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TEMA 3. MATEMÁTICAS Y CIENCIAS
El esquema inicialmente visto sobre enseñanzas, procesos y aprendizaje puede ayudar mucho a entender todos los contenidos. Estado inicial y estado final de competencias El inicial es siempre analizar las características, la situación, de dónde partimos. El final es el estado de competencias al cual se quiere llegar; son los conocimientos que queremos lograr gracias al procedimiento de enseñanzas y aprendizaje. Entre E.I y E.F están los mediadores, estados intermedios; aquí se ha situado al profesor. Se ha dedicado esfuerzo a analizar la escritura, la lectura, la comprensión, las matemáticas y las ciencias. La Psicología ha tenido un gran interés en comprender qué ocurre en un cerebro que aprende datos de determinada naturaleza. Existen una serie de aspectos que ayudan a entender por qué aprendemos matemáticas, el concepto de número, la resolución de un problema matemático, etc, y qué limitaciones hay. Las teorías implícitas juegan un gran papel en este tipo de adquisiciones. Los objetivos de este tema son comprender el desarrollo inicial del pensamiento matemático y revisar los procesos cognitivos implicados en el aprendizaje de un nuevo principio científico.
1. EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS 1.1. Procesos psicológicos implicados y desarrollo del cálculo (aritmética) Parece existir una relación entre lo intuitivo y lo formal, lo natural y la cultura. Al individuo la cultura le va transformando. Se están planteando trabajos y estudios que relacionan esto: lo intuitivo, a la hora de percibir el reparto, fracciones, números, etc (se habla de que los niños a muy temprana edad tienen esa capacidad intuitiva para diferenciar cantidades, tamaños, etc); y lo formal. Algo que el individuo necesita se va a convertir en algo cultural, y ese algo resulta que al parecer va a transformar cognitivamente al individuo. Por tanto lo que se plantea también es que quizá en el aprendizaje de las matemáticas tiene que haber una relación, comunicación, entre lo innato o intuitivo y lo formal, para que el aprendizaje se realice de manera más efectiva. Parecería interesante que la escuela partiese de ese conocimiento intuitivo que el niño tiene en relación a las matemáticas. Y es que el origen y fin de las matemáticas es responder a las demandas reales de las situaciones problemáticas de la vida cotidiana. En la escuela conviene partir del conocimiento intuitivo para adentrarse en el formal.
La aritmética se sitúa así al servicio de la resolución de problemas: conteo y esquemas de razonamiento protocuantitativo. Hay varios modelos a la hora de explicar el pensamiento matemático. Modelo Piagetiano Piaget es uno de los autores más influyentes en la vertiente clásica de autores en cuanto a este ámbito. Piaget ha sido muy importante en cuanto al concepto de número. Toda la investigación relativa al desarrollo del pensamiento matemático tiene como referente los trabajos de Piaget. Habla de la adquisición del número alrededor de los 5 años. Piaget plantea que antes de los 6 años es difícil que el niño entienda el concepto de número y que por tanto será difícil que el niño pueda enfrentarse a problemas aritméticos. Va a necesitar adquirir conceptos que aún no tendría. El niño va a utilizar el concepto de número como una etiqueta lingüística. Los estudios más actuales han detectado que el giro angular (con un papel importante en la lectura) juega un papel importante en la numeración, lo cual es razonable. Cuando el niño percibe un número, le asigna una etiqueta lingüística (“estamos leyendo ese número”). En ocasiones lo que ocurre es que antes de que el niño adquiera el significado o concepto de número, lo que hace es utilizar la etiqueta. Y por otro lado existen niños con dificultades en la lectura y en el concepto del número que a su vez pueden tener algún tipo de déficit en áreas cerebrales como el giro angular. Según Piaget entonces la adquisición del número es una cuestión de todo o nada: o adquiere las competencias necesarias que dan lugar al nacimiento de este concepto, o se queda en la etiquetación. La comprensión del número aparecería en el estadio operacional, y no en el preoperacional en el que no han conseguido la reversibilidad. Según este modelo, necesitamos una serie de funciones para conseguir el concepto de número. Su construcción se realiza a partir de cuatro fases esenciales: fundamentación lógica, conservación del número, coordinación cardinal-ordinal y aplicaciones del número.
1. FUNDAMENTACIÓN LÓGICA: para ir adquiriendo el concepto de número, que va más allá de lo intuitivo, Piaget defendió que hay que realizar una serie de operaciones lógicas: x Inclusión jerárquica (clasificación) x Comprensión de relaciones asimétricas (seriación), siendo capaz sobre todo de hacer series. Lo que se hace es clasificar y seriar. Así debe ser entendido el número. Cuando hablamos de inclusión jerárquica, hablamos de asignar elementos a conjuntos. El niño debe ser capaz de discriminar entre un conjunto de elementos, crear el concepto de conjunto (fruta y juguetes, por ejemplo; letras y números, otro ejemplo) y ser capaz luego de clasificar esos elementos en uno u otro conjunto según las cualidades que observa el niño. Además en esta inclusión jerárquica está también la relación de inclusión de clases (jerarquizar; los números son una jerarquía: el 2 está dentro del 3; el 3 del 4; el 4 del 5, etc. Una clase es la suma de sus partes y por tanto es mayor que cualquiera de ellas). Por su parte, la seriación implica relacionar un conjunto de objetos, ver las características que tienen, compararlos, relacionarlos y ordenarlos de acuerdo a sus diferencias. Las relaciones aritméticas se fundamentan en labores de seriación cualitativa. Esta tarea se apoya en la discriminación de cualidades de los objetos.
Por tanto son dos los aspectos numéricos en la determinación del número: aspecto cardinal y aspecto ordinal.
4. APLICACIONES DEL NÚMERO: una vez el niño ha adquirido los procesos anteriores, podrá afrontar operaciones aritméticas (sumas, restas, multiplicaciones o divisiones). Piaget asegura que si los niños no adquieren estas nociones, y fundamentalmente las de conservación del número e inclusión de clase, no estarán preparados para la aritmética escolar. Tras Piaget hubo trabajos que corrigieron su teoría y aportaron nuevos conocimientos. Fruto de tales esfuerzos surgió un nuevo modelo: el modelo de integración de habilidades. Modelo de integración de habilidades Æ Desarrollado por Gelman y Gallistel. El ser humano, desde edades muy tempranas (2 años, o incluso en bebés) tiene una capacidad para detectar magnitudes, cantidades, etc. Esta corriente discierne así de la teoría de Piaget. La habilidad de contar sería una habilidad previa a la conservación, y con un origen por tanto probablemente innato. Sería una habilidad integrada por cinco principios. Estos modelos alternativos a Piaget hablan de que las adquisiciones no se producen a edades tan tardías como él decía. Sobre todo desde los modelos del desarrollo temprano del conteo (Gelman y Gallistel) se ha podido detectar, mediante esquemas de habituación (succión, mirada, etc), que los niños desde muy temprana edad (meses incluso) tienen esa capacidad, innata por tanto, de detectar magnitud, numerosidad. Se ha trabajado mucho por tanto en el desarrollo del conteo a edades muy tempranas. El conteo juega un papel importante en el desarrollo del número y de las primeras nociones aritméticas y los niños preescolares muestran competencia en este campo (3 años). Hay una serie de principios que subyacen a la habilidad de conteo: x Correspondencia uno a uno Æ análogo a lo visto en el modelo piagetiano. Es la capacidad de asignar a cada elemento de un conjunto una palabra numérica y a cada palabra numérica hacerle corresponder un solo elemento. x Orden estable: contar 1 2 3 4 5 6 siempre va a ser así, contemos como contemos no va a cambiar. La etiqueta empleada para contar debe ser repetible y estar integrada por etiquetas numéricas. Los números se repiten siempre en el mismo orden. x Cardinalidad: igual que planteaba Piaget, el niño debe llegar a saber que si cuenta 3 elementos, son 3 los que forman el conjunto. El último número da el conjunto. Ese último número representa no sólo el último objeto contado sino también el número total o la suma de elementos. x Abstracción: se pueden contar diversas cosas de distinta naturaleza (sueños, estrellas, pensamientos, etc). Se abstrae y generaliza la capacidad de conteo, de elementos concretos, cercanos y reales inicialmente a elementos abstractos después. Los principios anteriores pueden ser aplicados a cualquier colección de objetos, independientemente de la naturaleza de sus elementos. x Orden irrelevante: el orden en que se cuenta no define la cantidad, no afecta a la determinación del cardinal de ese conjunto. Según esta teoría, además del conteo se realizan otras acciones. Además de contar los niños realizan esquemas protocuantitativos. Paralelamente a la habilidad de contar los niños establecen relaciones numéricas necesarias para el desarrollo del número y la aritmética, que Resnick denomina esquemas protocuantitativos. Existe por tanto un conocimiento relacional (intuitivo, de esquemas) y otro representacional (conteo). En cuanto al concepto de número, es relevante la capacidad de contar. Pero aquí también parece ser que los niños establecen otro tipo de relaciones numéricas previas a la habilidad de contar. Incluso pueden ser
innatas, intuitivas; naceríamos con una predisposición para poder ejercer ese tipo de habilidades. Resnick denomina a tales relaciones esquemas protocuantitativos. Lo que se plantea es que los niños desde edades muy tempanas son capaces de establecer relaciones numéricas, de captar magnitudes. En el desarrollo del concepto de número está: x Un conocimiento relacional (intuitivo) x Un conocimiento representacional (contar) Se trata de algo innato por una parte y algo civilizado por otra. En definitiva, al hablar de esquemas protocuantitativos, a lo que nos referimos es a la capacidad para hacer juicios, estimaciones. Hacer juicios en base a comparaciones más que en función de su valor absoluto, lo que muestra que los niños disponen de algún tipo de esquema para comparar objetos cuantitativamente. Así, los esquemas protocuantitativos son esquemas de razonamiento que permiten establecer juicios de cantidad sin atender a la numerosidad. Al menos funcionamos con tres tipos de esquemas protocuantitativos: x Esquemas protocuantitativos de comparación Æ permiten comparar: al individuo se le presentan cantidades de objetos y puede asignar etiquetas lingüísticas a la comparación de tamaños: mayor, menor, más, menos, más alto, etc. Ello permite hacer juicios de comparación sobre cantidades de material físico. Permiten asignar etiquetas lingüísticas a la comparación de tamaños: mayor, menor, más, menos, más alto, etc, lo que permite hacer juicios de comparación sobre cantidades de material físico. x Esquemas protocuantitativos de incremento/decremento Æ permiten determinar si algo ha aumentado o ha disminuido. Es el razonamiento sobre cambios en las cantidades cuando se les añade o quita algún elemento (si tengo tres juguetes y me dan otro tendré más que antes) sin necesidad de ver los objetos en su estado anterior y posterior. x Esquemas protocuantitativos de parte/todo Æ El individuo es capaz de saber que una pieza forma parte de un todo y que el todo es más grande que una de las partes. Se trata de reconocer que cualquier pieza puede ser dividida en partes más pequeñas, que el todo es más que las partes y que las partes se pueden recombinar para hacer el todo. Es el primer conocimiento de la propiedad aditiva de las cantidades. De tal modo, el conteo por un lado y los esquemas protocuantitativos por otro llevan a la capacidad para resolver problemas. Todo esto está, así, preparando al individuo para la resolución de los problemas aritméticos básicos. Los procedimientos aritméticos aparentemente sencillos se hallan arraigados en la comprensión conceptual de este tipo de operaciones. Toda operación matemática entraña la comprensión de los conceptos que subyacen a las operaciones. La comprensión de conceptos es lo que posee mayor dificultad, mucha más que la resolución de los algoritmos (las cuentas). Las primeras formas aritméticas Las operaciones aritméticas son la suma, resta, multiplicación y división. Y las primeras formas aritméticas son la suma y la resta, y generalmente están ligadas a operaciones físicas: que el niño sea capaz de tocar, de ver, etc. Suelen también estar asociadas a gestos manuales, al conteo con los dedos, etc. Se trata de operaciones físicas adecuadas, correctas y beneficiosas, que ayudan al desarrollo del concepto de número. Estos procedimientos aparentemente sencillos se hallan arraigados en la comprensión conceptual.
x Recomposición y conservación Æ del minuendo en el caso de que el sustraendo sea mayor que el minuendo. Se toma prestada una decena de la columna siguiente para evitar que el resultado sea negativo en alguna de las columnas. 47-29, al restarlo en vertical, se ve que 7 es menor que 9. Por tanto hay que pedir una decena para el 7 de forma que sean 17, al cual entonces sí se le puede quitar
- Y como se ha prestado esa decena, ello repercute en el 4 del 47, de forma que pasa a ser un 3 (ó el 2 del 29 pasa a ser un 3 y se queda el 4 del 47 como 4).
- MULTIPLICACIÓN Æ Es una de las operaciones conceptualmente más accesibles, porque se trata de una suma reiterada. Se presenta como la adición sucesiva del mismo número (2x8 es 2+2+2+2+2+2+2+2). Lo complicado en la multiplicación es la automatización de las tablas de multiplicar.
- DIVISIÓN Æ Resulta una de las operaciones más complejas, porque implica las tres operaciones previas. Además, se ejecuta de izquierda a derecha, y aporta dos resultados: cociente y resto. La división requiere las operaciones de suma, resta y multiplicación, y es un proceso o procedimiento semiautomático, siempre tiene una fase de tanteo inicial (17 entre 3 no es exacto, tienes que tantear). Estas cuatro operaciones preparan al individuo para enfrentarse a los problemas matemáticos. Hay características que deben adquirirse como concepto y que están presentes en el conocimiento matemático: x Alto nivel de abstracción y generalidad x De naturaleza deductiva x Se apoya en el lenguaje formal específico Son 3 características del conocimiento matemático y complican su adquisición. Y si queremos que los escolares desarrollen este pensamiento matemático y sean eficientes, el esfuerzo en el procedimiento de adquisición debe ir más destinado a los procesos conceptuales y no sólo a la práctica. Los contenidos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas son tres: el desarrollo del pensamiento matemático, las operaciones aritméticas y la resolución de problemas. Resolución de problemas aritméticos Ante la resolución de problemas es importante preguntarnos qué necesitamos para resolver un problema matemático, cuál es la llave que nos permite acceder a la solución. Es decir, qué procesos ponemos en marcha para poder resolver un problema. Los problemas aritméticos hacen referencia a la resolución de situaciones de la vida cotidiana y situaciones de la vida académica. Para resolver problemas de este tipo, debemos plantearnos y tener conocimientos previos sobre la vida. Por ejemplo, en un problema en el que se hable de paredes, se deben conocer las propiedades geométricas en forma de conocimiento formal (por ejemplo algo que mide 2 metros por cada lado es un cuadrado). Si la forma de la clase que menciona el problema es rectangular, debemos conocer qué es un rectángulo. Resolver un problema aritmético sencillo supone activar cuatro fases: x Traducir la información x Integrar la información x Planificar la solución y supervisarla x Ejecutar la solución
Traducir la información supone leer el texto desde un punto de vista lingüístico, comprendiendo literalmente lo que el texto dice, qué significan las palabras que aparecen. Y tener también un conocimiento semántico del texto: comprender el texto y tener conocimientos matemáticos para vincular el texto con las matemáticas. Tenemos que comprender y por tanto acceder al significado de cada una de las oraciones que componen el texto del problema (conocimiento lingüístico). Se trata de tener conocimientos previos, que no están en el texto pero que se necesitan para comprender el texto. Siguiendo con el ejemplo, tenemos que conocer previamente: qué es un cuadrado, que el cuadrado tiene los lados iguales, que el aula es una superficie rectangular y que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando lado por lado, etc (conocimiento semántico). Integrar la información supone crear el modelo de la situación, el espacio del problema, activar los conocimientos previos. Es unir los enunciados en una representación coherente denominada espacio del problema, incluyendo la información en un esquema. Se basa en la representación. Aprender a resolver problemas está relacionado con el desarrollo de esquemas útiles para cada tipo de problemas. James Greeno y Mary Riley identifican tres tipos de esquemas en los problemas aritméticos: de cambio, de combinación y de comparación. CAMBIO Æ Los problemas o esquemas de cambio se refieren a situaciones dinámicas. Se plantean cómo está redactado el problema, el enunciado. Se caracterizan por la acción implícita de transformación sobre una cantidad inicial, la cual experimenta un cambio, de incremento o decremento, obteniendo un resultado nuevo. Un ejemplo es “tengo siete canicas, María me regala dos, ¿cuántas tiempo?”. Siempre hay una cantidad sobre la que se ejerce un cambio. Las tres cantidades presentadas en el problema reciben el nombre de cantidad inicial, cambio y cantidad final o resultado. La forma en que esté enunciado el problema puede ser consistente o inconsistente: si el problema se enuncia indicando por ejemplo que hay un incremento, pero la operación que hay que hacer es una resta, se trata de un problema inconsistente (Doro tenía unas canicas, regaló tres a su hermano Daniel. Ahora tiene 6, ¿cuántas canicas tenía Doro?). Un problema consistente sería “Jaime tenía 7 cromos, su amiga Ana le regaló 1 cromo. ¿Cuántos cromos tiene ahora Jaime?”. Consistencia/inconsistencia se dan en los tres tipos de esquemas. Hay 6 tipos de problemas de cambio, dependiendo del lugar que ocupa la incógnita (resultado desconocido, cambio desconocido, inicial desconocido) y de las acciones de transformación que se producen (incremento/disminución).
hermano 10, cuántos tienen entre los dos”: intuitivamente la operación que sugiere el problema es la suma (“entre los dos”). Es consistente porque la narración, el discurso del texto, sugiere una suma de forma intuitiva. “Doro tenía unas canicas; regaló 3 a su hermano; ahora tiene 6; cuántas canicas tenía Doro”: “regaló” en este caso intuye quitó, pero en realidad no hay que restar. Esto sería un problema inconsistente. La consistencia/inconsistencia puede manejarse para elaborar estrategias de apoyo. Las investigaciones plantean que todo esto son fuentes de dificultad añadida a la resolución de problemas, y que lleva a los aprendices a soluciones equivocadas no debidas a un problema de cálculo. La dificultad, entonces, en los problemas muchas veces no viene dada por una dificultad de operación, sino en la parte inicial a la que, por lo general, se le dedica poco tiempo. No obstante esta última fase también tiene su relevancia, pudiendo ocurrir que a pesar de que el escolar haya desarrollado bien todas las fases al final falle en la etapa final, resolviendo mal la operación. En resumen, la mejora del conocimiento esquemático de los alumnos depende de la experiencia con los problemas. Los tres tipos de problemas revisados implican los mismos cálculos aritméticos pero la dificultad de los mismos difiere para los niños. Parece que los niños pequeños tienen sólo un esquema, el de cambio, que intentan aplicar a todos los problemas. Los niños en la medida que crecen desarrollan diferentes esquemas.
2. EL APRENDIZAJE DE LAS CIENCIAS Qué ocurre en nuestra mente cuando aprendemos ciencias. Las teorías implícitas no se eliminan, no hay cambio conceptual puro. Lo que parece que hay es un cambio representacional, en base a una integración: re- descripción representacional. La causa fundamental por la cual eso no ocurre parece que está en el propio sistema cognitivo: una resistencia natural a aceptar las teorías científicas, al ser contra-intuitivas. Cuando los alumnos intentan aprender ciencias se encuentran con algunas dificultades vinculadas a las ideas intuitivas arraigadas que poseen sobre los fenómenos científicos y/o naturales. Las ideas intuitivas están muy afianzadas. Ocurrirá que aprender ciencias no sólo es adquirir los conocimientos nuevos, sino que supondrá superar las restricciones impuestas por el propio funcionamiento cognitivo humano. La razón por la que el conocimiento científico tiene dificultades para adquirirse y utilizarse de manera explícita es, en palabras de Sperber, “su falta de compatibilidad y correspondencia con la organización cognitiva humana”. Aquí es donde debemos buscar el origen de las dificultades en la adquisición de conocimiento científico.
Para poder entender esta dificultad o incompatibilidad habría que conocer no sólo la naturaleza del conocimiento científico sino la mente humana en cuanto a su sistema de conocimiento. La investigación en didáctica de la ciencia que se ha dirigido a cambiar el conocimiento cotidiano en conocimiento científico ha obtenido resultados modestos; se estima que las concepciones arraigadas no se extinguen totalmente. Para poder entender esta dificultad o incompatibilidad habría que conocer no sólo la naturaleza del conocimiento científico sino la mente humana en cuanto a sistema de conocimiento. La concepción de una mente unificada y explícita ha dado paso a una mente más caótica y difusa en la que se encuentra la base de las “concepciones alternativas” o “ciencia intuitiva”. Tenemos una mente híbrida: x Absolutamente pragmática: capaz de predecir, controlar, representar, comprender el mundo físico y concreto que le rodea. x Esa mente convive, no se sustituye, con otro sistema, mucho más epistemológico: capaz de entender y buscar causalidades, mente mucho más abstracta. Según en qué circunstancias utilizamos una u otra. Conviven, por lo que no podemos sustituir una por otra ni eliminar ninguna. Consecuentemente los alumnos llegan al aula con representaciones implícitas y profundamente arraigadas, muy alejadas de los conocimientos científicos que se les quiere enseñar. Las representaciones implícitas y arraigadas constituyen el punto de partida de la construcción del conocimiento científico. ¿Es posible reconstruir o redescribir las representaciones, para acceder a las formas de conocimiento científicamente aceptado? Se ha venido planteando que en la medida en que conocemos las teorías implícitas, podemos partir de ahí para crear conflicto cognitivo fruto de la experiencia (no sirve de nada decirle al otro que algo es de una manera si el otro no lo ve). Una vez se provoca el conflicto cognitivo, se puede adquirir una nueva teoría. Aprender ciencia requiere un profundo cambio conceptual que ayude a reorganizar la representación intuitiva o cotidiana de los alumnos. Es preciso diseñar para ello estrategias de enseñanza orientadas al logro de ese cambio conceptual o cambio representacional. Un cambio de la forma de representarse el mundo que permite la asimilación de teorías científicas. Pero sobre todo, necesitamos una redescripción representacional. Karmiloff-Smith decía esto. Adquirir conocimiento implica integrar diversas perspectivas o niveles de análisis de la realidad en una única teoría que redescriba las relaciones entre esos componentes en un nuevo nivel. Es la teoría de redescripción.
