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G.C
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FUNCIÓN CUADRÁTICA
A la función polinómica de grado dos se la denomina función cuadrática. Los
términos de la función reciben los siguientes nombres:
𝟐
La representación gráfica de esta función es una parábola y para graficarla
necesitamos varios elementos que serán detallados a continuación:
RAÍCES : también denominado conjunto de ceros. Son los puntos de intersección de
la parábola con el eje de las abscisas, es decir que son los valores que verifican 𝒇(𝒙) =
𝟎. Para poder encontrarlos, se utiliza la denominada fórmula resolvente:
1 ; 2
2
A las raíces que se hayan como solución se expresan de la siguiente forma:
0
1
2
Al radicando 𝑏
2
− 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ( aquello que se encuentra adentro de la raíz ) se lo denomina
discriminante ya que el valor del mismo sirve para discriminar la naturaleza de las raíces
(se lo simboliza con la letra griega delta ∆):
2
Por lo cual, dependiendo del discriminante tendremos diversos tipos de raíces.
Gráficamente obtenemos
dos intersecciones de la
Gráficamente obtenemos
una sola intersección de la
Gráficamente no tenemos
raíces.
Término
cuadrático
Término
lineal
Término
independiente
2
parábola con el eje de las
abscisas.
parábola con el eje de
abscisas.
VÉRTICE : Punto donde la parábola interseca al eje de simetría. Será el punto de
coordenadas (𝑋
𝑣
𝑣
)) donde:
𝑣
𝑣
𝑣
2
EJE DE SIMETRÍA : recta vertical que se encuentra en 𝑋 = 𝑋 𝑣
entonces estará en 𝑥 =
−𝑏
2 ∙𝑎
ORDENADA AL ORIGEN: Es el punto donde está la intersección de la función con
el eje de las ordenadas: (0;c). La parábola interseca al eje de las ordenadas en 𝑦 = ±𝑐.
Obteniendo todos esos datos, podremos graficar la parábola sobre un par de ejes
cartesianos.
EJEMPLO
𝟐
RAÍCES :
Aplicando la fórmula resolvente:
1 ; 2
2
Realizando operaciones :
1 ; 2
1 ; 2
1 ; 2
4
REPRESENTACIÓN:
A modo de resumen:
RAÍCES VÉRTICE
EJE DE
SIMETRÍA
ORDENADA
AL ORIGEN
1 ; 2
2
𝒗
𝒗
𝑣
𝑣
𝑣
𝑣
Ingresar al siguiente link para observar el comportamiento de una función cuadrática y
sacar conclusiones:
https://www.geogebra.org/m/brac8pt
Como podemos observar, la concavidad de la parábola dependerá del valor de a:
➢ 𝑠𝑖 𝑎 > 0 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑒 "abre" ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑙 + ∞)
➢ 𝑠𝑖 𝑎 < 0 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑒 "abre" ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑙 − ∞)
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ESTUDIO COMPLETO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
El DOMINIO de esta función será el conjunto de los números reales. Entonces:
La IMAGEN es el conjunto de valores que me indica el comportamiento de la función
a lo largo del eje y.
→ 𝐼𝑚 = [𝑌
𝑣
𝑣
]
Las RAÍCES o CONJUNTO DE CEROS es el conjunto de los valores por los cuales
la parábola se interseca con el eje x
0
1
2
La ORDENADA AL ORIGEN es el punto en el cual la parábola interseca al eje y
INTERVALO DE CRECIMIENTO : intervalo que indica el crecimiento de la función.
INTERVALO DE DECRECIMIENTO : intervalo que indica el decrecimiento de la
función.
CONJUNTO DE POSITIVIDAD : conjunto que indica el comportamiento de la
función por encima del eje x.
CONJUNTO DE NEGATIVIDAD : conjunto que indica el comportamiento de la
función por debajo del eje x.
MÁXIMO/MÍNIMO
Si la concavidad es positiva → la parábola tiene un mínimo en el vértice.
Si la concavidad es negativa → la parábola tiene un máximo en el vértice.
Tanto para el conjunto de positividad como
para el de negatividad, es importante tener en
cuenta las intersecciones de la parábola con el
eje x (las raíces)
