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3.1 Funciones de Variable Real
- La gráfica de una función puede tener más de una intersección con el eje Y.
a) Verdadero b) Falso
- Un dominio de la función de variable real f ( x ) =
x - 5
es (- ∞, 5)∪( 5 , + ∞).
a) Verdadero b) Falso
- El rango de la función de variable real f ( x ) = 2 x + 1 es ( 2 , + ∞).
a) Verdadero b) Falso
3 CAPÍTULO TRES Ejercicios propuestos
- Determine un dominio y el rango correspondiente de las siguientes funciones de variable real:
e) g ( x ) =
a) g ( x ) = (^) | x - 2 | - 1
x x - 1
f) f ( x ) =
x^2 - 1 x^2 + 1
b) h ( x ) =
2 x x + 3
g) f ( x ) =
x - 1
x - 2
c) f ( x ) = 1 - x^2
d) r ( x ) = x^2 - 1 h) h ( x ) = x - 1 + x - 2
- A continuación se indican las reglas de correspondencia de varias funciones y un dominio posible. Una de las opciones no es correcta, identifíquela.
e) f ( x ) = x - 1 ; dom f = [1, + ∞)
d) f ( x ) =
x - 1 x^2 - 4
; dom f = [1, 4]
b) f ( x ) =
x^8 - x^3 + x - 2 3 - 1
; dom f =
c) f ( x ) =
x - 1 ;^ dom f^ =^ - {1}
a) f ( x ) = (^) x - 1 ; dom f = [1, + ∞)
- Si f es una función de variable real cuya regla de correspondencia está
definida por f ( x ) =
4 - x^2 x^2 + 6 x - 7
, un dominio de f es:
a) [- 2 , 2 ] b) [- 7 , - 2 ] ∪ [1, 2 ] c) [- 2 , 1) ∪ (1, 2 ] d) (- 2 , 1 ] ∪ [- 1 , 2) e) (- 2 , 2)C
- Sea h una función de variable real cuya regla de correspondencia es:
h ( x )= x^ -^4 + | 3 x^ -^5 |. Un conjunto que puede ser dominio de esta función es:
a) (^9) , 9 8 4
b) (^1) , 9 2 4
c) (^1) , 9
C 2 4
d) (^0) , 9 4
e) (^1) , 9 2 4
- Empleando una tabla de valores, grafique las siguientes funciones de variable real para el dominio dado. Identifique los ejes y las divisiones utilizadas.
a) f ( x )= x^2 ; x ≥ 0
b) g ( x )= - x ; x ≤ 0
c) h ( x )= x^3 - 2 ; x ∈
d) r ( x ) = 2 x - 1
; x ∈ - { 1 }
e) m ( x )= 2 x + 2 ; x ∈
f) g ( x )= 4 - x^2 ; x ∈
g) f ( x )= x ; x ≥ 0
3.2 Representación gráfica de funciones de variable real
- Sea f una función tal que f ( x )= x^2 - x , con dominio igual a. El intervalo en x para el cual f ( x ) > 2 , es:
a) (- ∞, 0) ∪ (2,+ ∞) b) (- ∞, 1) c) (2, 1)
d) (-∞, - 1) ∪ [2, + ∞) e) - [-1, 2]
- Utilice el criterio de la recta vertical para determinar si las gráficas dadas corresponden a una función o no. En cada caso se especifica el dominio de la relación.
x ≥ 0
y
x
(I)
x ≥ 0
(II)
y
x
- Para la función f de variable real, tal que f ( x ) =
3 x + 4 2 x - 1
∀ x ≠ 1 / 2 , bosqueje una gráfica para f e identifique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera: a) f es estrictamente creciente en todo su dominio. b) f contiene el punto (1, - 6). c) f es una función impar. d) f es una función inyectiva. e) f es una función par.
3.4 Asíntotas de la gráfica de una función de variable real
- Demostrar que la función g : 1 2
,∞ → definida por la regla de correspondencia:
g ( x ) = x^2 - x + 1 , es estrictamente creciente.
- Demostrar que la función de variable real f ( x ) = kx + b es estrictamente creciente para k > 0 y estrictamente decreciente para k < 0.
- La gráfica de la función de variable real f ( x ) =
3 x^3 + 2 x^2 + 5 x^2 - 4
tiene dos
asíntotas verticales.
a)Verdadero b) Falso
- La gráfica de la función de variable real g ( x ) =
12 x - 3 9 x^2 - 4
tiene una asíntota horizontal y dos verticales.
a) Verdadero b) Falso
- Si f es una función de en impar estrictamente creciente y g es una
función tal que g ( x ) = f ( x ), entonces el valor de
2 g (4) + 3 f (4)
es:
a) 5 / 3 b) - 5 / 2 c) - 5 / 3 d) 1 e) - 1
- Analizar si la función dada en cada literal es par o impar:
d) j ( x ) = | 2 - x | - | x + 2 | e) f (1- x ) = x + 2 f) h ( x ) = x^2 - | x |
a) f ( x ) = 5 x + x^3 b) g ( x ) = | x | + 1 c) h ( x ) = |- x | - x^2
- Sea f una función de en. Si se definen las funciones g y h , tales que:
g ( x ) =
f ( x ) + f (- x ) y h ( x ) =
f ( x ) - f (- x )
2 2
, es falso que:
a) ∀ x ∈ [ g ( x ) = h (- x )] b) h es impar c) f ( a ) = g (- a )- h (- a )
d) g es par e) - g es par
- Sea f una función de variable real dada por f ( x ) =^4 x
(^2) - x
x^2 - 1
, es falso que:
a) La gráfica de f tiene dos asíntotas verticales. b) f es monótona creciente. c) La gráfica de f tiene una asíntota horizontal. d) y = 4 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. e) La gráfica de f interseca el eje X es dos puntos.
- Sea g una función de variable real tal que g ( x ) =
x^2 + 1
, es falso que:
a) g es una función par. b) y (^) = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de g. c) La gráfica de g tiene una asíntota horizontal y dos verticales. d) El rango de g es el intervalo (0, 1 ]. e) El dominio de g son todos los reales.
- Para cada una de las siguientes funciones, determine las asíntotas horizontales y verticales de sus gráficas si hubieren; además, determine los puntos de intersección con los ejes coordenados:
e) (^) j ( x ) =
x 1 - x^2
f) k ( x ) =
x^3 x^2 - 4
d) i ( x ) =
2 x^2 9 - x^2
a) (^) f ( x ) =
x^2 - 1 x^2 + 7 x - 8
b) (^) g ( x ) =
x^2 + 1
c) h ( x ) =
x^2 - 3 x + 2 x^2 + 1
- Sea h una función de variable real tal que h ( x ) = 2 x x^2 + x - 2
, es verdad que:
a) La gráfica de h no tiene asíntotas horizontales. b) La gráfica de h tiene dos asíntotas horizontales. c) x (^) = 2 y x (^) = - 1 son asíntotas verticales de la gráfica de h. d) La gráfica de h tiene dos asíntotas verticales y una horizontal. e) x (^) = - 2 y x (^) = 1 son asíntotas verticales y y (^) = 2 es asíntota horizontal de la gráfica de h.
- Determinar a , b y c ∈ para que la función de variable real f ( x ) =
a
tenga la siguiente gráfica: x^2 +^ bx^ +^ c y
x 0 2 4 6 8 10 12 14
0
2
4
6
8
- 14 - 12 - 10 - 8 - 6 - 4 - 2
- Si f y g son funciones de en tal que g ( x ) = f (| x |), entonces la gráfica de g es simétrica con respecto al eje Y.
a) Verdadero b) Falso
- Considere la función h de variable real definida por
4 + 2 x ;^ - 2 ≤ x ≤ 0 4 - 2 x ;^0 < x ≤ 2 0 ; (^) | x | > 2
.
Entonces, el valor de
h (-3)+ h (0)- h (5)+ h -
5 π 2 h (1)+ h (-1)- h (π)+ h (- e )
es 1.
a) Verdadero b) Falso
- Sea una función f : → , tal que: f ( x )=
| x | - 4 ;^ | x | ≤ 6 2 ; (^) | x | > 6 , una de las
siguientes proposiciones es falsa, identifíquela.
a) f es par. b) [0, 2]⊆ rg f c) ∃ x ∈ , f ( x ) = - 5
d) ∀ x 1 , x 2 ∈(-∞,0], [ x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 )] e) f es acotada.
- Sean f y g funciones de variable real, tales que:
f ( x )=
2 x - 1 ;^ x ≥ 2 x^2 + 3 ;^ x ∈(-∞, 2) g ( x )=
3 ;^ x ≥ 2 1 - x ;^ x ∈(0, 2) 4 x ; (^) x ∈(-∞, 0]
a) Determine el rango de f. b) Determine el rango de g.
3.6 Funciones definidas por tramos
33.Si f es una función de en , tal que f ( x ) =
7 ;^ x < - 4 3 - x ;^ - 4 ≤ x ≤ 4
, entonces es verdad que:
a) f es una función par. b) f es una función creciente. c) f es una función inyectiva.
d) f es una función sobreyectiva. e) rg f = [- 1 , 7]
- Respecto a la gráfica de la función y = f ( x ) que se adjunta, grafique:
a) y (^) = f ( x +1)- 1 b) y (^) = - 2 f (3- x ) c) y (^) = | f (2 x - 4)|- 2 d) y (^) = | f (-| x |)| e) y (^) = 1 - 2 f (| x |)
y = f ( x )
1
x
y
- Si la gráfica de una función f de en con regla de correspondencia f ( x ) = - x , se la desplaza dos unidades hacia arriba, dos unidades hacia la izquierda y luego se la refleja con respecto al eje X , obteniéndose una función g , entonces g (0) = - 2.
a) Verdadero b) Falso
- (Aplicación a la administración). El costo “ C ” en dólares australianos ( AUD ) del alquiler de un Bungalow por n semanas, está dado por la función lineal C ( n ) = nr + s , donde s es el depósito de garantía (costo fijo) y r es el monto del alquiler semanal (costo variable). Jenny alquiló el Bungalow por 12 semanas y pagó en total 2 925 AUD. Yolanda alquiló el mismo Bungalow por 20 semanas y pagó en total 4 525 AUD. Determine los valores de:
a) El alquiler semanal. b) El depósito de garantía.
3.7 Funciones lineales
- (Aplicación a la vida diaria). En la ciudad de Guayaquil existían 1 420 médicos trabajando al 1 de enero de 1994. Después de n años, el número de médicos D que trabajan en la ciudad, viene dado por: D ( n ) = 1 420 + 100 n
a) ¿Cuántos médicos trabajaban en la ciudad a comienzos del año 2004? b) ¿En qué año hubo por primera vez más de 2 000 médicos trabajando en la ciudad?
- (Aplicación a la economía). Una compañía tiene costos fijos de $2 500 y los costos totales por producir 200 unidades son de $3 300. Cada artículo se vende a $5. 25. a) Suponiendo linealidad, escriba la ecuación de costos. b) Suponiendo linealidad, escriba la ecuación de ingreso ( I = px ). c) Grafique costo e ingreso en un mismo sistema de coordenadas con escalas adecuadas. El punto de intersección se lo denomina punto de equilibrio de mercado, determínelo algebraicamente. d) ¿Cuántas unidades deberán venderse y producirse, de modo que resulte una utilidad de $200? (U = Ingreso - Costo).
- (Aplicación a la economía). El costo de producir x artículos está dado por yc = 2. 8 x + 600.
a) Determine algebraicamente el punto de equilibrio ( I = C ) si cada artículo se vende a $4. b) Graficar la función costo e ingreso en un mismo plano cartesiano, identifique el punto de intersección (punto de equilibrio). c) Si se sabe que al menos 450 unidades se venderán, ¿cuál debe ser el precio de cada artículo para garantizar que no exista pérdidas?
- Si cae un objeto al suelo en Júpiter desde una altura de 25 metros, la altura H (en metros) a la que se encuentra del suelo después de x segundos es H ( x )=25 - 16 x^2. Entonces, el objeto golpea el suelo a los 1. 25 segundos.
a) Verdadero b) Falso
- Dada la función cuadrática f : → , f ( x ) = ax^2 + bx + c ; a , b , c ∈ , a ≠0, b^2 - 4 ac > 0 , una condición necesaria y suficiente para que el producto de sus raíces sea igual a la suma de las mismas es que:
a) a = b b) b = - c c) a = c d) b = c e) c = - a
- Dada la función g : → , tal que g ( x )= x^2 + bx + 1 , b ∈ , identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa:
a) dom g = (- ∞,+ ∞)
b) ( b^2 < 4) → (∀ x ∈ , g ( x ) ≠ 0)
c) 2 - b
2 4
∈ rg g
d) rg g = 1 -
b^2 4
e) g es sobreyectiva.
- Si f es una función de variable real, tal que f ( x ) = | 2 x^2 - 3 x + 1 | - 2 , entonces es verdad que:
a) ∀ x ∈ 1 2
, ∞ , f es creciente.
b) f es simétrica respecto a x =3/ 4.
c) f es par.
d) f (1) + f^1 2
e) ∀ x ∈(- ∞, 1), f es decreciente.
- Si f es una función de en , tal que f ( x ) = x^2 + x , entonces es verdad que:
d) f decrece en (- ∞,-1) e) ∀ x ∈ , f es creciente.
a) f es par. b) f es inyectiva. c) rg f = [0, + ∞)
3.8 Funciones cuadráticas
- En la figura aparece parte de la gráfica de y = a ( x - h )^2 + k. La gráfica tiene su vértice en P , y contiene el punto A (1, 0). Entonces es verdad que:
d) a + h + k = - 1 / 2 e) h + k - a = 0
a) h + k = 3 b) a = 1/ 2 c) a + h = - 3 / 2
- La figura a continuación muestra parte de la gráfica de una función cuadrática y = ax^2 + bx + c.
a) Determine el valor de c. b) Determine el valor de a. c) Escriba la función cuadrática descompuesta en factores.
y
x
2
1
1 2 3
P
A
y
x
8
6
4
2
- Si f es una función de en ,tal que f ( x ) = 2 x^2 + x + k , entonces los valores de k para que la gráfica de f no interseque al eje X , son:
a) {2} b) (8, + ∞) c) (1/8, + ∞) d) {1/8} e) (- ∞, 0)
- El siguiente diagrama muestra parte de la gráfica de una función cuadrática g , que se define por g ( x ) = a ( x - h )^2 + 3.
Determine el valor de:
a) h b) a
- El siguiente diagrama muestra parte de la gráfica de una función cuadrática f ( x ) = x^2 + bx + c , que interseca el eje X en: x = 2 y x = 3.
Determine el valor de: a) b b) c
y
x
6
y = g ( x )
5
4
3
2
1
2 3 4 5
y
x
y = f ( x )
5
4
3
2
1
2 3 4 5
- La demanda para los bienes producidos por una industria están dados por la ecuación p^2 + x^2 = 169, donde p es el precio unitario y x es la cantidad demandada. La oferta está dada por p = x + 7. El precio de equilibrio es:
a) 5 b) 12 c) 22 d) 19 e) 17
- Un objeto que se lanza hacia arriba llega a una altura de h metros pasados t segundos, donde h ( t ) = 30 t - 5 t^2. a) ¿Después de cuántos segundos alcanza el objeto su altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?
- Una compañía puede vender a $100 por unidad un artículo de primera necesidad que elabora. Si se producen x unidades al día, el número de dólares en el costo de la producción diaria es x^2 + 20 x + 700.
a) Exprese el ingreso como una función de x. b) Exprese la utilidad como una función de x. c) Encuentre la ganancia máxima y cuántas unidades deben producirse al día para que la empresa obtenga esta ganancia.
- El costo de producir un texto de matemáticas para cierto nivel es de $15 y se vende después por $ x. Si se vende un total de (100000 - 4000 x ) libros: a) Determine una expresión para el beneficio (utilidad) obtenido por todos los libros vendidos. b) A partir de lo anterior, calcule el valor de x que produce un beneficio máximo. c) Calcule el número de libros vendidos para producir este beneficio máximo.
Longitud (metros) Anchura (metros) Área ( m^2 )
1 11 11 a 10 b 3 c 27 4 d e
b) Si el perímetro del rectángulo es fijo y el área es A en m^2 , exprese A en función de la longitud x del rectángulo.
c) ¿Qué longitud y anchura tiene el rectángulo si el área es máxima?
- El perímetro de un rectángulo tiene 24 metros.
a) La tabla muestra algunas dimensiones posibles del rectángulo. Determine los valores de a, b, c, d y e.
- Miriam desea enviar un paquete a Madrid desde la oficina de correos. Tiene dos opciones. La Opción A contiene un cargo fijo por enviar el paquete, más un costo que depende del peso del paquete. Estos cargos se expresan por la ecuación A( x ) = 6 + 3 x , donde x es el peso del paquete en kg , y A es el costo total de enviar el paquete expresado en $ (dólares USA).
- Sean las funciones f ( x )=
2( x - 3) ;^ x ≤ 3 ( x - 2)^2 ;^ x > 3
y g ( x ) = 1 - 2 x ; x ≤ 0 , determine
la regla de correspondencia de f o g.
- El rango de la función f : → con regla de correspondencia: f ( x ) = - x es el conjunto de los números enteros.
a) Verdadero b) Falso
3.10 Funciones especiales
- Sean las funciones de variable real definidas por:
, Determine f o g o h.
f ( x ) = x
g ( x ) = x^2
h ( x ) = x - 1
- Dada ( f o g )( x ) = x^2 + 2 x + 6 y f (0) = 9 , determine la regla de correspondencia de g si:
a) g ( x ) = x - k siendo k ∈. b) g ( x ) = x - k siendo k ∈ -.
- Si f es una función de en y g es una función par de en , entonces la función f o g es par.
a) Verdadero b) Falso
- Sean f y g dos funciones de variable real, tales que:
f ( x ) =
0 ; (^) x < 0 x + 1 ;^ x ≥ 0 y^ g^ ( x ) =^ x
(^2) - 1 , x ∈.
Entonces la regla de correspondencia de la función g o f es:
c)
1 ;^ x < 0 x^2 + 2 x ;^ x ≥ 0
a)
1 ;^ x < 0 x^2 - 2 x ;^ x ≥ 0 d)^
- 1 ;^ x < 0 x^2 - x ;^ x ≥ 0
b)
- 1 ;^ x < 0 x^2 + 2 x ;^ x ≥ 0 e)^
0 ;^ x < 0 x^2 - 2 x ;^ x ≥ 0
a) ¿De cuánto es el cargo fijo por enviar un paquete según la Opción A? b) ¿Cuánto costaría enviar un paquete que pesa 2.4 kg según la Opción A? c) El costo de la Opción B se muestra parcialmente en la siguiente gráfica.
El peso en kg está representado por la variable x.
d) Determine la regla de correspondencia que exprese el costo para x ≥ 0 de la Opción B. e) Determine el costo de enviar un paquete que pesa 1. 6 kg usando la Opción B. f) Si a Miriam le costó $22. 50 enviar por correo un paquete usando la Opción A , ¿cuánto pesaba este paquete? g) ¿Cuánto le costaría enviar por correo este mismo paquete con la Opción B? h) Determine un peso ( x entero distinto de cero) para el cual el costo de ambas opciones sea el mismo. Determine este costo.
Para pesos mayores de 1 kg , el costo se sigue incrementando en intervalos de $2, siguiendo el mismo modelo que para pesos inferiores. Defina B ( x ) para pesos entre 2 y 3 kg , escribiendo su respuesta según el esquema a continuación:
La función B ( x ) puede definirse para valores de x entre 0 y 1 kg como sigue:
B ( x ) =
2 para 0 ≤ x < 0. 4 para 0.5 ≤ x < 1
B ( x ) =
... para ... ... para ...
B ( x ) 8
Costo en $
6
4
2
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.
- Sea h una función de variable real con regla de correspondencia h ( x ) = | x - 2 | - | x | + 2 , entonces es verdad que: a) h ( x ) = 4 si x ≥ 2. b) Si x < 0 , entonces h ( x ) = 0. c) Si 0 ≤ x < 2 , entonces 0 < h ( x ) ≤ 4. d) Si x < 0 , entonces h ( x ) = 4 - 2 x. e) Si x < 2 , entonces h ( x ) = 4.
3.11 Función inversa de una función biyectiva
- Si una función f tiene inversa y su gráfica se encuentran en el primer cuadrante, la gráfica de f -^1 estará en el primer cuadrante también. a) Verdadero b) Falso
f) f ( x ) = [2 - sgn ( x )] + x^2
g) f ( x ) =
x^2 - 1
h) f ( x ) = x + x
y
x
3 2 1 0 y x
- La siguiente es la gráfica de una función f : → (- ∞, 0) biyectiva y su inversa f -^1. a) Verdadero b) Falso
y = x
y
x
2
y = f -^1 ( x ) 1
1 2 3 4
- Si f es una función inversible tal que f -^1 ( a ) = 2, entonces f (2) = a. a) Verdadero b) Falso
- Si f ( x ) = x^2 - 4 x - 3 , x ∈(-∞, 2] es la regla de correspondencia de una función inversible, entonces la regla de correspondencia de la inversa de f es:
a) f -^1 ( x ) = 2 + 7 - x ; x ≥ - 7 b) f -^1 ( x ) = 2 - 7 + x ; x ≥ - 7 c) f -^1 ( x ) = 2 + 7 + x ; x ≥ - 7
d) f -^1 ( x ) = 2 - 7 - x ; x ≥ - 7 e) f -^1 ( x ) = 2 - 7 + x ; x ≤ - 7
- Sean f y g dos funciones de variable real, tales que:
f ( x ) =
x ;^ x^ ≠^0 y^ g ( x ) =^ x
(^2).
a) Determine f -^1. ¿Cuál es la relación con la función f? b) Determine f -^1 o g. Determine si es par o impar. c) Determine A p ( x ) si p ( x ): ( f -^1 o g ) ( x ) = x.
- Sean f y g funciones de variable real, tales que:
f ( x ) = 4( x - 1) y g ( x ) = 6 -^ x 2
a) Determine g -^1. b) Resuelva la ecuación ( f -^1 o g )( x ) = 4.
- Sean f ( x ) = 2 x + 1 ; g ( x ) = 3 x - 4 ; h ( x ) =
x ,^ x^ ≠^0 y^ r ( x ) =^ x
(^2).
a) Demuestre que f y h son inyectivas. b) Demuestre la regla de correspondencia de f -^1. c) Grafique f y f -^1 en el mismo plano. d) Demuestre ( g o f )(-2). e) Demuestre la regla de correspondencia de ( f o g )( x ). f) Demuestre la regla de correspondencia de h -^1. g) Grafique g y h -^1 en el mismo plano. h) Demuestre la regla de correspondencia de ( h -^1 o r )( x ). i) Demuestre el conjunto de verdad del predicado p ( x ): ( h -^1 o r )( x ) = 1/ 2.
- Si f es una función cuyo dominio es el intervalo [5, + ∞) y su regla de
correspondencia es f ( x ) = x - 5 - 5 , entonces el dominio de f -^1 es:
a) [5, + ∞) b) (5, + ∞) c) [-5, + ∞) d) [-5, 0] e) [-5, 5) ∪ (5, + ∞)
- La gráfica de la función f ( x ) =
ax^2 - 1
con dominio (1, + ∞), contiene al
punto (^) 2, 1 3
. Determine:
a) El valor de a. b) La regla de correspondencia de f -^1. c) La función recíproca 1 / f. d) La función f o(1/ f ).
- Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5 } y la función f : A→A, definida por: f (^) = {(1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 3), (5, 5)}. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) f o f es inyectiva. b) ( f o f )o f = f. c) f es inyectiva.
d) f o f es una función sobreyectiva. e) f = f -^1
