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Matemática
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Para recordar Consideremos en el plano, una circunferencia trigonométrica
de radio 1 y centro en el origen de coordenadas, como en la figura.
Y un punto P de coordenadas (1; 0), que es el punto de intersección de la circunferencia con el semieje positivo de las abscisas.
Imaginemos que podemos mover el punto P sobre la circunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj.
Al hacerlo, el punto recorre un arco de longitud | t|.
Las coordenadas de P dependen del arco que recorre. Para cada nueva posición que tome P sobre la circunferencia trigonométrica, sus coordenadas variarán en función de la longitud del arco recorrido.
Por lo que P es una función de la longitud del arco recorrido, es P = P(t)
Como el punto P(t) está además en el plano
2 , podemos escribir, P(t) = (xt; yt).
Además, al mover el punto sobre la circunferencia, queda determinado un ángulo (t) con origen en el origen de coordenadas y cuyos lados son el semieje positivo de las x y la semirrecta con origen en el origen de coordenadas que pasa por P.
Nos interesa conocer cuáles son las coordenadas de P(t) cuando este ocupa distintas posiciones sobre la circunferencia trigonométrica.
Matemática
Cuando P se encuentra en la intersección de la circunferencia
con el semieje positivo de las abscisas, es P(0) = (1; 0) ya la
longitud del arco que recorre es cero.
(recordemos que t es la longitud del arco que recorre P al ser
desplazado sobre la circunferencia)
Si P recorre un arco igual a la longitud de la circunferencia,
vuelve a encontrarse en el mismo lugar, su posición es
nuevamente (1; 0). Debemos determinar la longitud del arco t.
Como la longitud de la circunferencia es igual a 2 .r y
además es el radio igual a 1 (pues estamos en la
circunferencia trigonométrica), cuando P recorre toda la
circunferencia, la longitud del arco es 2 .
Luego podemos escribir P(2 ) = (1; 0)
Si P recorre un cuarto de la circunferencia, la longitud del arco
es 4 2
y será ( 0 ; 1 ) 2
P
En forma similar, tenemos
que:
P
P( ) ( 1 ; 0 )
Como vemos, para cada t comprendido entre 0 y 2 (0 t 2 ) tenemos un punto P en la
circunferencia y recíprocamente a todo punto de la circunferencia, le corresponde un arco
de longitud t.
Ahora, si estamos en (^)
P
y damos una vuelta completa a la circunferencia en el
sentido antihorario, hasta volver al mismo lugar, habremos recorrido un arco de longitud
. Las coordenadas de
P coinciden con las de
P
Esto es ( 0 ; 1 ) 2
P
Matemática
Calculemos ahora las coordenadas de un punto P que
recorre una longitud de arco igual a 3
Esto es buscamos (^)
P
Imaginemos que el punto P recorre sucesivos arcos de longitud 3
. Por lo que se
encontrará en las posiciones:
;P
;P
P
;P
;P
P
Si unimos esos puntos, nos queda determinado un
hexágono regular inscripto en la circunferencia. Por lo
que sabemos, el lado de este hexágono es igual al
radio de la circunferencia.
Y cada uno de los triángulos que resultan de unir los
vértices del hexágono con el centro de la
circunferencia es un triángulo equilátero, ya que sus
lados son iguales entre sí e iguales al radio de la
circunferencia.
Luego el triángulo sombreado en la figura, es
equilátero.
Entonces, la altura del triángulo por el vértice
P
corta a la base opuesta en su punto medio.
Con lo que la abscisa de (^)
P es 2
x
Para calcular la ordenada de (^)
P
tenemos que
calcular la longitud de la altura del triángulo. Tenemos
en cuenta que el triángulo OMP es rectángulo, por lo
que usando el teorema de Pitágoras, resulta:
OP
2 = PM
2
2
Pero OP = 1 (ya que es el radio de la circunferencia) y 2
OM , por lo tanto
reemplazando en la igualdad anterior es:
1 PM
1 PM
2
2 2
Matemática
Despejando PM, es:
PM
PM
PM
PM
2 2
Luego la longitud e la altura es 2
y la ordenada de
P es 2
De este modo es
P
De manera similar es posible demostrar que:
P
P
Como ya hemos visto, para cada arco de longitud t comprendido entre 0 y 2 (0 t 2 ) tenemos un punto P(t) en la circunferencia y recíprocamente a todo punto P(t) de la circunferencia, le corresponde un arco de longitud t.
Esta correspondencia, nos permite definir las funciones trigonométricas seno y coseno con dominio en el conjunto de los números reales.
Definición (^) Dado t si P(t) = (x; y) es:
sent = y
cost = x
Es decir para cada t, seno de t y coseno de t, son respectivamente iguales a la ordenada y la abscisa de P(t).
Por lo que podemos escribir:
P(t) = (cost; sent)
Observar que P(t) = (cost; sent) es un punto de la circunferencia de ecuación x
2
2 = 1
Por lo que sus coordenadas verifican la relación pitagórica;
cos
2 t+ sen
2 t = 1
A partir de la definición de seno y coseno de t, podemos calcular el valor que toman estas funciones para distintos valores de t.
Ejemplo 2.
Consideremos estas funciones para los distintos valores de t que ya hemos trabajado.
Si t = 0; P(0) = (1, 0) , por lo que es sen0 = 0 y cos0 = 1.
Si t = 2; P(2) = (1; 0) por lo que es sen2= 0 y cos2= 1.
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r
2 r
Por lo que para un ángulo que subtiende un arco igual a la longitud de la
circunferencia su amplitud es 2 radianes.
Para un ángulo que subtiende un arco igual a la mitad de la longitud de la
circunferencia su amplitud es radianes.
Para un ángulo recto, que subtiende un arco igual a la cuarta parte de la longitud de
la circunferencia, su amplitud es de 2
radianes.
Para pasar del sistema sexagesimal al sistema en radianes, solo hay que recordar que
un ángulo de 180º equivale a radianes.
Así para calcular por ejemplo, a cuántos radianes equivale un ángulo de 45º, hacemos:
x x
Recordamos que:
Dos ángulos son complementarios si su suma es 2
Dos ángulos son complementarios si su suma es
Y resolvemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3. Veamos como calcular seno y coseno para algunos valores de t 3
t
3
t
y 3
son ángulos suplementarios (su
suma es por lo tanto:
y P 3
P
tienen la misma ordenada y su abscisa de
signo contrario.
Entonces si
esP
P
Por lo que 2
cos 2
sen
Matemática
En general si t y t’ son
Suplementarios : t + t’ = ó bien t’ = - t
es:
sen t = sent’ y cost = -cost’
Complementarios t + t’ = 2
ó bien t’ = 2
- t
es
sen t = cost’ y cost = sent’
Conviene recordar los valores del seno y coseno para algunos valores de .
medido en radianes
Para recordar 0 6
y = sen (^0) 2
x = cos (^1) 2
