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INTERPOLACIÓN 3ER CORTE 20%
En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación de datos. Veremos dos tipos
de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolación segmentaria (splines).
Comencemos dando la definición general.
Definición. Dados n ^1 puntos que corresponden a los datos:
y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano,
Si existe una función f ( x ) definida en el intervalo
x (^) 0 , xn (donde suponemos que
x 0 x 1 xn ), tal que f ( xi ) yi para i 0 , 1 , 2 ,, n , entonces a f ( x ) se le llama una
función de interpolación de los datos, cuando es usada para aproximar valores dentro del intervalo
x (^) 0 , xn , y se le llama función de extrapolación de los datos, cuando está definida y es usada para
aproximar valores fuera del intervalo.
Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos; por ejemplo,
funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones polinomiales, combinaciones de éstas,
etc.
El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de la naturaleza de los datos que se están
manejando, así como de los valores intermedios que se están esperando.
Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto que evidentemente
pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una misma tabla de
datos, se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación , sea único.
Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar los datos,
es el de menor grado posible.
Caso n=
Tenemos los datos:
En este caso, tenemos que^0
f ( x ) y (polinomio constante) es el polinomio de menor grado tal que
f ( x 0 ) y (^0) , por lo tanto, es el polinomio de interpolación.
Caso n=
Tenemos los datos:
En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. Por
lo tanto, tenemos que
1 0
1 0 0 x x x x
y y f x y
es el polinomio de interpolación.
La siguiente gráfica representa este caso:
y 0 (^) b 0
Si asignamos^1 x x , el valor de^2 b queda anulado, resultando lo siguiente:
f ( x 1 ) b 0 b 1 ( x 1 x 0 )
Como se debe cumplir que^11 f ( x ) y y ya sabemos que^0
y b , entonces
y 1 (^) b 0 b 1 ( x 1 x 0 ) , de lo cual obtenemos el valor para b 1 :
1 1 0
1 0 b x x
y y
Asignando x^ x 2 , vamos a obtener :
f ( x 2 ) b 0 b 1 ( x 2 x 0 ) b 2 ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 )
Como se debe cumplir que^2
f ( x ) y
, y ya sabemos que^0 y b y
1 1 0
1 0 b x x
y y
,
sustituímos estos datos para después despejar el valor de^2 b :
( 2 0 ) 2 ( 2 0 )( 2 1 )
1 0
1 0 2 0 x x b x x x x x x
y y y y
De lo cual podemos hacer un despeje parcial para lograr la siguiente igualdad :
2 2 0 2 1
2 0 1 0
1 0 2 0
b x x x x
x x x x
y y y y
Ahora en el numerador del miembro izquierdo de la igualdad, le sumamos un cero ^ y 1^ y 1 , de
tal manera que no se altere la igualdad:
A continuación, aplicamos un poco de álgebra para así obtener los siguientes resultados:
Y finalmente despejando a b 2 vamos a obtener :
2 0
1 0
1 0
2 1
2 1
2 x x
x x
y y
x x
y y
b
Por lo tanto, el polinomio de interpolación para este caso es:
0
1 1 0 1 1 0
[ , , ] [ , , ]
[ , , , , ]
x x
f x x f x x f x x x x
n
n n n n
A manera de ejemplo citemos el siguiente caso específico :
3 0
3 2 1 2 1 0 3 2 1 0
[ , , ] [ , , ]
[ , , , ]
x x
f x x x f x x x f x x x x
donde a su vez:
f=(x3,x2,x1.x0)=f(x3)-f(x2)
3 1
3 2 2 1 3 2 1
[ , ] [ , ]
[ , , ]
x x
f x x f x x f x x x
y
2 01
2 1 1 0 2 1 0
[ , ] [ , ]
[ , , ]
x x
f x x f x x f x x x
Y donde a su vez:
3 2
3 2 3 2
[ , ]
x x
f x f x f x x
etc.
Podemos ahora definir nuestro primer tipo de polinomio de interpolación.
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS
DIVIDIDAS
El método de NEWTON de diferencias divididas es otra forma de obtener el polinomio interpolador
Dado cierto número de puntos obtenidos pormuestreo o a partir de un experimento se prentede encontrar
un polinomio que pase por todos los puntos
Este método es muy algorítmico, por lo que resulta muy cómodo, más cuando se quiere calcular un
polinomio interpolador de grado elevad.
Dados n ^1 datos:
- El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:
f x b 0 b 1 x x 0 b 2 x x 0 x x 1 bn x x 0 x x 1 x xn 1
donde :
b 0 (^) f x 0
b 1 (^) f [ x 1 , x 0 ]
b 2 (^) f x 2 , x 1 , x 0
b (^) n f xn , , x 0
Para calcular los coeficientes n
b 0 (^) , b 1 ,, b , es conveniente construir una tabla de diferencias
divididas como la siguiente :
Note que para los valores de y se toma siempre los extremos
Nuestro objetivo es construir un polinomio que al agregar los valores de x nos de los valores de y. es
decir, un polinomio que pase por todos los puntos dados. Entonces estamos, a partir, de una tabla
construyendo un polinomio
Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es :
Podemos ver que los valores de la primera fila serán los coeficientes obtenidos
de forma progresiva
Valores de b= Y Ó f(x)
b0=4, b1=2, b2=-0.25, b4=-0.
f x b 0 b 1 x x 0 b 2 x x 0 x x 1 bn x x 0 x x 1 x xn 1
f ( x ) 4 2 ( x 2 ) 0. 25 ( x 2 )( x 1 ) 0. 3 ( x 2 )( x 1 )( x 2 )
Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:
Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.
Solución. Procedemos como sigue:
Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda :
f ( x ) 5 3 ( x 3 ) 1. 66667 ( x 3 )( x 2 ) 0. 20238 ( x 3 )( x 2 )( x )
Antes de ver el siguiente tipo de polinomio de interpolación, veamos como el imponer la restricción
del grado mínimo, implica la unicidad del polinomio de interpolación.
TEOREMA.
Si n
x (^) 0 , x 1 ,, x son números reales distintos, entonces para valores arbitrarios n
y (^) 0 , y 1 ,, y
existe un polinomio único fn x , de a lo más grado n , y tal que:
fn xi yi para toda i 0 , 1 , 2 ,, n
DEMOSTRACIÓN.
En realidad, no probaremos formalmente la existencia de un polinomio de interpolación, aunque
informalmente aceptamos que dada cualquier tabla de datos, el polinomio de Newton siempre existe.
Probemos la unicidad del polinomio de interpolación.
Supongamos que gn x es otro polinomio de interpolación de a lo más grado n,
Sea
hn x fn x gn x
hn xi fn xi gn xi yi yi 0 para todo i 0 , 1 , 2 , n
Por lo tanto, hn x tiene n ^1 raíces distintas, y es un polinomio de grado a lo más n, esto
solamente es posible si hn x 0 .
f (^) n x gn x
Que es lo que queríamos probar.
n
n
x x x x x x
x x x x x x l x
0 1 0 2 0
1 2 0
Análogamente se puede deducir que:
i j
j i
i j
i
j
x x
x x
l x
, para j^ ^1 ,^ , n
Ejemplo 1
Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:
Solución****. Tenemos que:
f ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y 2 l ( x ) y 3 l 3 ( x )
f ( x ) 2 l 0 ( x ) l 1 ( x ) 2 l 2 ( x ) 3 l 3 ( x )
donde:
n
n
x x x x x x
x x x x x x l x
0 1 0 2 0
1 2 0
Se obvia X
x x x x x x l x
Se obvia x
x x x x x x l x
Se obvia x
x x x x x x l x
Se obvia x
x x x x x x l x
Sustituyendo, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:
f ( x ) 2 l 0 ( x ) l 1 ( x ) 2 l 2 ( x ) 3 l 3 ( x )
x x x x x x x x x x x x f x
simplificar
Ejemplo 2.
Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:
Solución****. Tenemos que:
f ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y 2 l ( x ) y 3 l 3 ( x )
f ( x ) l 0 ( x ) l 1 ( x ) 3 l 2 ( x ) 2 l 3 ( x )
donde:
x x x x x x l x
x x x x x x l x
x x x x x x l x
x x x xx x l x
Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda como sigue:
xx x x x x xx x x x x f x
simplificando…si es requerido en el examen deben hacerlo
- 0.3125x3 + 0.75x2 - 1.75x- 1
En el capítulo de integración numérica, usaremos nuevamente a los polinomios de Lagrange.
Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, tenemos que para
ested caso:
sn x si x xn xn
s x s x x x
s x si x x x
sx
1
2 1 2
1 0 1
donde:
i)
s j x
es un polinomio de grado menor o igual que 1
ii) s x tiene derivada continua de orden k-1=.
iii)
s xj yj
, para j 0 , 1 ,, n .
Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :
yn f xn xn x xn si x xn xn
y f x x x x si x x x
y f x x x x si x x x
sx
1 1 1 1
1 2 1 1 1 2
0 1 0 0 0 1
donde
f [ xi , xj ] es la diferencia dividida de Newton.
FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2
Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes
datos :
Y procedamos a calcular la interpolación por splines de grado 2.
Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos :
7 , 9
En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2,
como sigue:
3 3
2 3
2 2
2 2
1 1
2 1
ax bx c si x
ax bx c si x
ax bx c si x
sx
Primero, hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. Es decir, se debe cumplir que:
s ( 3 ) 2. 5 , s ( 4. 5 ) 1 , s ( 7 ) 2. 5 , s ( 9 ) 0. 5
Así, se forman las siguientes ecuaciones:
s ( 3 ) 2. 5 9 a 1 3 b 1 c 1 2. 5
2 2 2
2
1 1 1
2
a b c
a b c s
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c s
s ( 9 ) 0. 5 81 a 3 9 b 3 c 3 0. 5
Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones vs. 9 incógnitas.
El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas contínuas. En el caso de las
splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada contínua de orden k-1=1 ,
es decir, primera derivada continua.
Calculamos primero la primera derivada:
3 3
2 2
1 1
ax b si x
ax b si x
ax b si x
s x
Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran
presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles
discontinuidades son x ^4.^5 y x ^7. Por lo tanto para que s x sea contínua, se
debe cumplir que:
2 a 1 (^) 4. 5 b 1 2 a 2 4. 5 b 2
o lo que es lo mismo,
9 a 1 (^) b 1 9 a 2 b 2
3
3
3
2
2
2
1
1
c
b
a
c
b
a
c
b
Sustituyendo estos valores (junto con a 1 0 ), obtenemos la función spline cuadrática
que interpola la tabla de datos dada:
2
2
x x si x
x x si x
x si x
sx
La gráfica que se muestra a continuación, contiene tanto los puntos iniciales de la
tabla de datos, así como la spline cuadrática. Esta gráfica se generó usando
Mathematica.
El siguiente caso, que es el más importante en las aplicaciones, sigue exactamente los mismos pasos del
ejemplo que acabamos de resolver, solamente que en vez de trabajar con polinomios cuadráticos, lo hace
con polinomios cúbicos.
FUNCIONES SPLINES CUBICAS
Para hacer más firme el entendimiento, escribimos la definición correspondiente a este caso ( k=3 ).
3 4.5 7 9
1
2
3
4
5
Dados los n ^1 datos:
Una spline cúbica que interpola estos datos, es una función s ( x ) definida como sigue
:
sn x si x xn xn
s x si x x x
s x si x x x
sx
1 1
1 1 2
0 0 1
donde cada si x es un polinomio cúbico; si xi yi , para toda i^ ^0 ,^1 ,, n y tal
que s x tiene primera y segunda derivadas contínuas en
x (^) 0 , xn .
Ejemplo 1.
Interpolar los siguientes datos mediante una spline cúbica :
Solución.
Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman:
^
2 2
2 2
3 2
1 1
2 1
3 1
ax bx cx d si x
ax bx cx d si x sx
A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados
en la tabla. Así, tenemos que:
s 2 1 8 a 1 4 b 1 2 c 1 d 1 1
s 3 2 27 a 1 9 b 1 3 c 1 d 1 2
s 5 7 125 a 2 25 b 2 5 c 2 d 2 7
Ahora calculamos la primera derivada de s x :
^
2 2
2 2
1 1
2 1
a x bx c si x
ax bx c si x s x
Al igual que en el caso de las splines cuadráticas, se presentan ecuaciones que pueden
presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son
