0.584 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5. - 4 0.134 0.271 0.414 0.569 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4. - 5 0.132 0.267 0.408 0.559 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4. - 6 0.131 0.265 0.404 0.553 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3. - 7 0.130 0.263 0.402 0.549 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3. - 8 0.130 0.262 0.399 0.546 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3. - 9 0.129 0.261 0.398 0.543 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.
- 10 0.129 0.260 0.397 0.542 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.
- 11 0.129 0.260 0.396 0.540 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.
- 12 0.128 0.259 0.395 0.539 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.
- 13 0.128 0.259 0.394 0.538 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.
- 14 0.128 0.258 0.393 0.537 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.
- 15 0.128 0.258 0.393 0.536 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.
- 16 0.128 0.258 0.392 0.535 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.
- 17 0.128 0.257 0.392 0.534 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.
- 18 0.127 0.257 0.392 0.534 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.
- 19 0.127 0.257 0.391 0.533 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.
- 20 0.127 0.257 0.391 0.533 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.
- 21 0.127 0.257 0.391 0.532 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.
- 22 0.127 0.256 0.390 0.532 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.
- 23 0.127 0.256 0.390 0.532 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.
- 24 0.127 0.256 0.390 0.531 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.
- 25 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.
- 26 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.
- 27 0.127 0.256 0.389 0.531 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.
- 28 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.
- 29 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.
- 30 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.
- 31 0.127 0.256 0.389 0.530 0.682 0.853 1.054 1.309 1.696 2.040 2.453 2.
- 32 0.127 0.255 0.389 0.530 0.682 0.853 1.054 1.309 1.694 2.037 2.449 2.
- 33 0.127 0.255 0.389 0.530 0.682 0.853 1.053 1.308 1.692 2.035 2.445 2.
- 34 0.127 0.255 0.389 0.529 0.682 0.852 1.052 1.307 1.691 2.032 2.441 2.
- 35 0.127 0.255 0.388 0.529 0.682 0.852 1.052 1.306 1.690 2.030 2.438 2.
- 40 0.126 0.255 0.388 0.529 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.
- 45 0.126 0.255 0.388 0.528 0.680 0.850 1.049 1.301 1.679 2.014 2.412 2.
- 50 0.126 0.255 0.388 0.528 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.
- 60 0.126 0.254 0.387 0.527 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.
- 70 0.126 0.254 0.387 0.527 0.678 0.847 1.044 1.294 1.667 1.994 2.381 2.
- 80 0.126 0.254 0.387 0.526 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.
- 90 0.126 0.254 0.387 0.526 0.677 0.846 1.042 1.291 1.662 1.987 2.368 2.
- 100 0.126 0.254 0.386 0.526 0.677 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.
- 120 0.126 0.254 0.386 0.526 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.
- ∞ 0.126 0.253 0.385 0.524 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.
- 1 39.86 49.50 53.59 55.83 57.24 59.44 60.71 61.22 61.74 62.26 62.79 63. m 1 2 3 4 5 8 12 15 20 30 60 ∞
- 2 8.526 9.000 9.162 9.243 9.293 9.367 9.408 9.425 9.441 9.458 9.475 9.
- 3 5.538 5.462 5.391 5.343 5.309 5.252 5.216 5.200 5.185 5.168 5.151 5.
- 4 4.545 4.325 4.191 4.107 4.051 3.955 3.895 3.870 3.844 3.817 3.790 3.
- 5 4.060 3.780 3.619 3.520 3.453 3.339 3.268 3.238 3.207 3.174 3.140 3.
- 6 3.776 3.463 3.289 3.181 3.108 2.983 2.905 2.871 2.836 2.800 2.762 2.
- 7 3.589 3.257 3.074 2.961 2.883 2.752 2.668 2.632 2.595 2.556 2.514 2.
- 8 3.458 3.113 2.924 2.806 2.726 2.589 2.502 2.464 2.425 2.383 2.339 2.
- 9 3.360 3.007 2.813 2.693 2.611 2.469 2.379 2.340 2.298 2.255 2.208 2.
- 10 3.285 2.924 2.728 2.605 2.522 2.377 2.284 2.243 2.201 2.155 2.107 2.
- 11 3.225 2.859 2.660 2.536 2.451 2.304 2.209 2.167 2.123 2.076 2.026 1.
- 12 3.177 2.807 2.605 2.480 2.394 2.245 2.147 2.105 2.060 2.011 1.960 1.
- 13 3.136 2.763 2.560 2.434 2.347 2.195 2.097 2.053 2.007 1.958 1.904 1.
- 14 3.102 2.727 2.522 2.395 2.307 2.154 2.054 2.010 1.962 1.912 1.857 1.
- 15 3.073 2.695 2.490 2.361 2.273 2.118 2.017 1.972 1.924 1.873 1.817 1.
- 16 3.048 2.668 2.462 2.333 2.244 2.088 1.985 1.940 1.891 1.839 1.782 1.
- 17 3.026 2.645 2.437 2.308 2.218 2.061 1.958 1.912 1.862 1.809 1.751 1.
- 18 3.007 2.624 2.416 2.286 2.196 2.038 1.933 1.887 1.837 1.783 1.723 1.
- 19 2.990 2.606 2.397 2.266 2.176 2.017 1.912 1.865 1.814 1.759 1.699 1.
- 20 2.975 2.589 2.380 2.249 2.158 1.998 1.892 1.845 1.794 1.738 1.677 1.
- 21 2.961 2.575 2.365 2.233 2.142 1.982 1.875 1.827 1.776 1.719 1.657 1.
- 22 2.949 2.561 2.351 2.219 2.128 1.967 1.859 1.811 1.759 1.702 1.639 1.
- 23 2.937 2.549 2.339 2.207 2.115 1.953 1.845 1.796 1.744 1.686 1.622 1.
- 24 2.927 2.538 2.327 2.195 2.103 1.941 1.832 1.783 1.730 1.672 1.607 1.
- 25 2.918 2.528 2.317 2.184 2.092 1.929 1.820 1.771 1.717 1.659 1.593 1.
- 26 2.909 2.519 2.307 2.174 2.082 1.919 1.809 1.760 1.706 1.647 1.581 1.
- 27 2.901 2.511 2.299 2.165 2.073 1.909 1.799 1.749 1.695 1.636 1.569 1.
- 28 2.894 2.503 2.291 2.157 2.065 1.900 1.789 1.740 1.685 1.625 1.558 1.
- 29 2.887 2.496 2.283 2.149 2.057 1.892 1.781 1.731 1.676 1.615 1.547 1.
- 30 2.881 2.489 2.276 2.142 2.049 1.884 1.773 1.722 1.667 1.607 1.538 1.
- 40 2.835 2.440 2.226 2.091 1.997 1.829 1.715 1.662 1.605 1.541 1.467 1.
- 60 2.791 2.393 2.177 2.041 1.946 1.775 1.657 1.603 1.543 1.475 1.395 1.
- 90 2.762 2.363 2.146 2.008 1.912 1.739 1.620 1.564 1.503 1.432 1.346 1.
- 120 2.748 2.347 2.130 1.992 1.896 1.722 1.601 1.545 1.482 1.409 1.320 1.
- ∞ 2.705 2.303 2.084 1.945 1.847 1.670 1.546 1.487 1.421 1.342 1.240 1.
