Tutorial de Función Cuadrática: Nivel Medio - Matemática 2006, Apuntes de Matemáticas

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Matemática 2006

Tutorial Nivel Medio

Función cuadrática

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(^0123456789) 0

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Función Cuadrática

Marco Teórico

1. Función cuadrática :

Está representada por: y = ax^2 + bx + c ó f ( x ) = ax^2 + bx + c Su representación gráfica es una parábola.

1. 1 Análisis de sus coeficientes:

- a^ : concavidad de la parábola.

a> 0 a<^0

Si a > 0 , la parábola va hacia arriba. Si a < 0 , la parábola va hacia abajo.

- c^ : punto de intersección de la parábola con el eje^ y.

1. 2 Eje de simetría y vértice de la parábola:

Eje de simetría: x = (^) 2 - ba Vértice: V = ( (^) 2 - ba , f (^) ( (^) 2 - ba ))

El vértice nos permite determinar los mínimos y máximos de la parábola.

Si a > 0 , la parábola es abierta hacia arriba ⇒ e x iste mínimo. Si a < 0 , la parábola es abierta hacia abajo ⇒ e x iste máximo.

1. 3 Puntos de intersección de la parábola con el eje x :

Utilizamos: Discriminante: ∆ = b^2 - 4 ac

a) Si ∆ > 0 ⇒ la parábola intersecta al eje x en 2 puntos. b) Si ∆ = 0 ⇒ la parábola intersecta al eje x en 1 punto. c) Si ∆ < 0 ⇒ la parábola no intersecta al eje x.

1. 4 Ecuación cuadrática: se obtiene al determinar los puntos de intersección de la parábola con el eje x , haciendo y = 0.

Como: y = ax^2 + bx + c (Reemplazando y ) 0 = ax^2 + bx + c

⇒ ax^2 + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado con una incógnita, donde el mayor exponente es 2 y por lo tanto tiene 2 soluciones (reales o imaginarias). A las soluciones también se les llama raíces o ceros.

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Ejercicios

1. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la función f ( x ) = ax^2 + bx + c , con a > 0 , b^2 - 4 ac < 0 , c > 0?

A) B) C)

D) E)

2. A la función f ( x ) = - x^2 - 4 x - 4 , le corresponde el gráfico:

A)

4

B)

-

C)

4

D)

-

E)

4

3. La función graficada corresponde a :

A) f ( x ) = x^2 + x - 6 B) f ( x ) = - x^2 - x + 6

6

-3 2

x

y

C) f ( x ) = x^2 + 5 x - 6 D) f ( x ) = - x^2 - 5 x + 6 E) f ( x ) = - x^2 + x + 6

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2006 4. Sea f ( x ) = x^2 + 4 x - 32 , entonces, el mínimo valor que toma la función es :

A) - 36 B) - 28 C) - 20 D) - 2 E) 2

5. ¿Para qué valor de k , la parábola y = 3 x^2 + 2 x + k intersecta en un punto al eje x?

A) -^13

B) - 3

C)^13

D) 3

E) Ninguno de ellos

6. Dada la siguiente parábola: f ( x ) = x^2 + 5 x - 14 , ¿en qué puntos intersecta al eje x?

A) (- 7 , 0 ) y (- 2 , 0 ) B) (- 7 , 0 ) y ( 0 , - 2 ) C) (- 7 , 0 ) y ( 2 , 0 ) D) ( 0 , - 7 ) y ( 0 , - 2 ) E) ( 7 , 0 ) y (- 2 , 0 )

7. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 y 4 cm menos que la hipotenusa. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

A) 1 cm y 5 cm B) 2 cm C) 2 cm y 10 cm D) 10 cm E) No e x iste dicho triángulo

8. La ecuación de segundo grado cuyas raíces son x 1 = p + √ p^2 - q^2 y x 2 = p - √ p^2 - q^2 es:

A) x^2 + 2 px + q^2 = 0 B) x^2 - 2 px - q^2 = 0 C) x^2 - px + q^2 = 0 D) x^2 - px - q^2 = 0 E) x^2 - 2 px + q^2 = 0

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2006 13. Para que la ecuación 5 x ( x + 2) = k carezca de raíces reales, deberá cumplirse que

A) k < - 5 B) k ≤ - 5 C) k ≤ 5 D) k < 5 E) k > 5

14. Determinar la(s) solución(es) de la ecuación (^) √ x + √10 -3 x = 2

I) x = 2 II) x = 3 III) x = - 2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) Sólo I y II E) Ninguna de ellas

15. Dada la función de consumo de combustible respecto de la velocidad C ( v ) = 80 v - 2 v^2 , donde la velocidad se e x presa en km/h. Determinar a qué velocidad debe ir el auto, para que el consumo de combustible sea máximo.

A) 20 km/h B) 30 km/h C) 40 km/h D) 50 km/h E) 80 km/h

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Respuestas (^) Preg. Alternativa 1 E 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 E 9 A 10 B 11 C 12 E 13 A 14 D 15 A

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1. La alternativa correcta es la letra E)

Como a > 0 , entonces la parábola es abierta hacia arriba. ∴ Quedan descartadas las alternativas A) y D) Como b^2 - 4 ac < 0 , entonces la parábola no intersecta al eje x ∴ El gráfico corresponde a la alternativa E)

2. La alternativa correcta es la letra D)

f ( x ) = - x^2 - 4 x - 4 , entonces a = - 1 , b = - 4 , c = - 4 Como a < 0 , entonces la parábola es abierta hacia abajo. ∴ Quedan descartadas las alternativas A) y E) Como c = - 4 , entonces la parábola intersecta al eje y en ( 0 ,- 4 ) ∴ Queda descartada la alternativa C) Entonces nos quedan las alternativas B) y D) Para discriminar entre ambas debemos analizar el eje de simetría.

x = (^) 2 - ba (Reemplazando “ b ” y “ a ”)

x = (^) 2 · -1-(-4) (Multiplicando y dividiendo signos)

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5. La alternativa correcta es la letra C)

En la función : y = 3 x^2 + 2 x + k , a = 3 , b = 2 , c = k

Para que la parábola intersecte al eje x en 1 punto el discriminante debe ser 0.

∆ = b^2 - 4 ac b^2 - 4 ac = 0 (Reemplazando a,b y c ) 2 2 - 4 ∙ 3 ∙ k = 0 (Respetando el orden de las operaciones) 4 - 12 k = 0 (Despejando k ) 4 = 12 k 4 12

= k (Dividiendo)

1 3

= k

∴ Si k =^13 la parábola intersecta al eje x en 1 punto.

6. La alternativa correcta es la letra C)

Si f ( x ) = x^2 + 5 x - 14 , para determinar los puntos de intersección de la parábola con el eje x , hacemos y = 0 , entonces:

x^2 + 5 x - 14 = 0 (Resolviendo la ecuación factorizando) ( x ) ( x ) = 0 ( 2 números que multiplicados nos dé – 14 y sumados 5 ) ( x + 7 ) ( x – 2 ) = 0 (Como el producto es 0 , uno de los 2 factores es 0 ) x + 7 = 0 ó x – 2 = 0 (Despejando x ) x 1 = - 7 x 2 = 2

∴ Los puntos de intersección de la parábola con el eje x son (- 7 , 0 ) y ( 2 , 0 )

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2006 7. La alternativa correcta es la letra D)

Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 y 4 cm menos que la hipotenusa, entonces, aplicando Pitágoras:

x^2 = ( x - 2) 2 + ( x - 4) 2 (Resolviendo cuadrado de binomio) x^2 = x^2 - 4 x + 4 + x^2 - 8 x + 16 (Reduciendo términos semejantes) x^2 = 2 x^2 - 12 x + 20 (Igualando a 0 ) 2 x^2 - x^2 - 12 x + 20 = 0 (Reduciendo términos semejantes) x^2 - 12 x + 20 = 0 (Resolviendo la ecuación factorizando) ( x ) ( x ) = 0 ( 2 números que multiplicados nos dé 20 y sumados - 12 )

( x - 10 ) ( x – 2 ) = 0 (Como el producto es 0 , uno de los 2 factores es 0 )

x - 10 = 0 ó x – 2 = 0 (Despejando x )

x 1 = 10 x 2 = 2

En este caso como x es la hipotenusa, debemos analizar los valores.

Si x = 10 , los catetos serían 6 y 8 , que corresponden a números pitagóricos.

Si x = 2 , los catetos serían 6 y 0 , como un cateto no puede ser 0 , queda descartada esta solución.

∴ La hipotenusa es 10 cm.

8. La alternativa correcta es la letra E)

x 1 = p + √ p^2 - q^2 y x 2 = p - √ p^2 - q^2

Para formar la ecuación aplicaremos las propiedades de las raíces:

x 1 + x 2 = - ab

p + √ p^2 - q^2 + p - √ p^2 - q^2 = - b a

(Reduciendo términos semejantes)

2 p = - ab (El denominador de 2 p es 1 )

x - 2 x

x - 4

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-12^2006 3 =^ k^ (Dividiendo)

• 4 = k

∴ Para que una de las raíces se anule, k = - 4

10. La alternativa correcta es la letra B)

En la ecuación x^2 + hx - (21 + h ) = 0 , a = 1 , b = h , c = - ( 21 + h )

Si las soluciones son - 4 y 5 , para determinar el valor de h utilizamos las propiedades de las raíces:

x 1 + x 2 = - ab x 1 · x 2 = (^) ac

Como h está en b y c , utilizamos cualquiera de las 2 propiedades, aplicaremos la suma:

x 1 + x 2 = - ab (Reemplazando x 1 y x 2 , a y b )

• 4 + 5 = - h 1

(Sumando)

1 = -h / ⋅ - 1 (Dejando h positivo al multiplicar por – 1 )

• 1 = h

∴ Para que las soluciones de la ecuación dada sean – 4 y 5 , h = - 1

11. La alternativa correcta es la letra C)

En la ecuación x^2 - ( k + 10) x + (10 k - 2) = 0 , a = 1 , b = - ( k + 10 ), c = ( 10 k - 2 )

Como el producto de las raíces es 58 , aplicaremos la propiedad de las raíces que se refiere a su producto.

x 1 · x 2 = ca (Reemplazando x 1 · x 2 , a y c )

58 =^10 k -^^2 1

(Despejando k )

58 + 2 = 10 k (Sumando)

60 = 10 k 60 10 =^ k^ (Dividiendo) 6 = k

∴ Para que el producto de la ecuación dada sea 58 , k = 6

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12. La alternativa correcta es la letra E)

( x 1 + 3)( x 2 + 3) = (Multiplicando binomios) x 1 · x 2 + 3 x 1 + 3 x 2 + 9 = (Factorizando) x 1 · x 2 + 3 ( x 1 + x 2 ) + 9 =

Si x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación x^2 + mx + n = 0 , donde a = 1 , b = m , c = n , aplicamos las propiedades de las raíces:

x 1 + x 2 = - b a

(Reemplazando a y b )

x 1 + x 2 = - m 1 ⇒ x 1 + x 2 = -m

x 1 · x 2 = c a

(Reemplazando a y c )

x 1 · x 2 = n 1 ⇒ x 1 + x 2 = n

Entonces:

x 1 · x 2 + 3 ( x 1 + x 2 ) + 9 = (Reemplazando x 1 · x 2 y x 1 + x 2 )

n + 3 ⋅ - m + 9 = (Multiplicando)

n – 3 m + 9

∴ ( x 1 + 3)( x 2 + 3) = n – 3 m + 9

13. La alternativa correcta es la letra A)

Para que la ecuación 5 x ( x + 2) = k carezca de raíces reales, el discriminante debe ser menor que 0 , entonces:

∆ = b^2 - 4 ac ⇒ b^2 - 4 ac < 0

5 x ( x + 2) = k (Distribuyendo)

5 x^2 + 10 x = k (Igualando a 0 )

5 x^2 + 10 x - k = 0, donde a = 5 , b = 10 , c = - k

b^2 - 4 ac < 0 (Reemplazando a , b y c )

102 - 4 ∙ 5 ∙ - k < 0 (Respetando el orden de las operaciones)

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√2 + √4 =^^2 (Extrayendo^ √4^ )

√2 + 2 = 2 (Sumando)

√4 = 2 (Extrayendo √4 )

2 = 2

Se cumple la igualdad, por lo tanto, x 1 = 2 es solución.

√ x + √10 -3 x =^^2 (Reemplazando^ x 2 )

√3 +√10 -3 ⋅ 3 =^^2 (Multiplicando)

√3 + √10 - 9 =^^2 (Restando)

√3 + √1^ =^^2 (Extrayendo^ √1^ )

√3 + 1 = 2 (Sumando)

√4 = 2 (Extrayendo √4 )

2 = 2

Se cumple la igualdad, por lo tanto, x 2 = 3 es solución.

∴ I y II son soluciones de la ecuación (^) √ x + √10 -3 x = 2

15. La alternativa correcta es la letra A)

Dada la función: C ( v ) = 80 v - 2 v^2 , donde C ( v ): consumo de combustible y v : velocidad

Como nos piden máximo y la función corresponde a una parábola, eso significa que a < 0 (lo que es efectivo, ya que a = - 2 ) , o sea, es abierta hacia abajo.

Para encontrar el máximo, utilizamos el eje de simetría:

x = (^) 2 - ba (Reemplazando a = - 2 , b = 80 )

x = (^) 2 -80 · -2 (Multiplicando)

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2006 x = -80-4 (Dividiendo)

x = 20

Entonces, cuando x = 20 , la función toma el valor máximo, como en este caso la función es consumo de combustible, eso significa que cuando la velocidad sea 20 km/h, el consumo de combustile va a ser máximo.

∴ Para que el consumo de combustible sea máximo, la velocidad debe ser 20 km/h.

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2006 Mis notas