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Grado en Ciencias Ambientales.
1 1
i i
i
i
i L L
n
n N
C L
DESCRIPTIVA UNIVARIANTE Y BIVARIANTE
MEDIA ARITMÉTICA
n
x
X
n
i
i
1 (Para datos dados en serie)
n
Xn
X
k
i
i i
1 (Para datos dados en tablas de frecuencias)
CUANTILES (Para distribuciones en intervalos):
VARIANZA
1 2
2
1
2
2
X
n
x
n
x X
S
n
i
i
n
i
i
(Para datos dados en serie)
Ó
1 2
2
1
2
2
X
n
x n
n
x X n
S
K
i
i i
K
i
i i
(Para datos dados en tablas de frecuencias)
DESVIACIÓN TÍPICA
2 S S
COEFICIENTE DE VARIACIÓN 100
X
S
Cv
MEDIDA DE ASIMETRÍA 3
1
3
1
n
X X n
g
k
i
i i
MEDIDA DE CURTOSIS 3
( )
4
1
4
2
n
X X n
g
k
i
i i
COVARIANZA ( SXY o COV(X,Y)):
(Para datos dados en tablas de doble entrada)
1 1 1 1
1 1
r s r s
i j ij i j ij i j i j XY
n n
k k i i k k XY
X X Y Y n X Y n
S X Y ó n n
X X Y Y X Y
S X Y
n n
(Para datos dados en serie)
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
X Y
XY
X Y S S
S
S S
X Y
cov( , ) r
RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X
0 1
Y b b X
Siendo los coeficientes:
2
, (^12)
x
xy
x S
S
S
Cov X Y b
y b 0 Yb 1 X
Coeficiente de fiabilidad
2 2
2 2 1 oR (r) S
S
R
y
e
RECTA DE REGRESIÓN DE X SOBRE Y
X b bY
' 1
' 0
Siendo los coeficientes:
2
, 2
' 1
y
xy
y S
S
S
Cov X Y b
y b X bY
' 1
' 0
PROBABILIDAD
PROBABILIDAD CONDICIONADA
( )
( ) ( / ) P B
P A B P A B
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
n
i
P B PB AiP Ai
1
TEOREMA DE BAYES
n
j
i i i PB AjP Aj
P B A P Ai
P B
P A B P A B
1
( / ) ( )
( / ) ( )
( )
( ) ( / )
MODELOS DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
V.A. UNIFORME.
N
P x xi
( ) para todo xi=1, 2, …, N yP( X x) 0
six 1
x N
j x j
x
si
si
si
Fxx j N
Grado en Ciencias Ambientales.
V.A. BERNOULLI
toma los valores 0 y 1.
P (X 0 )P(F) 1 p y P(X 1 )P(E)p
Es decir,
x x
P X x p p
1
( ) ( 1 ) siendo X=0,
La función de distribución es
x
x
x
si
si
si
Fx x p
V.A. BINOMIAL
X(w) toma los valores 0, 1, 2, 3, …n
La función de probabilidad es
x n x
p p
x
n
P X x
V.A. GEOMÉTRICA
toma los valores 0, 1, 2, 3, …
La función de probabilidad esP X x p p
x
V. A. BINOMIAL NEGATIVA
La función de probabilidad es
r x
p p
x
r x
P X x ( 1 )
POISSON Toma los valores 0, 1, 2, 3, …
x
P X x e
x
^
para todo >
MODELOS DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
UNIFORME CONTINUA Su función de densidad está definida de la siguiente forma:
b a
f x
1 ( )^ con aXb
Su función de distribución es
b a
x a
dx
b a
F x f xdx
x
a
x
( ) ( ) con aXb
EXPONENCIAL
Su función de densidad es
x
f x e
( ) con x 0
Y por tanto con una función de distribución de la siguiente forma:
x
x
F x f xdx e
( ) ( ) 1 con X>
NORMAL
La variable aleatoria continua Normal tiene como función de densidad
x
f x e
2
1
ESPERANZA
En el caso discreto:
i
i i
E (X) xP(X x)
En el caso continuo:
E (X) xf(x)dx
VARIANZA
2 2
VAR( X)E(X )E(X)
MUESTREO:
Intervalos en el Muestreo Aleatorio Simple (MAS) : Intervalo de confianza para la media:
n
s
N
N n y z
c
2
(^) siendo
2 2
1
c
nS s n
Tamaño óptimo para estimar la media es:
2 2 1 / 2 2 2 2 1 / 2
NZ
n Ne Z
donde 2 habrá que estimarlo convenientemente.
Intervalo de confianza para la proporción:
1 / 2 1
N n pq p z N n
Tamaño óptimo para estimar una proporción es
e N Z PQ
Z PQN
n 2 2
2
1 / 2
1 / 2
( 1 )
donde PQ habrá que estimarlo convenientemente
Modelo de variable aleatoria
Bernoulli Be(p)
Binomial Bi(n,p)
Geométrica Ge(p)
Poisson Po(λ)
Exponencial E(λ)
Media p np q/p λ 1/λ
Varianza pq npq q/p 2 λ 1/λ 2
