Geometria Diferencial de Corbes i Superf´ıcies
Grau de Matem`atiques, 2014–15, Semestre de tardor
Examen de reavaluaci´o, Dimecres 4 de febrer de 2015, 9:00-13:00
1. Siguin α, β :I−→ R3dues corbes regulars de R3parametritzades per l’arc, tals que ∀s∈Ies
compleix α(s)=β(s). Suposem que les curvatures de αiβno s’anul·len enlloc. Suposem a m´es
que les rectes normals per α(s) i β(s) coincideixen per a tot s∈I.
(1) (1 punt) Comproveu que β(s) = α(s) + R(s)·n(s), on R(s) ´es una funci´o diferenciable i
n(s) el vector normal a la corba α(s).
(2) (1 punt) Demostreu que ambdues corbes α(s) i β(s) tenen curvatura i torsi´o constants i
relacioneu aquests valors.
2. En tot aquest problema ⟨·,·⟩ denota el producte escalar.
(1) (0,5 punts) Sigui Auna matriu sim`etrica 2 ×2 amb coeficients reals. Demostreu que si A
´es diferent de zero, aleshores el conjunt
Z={v∈R2| ⟨v, Av⟩= 0}
´es o b´e {0}, o b´e una recta que passa per l’origen, o b´e la uni´o de dues rectes que passen
per l’origen. Demostreu tamb´e que si Z={0}aleshores det A≤0.
(2) (1 punt) Sigui S⊂R3una superf´ıcie regular, i sigui r⊂Runa recta continguda dins de S.
Sigui w∈R3\ {0}un vector director de r. Suposem que N:S→R3´es un camp normal
unitari.
(a) Demostreu que per a tot punt p∈rse satisf`a w∈TpS. Demostreu tamb´e que
⟨dN(p)(w), w⟩= 0.
(b) Sigui κ:S→Rla curvatura de Gauss. Demostreu que κ(p)≤0 per a tot p∈r.
(3) (1 punt) Siguin r1, r2, r3⊂R3tres rectes diferents concorrents, i sigui {p}=r1∩r2∩r3.
Sigui Σ ⊂R3una superf´ıcie regular que cont´e cada una de les rectes r1, r2, r3. Demostreu
que p´es un punt pla de Σ.
(4) (0,5 punts) Sigui V⊂R3una superf´ıcie regular connexa. Suposem que per a cada punt
q∈Ves poden trobar tres rectes diferents, totes contingudes dins de V, que passen per q.
Demostreu que Vest`a continguda en un pla.
3. Considerem el seg¨uent subconjunt de R3:
S={(x, y, z)∈R3|x2+y2=z2+ 1}.
(1) (0,5 punts) Demostreu que S´es una superf´ıcie regular.
(2) (1 punt) Demostreu que per a tot θ∈Rl’aplicaci´o ϕθ: (−π , π)×R→R3definida per
ϕθ(u, v) = (cos(θ+u),sin(θ+u),0) + v(−sin(θ+u),cos(θ+u),1))
´es una carta de S, i trobeu θ1, . . . , θkde manera que
S=ϕθ1((−π, π)×R)∪ · · · ∪ ϕθk((−π, π)×R).
(3) (1 punt) Calculeu la curvatura de Gauss de S.
(4) (0,5 punts) Demostreu que per a cada punt p∈Ses poden trobar dues rectes diferents
r1, r2⊂Stals que p∈r1∩r2.
Teoria. Definiu camp normal unitari i la segona forma fonamental d’una carta local d’una su-
perf´ıcie regular (0,5 punts). Relacioneu la segona forma fonamental amb la derivada del camp
normal unitari (1 punt). Dedu¨ıu-ne una f´ormula que relacioni la curvatura de Gauss amb els
coeficients E, F , G, e, f, g de la primera i segona formes fonamentals (0,5 punts).