Las variables aleatorias, Apuntes de Estadística

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ESTADÍSTICA II

VARIABLES

ALEATORIAS

JULIA DE HARO GARCÍA

1.1.- CONCEPTO Y TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS1.2.- FUNCIÓN DE DENSIDAD1.3.- FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN1.4.- CARACTERÍSTICAS DE LA VARIABLE ALEATORIA 1

.

5

.

-

VARIABLES

ALEATORIAS

BIDIMENSIONALES

TEMA 1. VARIABLES ALEATORIAS

1

.

5

.

-

VARIABLES

ALEATORIAS

BIDIMENSIONALES

1.5.1.-

DISTRIBUCIÓN CONJUNTA

1.5.2.-

DISTRIBUCIONES

MARGINALES.

INDEPENDENCIA

ESTOCÁSTICA

1.5.3.-

CARACTERÍSTICAS

DE

ALGUNAS

VARIABLES

ASOCIADAS A UNA DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL

Ejemplo:

Supongamos un experimento aleatorio que consiste

en lanzar dos monedas al aire, designamos con

C

la aparición de

cara

y con

F

la aparición de

cruz.

Los resultados del espacio muestral son:

E=

{

CC,

CF,

FC,

FF

}

CONCEPTO Y TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS

E=

{

CC,

CF,

FC,

FF

}

si definimos la variable aleatoria

X

como

el número

de caras

que aparecen

al lanzar las dos monedas,

podemos establecer la siguiente correspondenciaentre

los

sucesos

del

espacio

muestral

y

los

valores posibles de la variable aleatoria X.

J. DE HARO

SUCESOSSUCESOSSUCESOSSUCESOS

AAAA

1111

= CC= CC= CC= CC

AAAA

2222

= CF= CF= CF= CF

AAAA

= FC= FC= FC= FC

ALEATORIAALEATORIAALEATORIAALEATORIA VARIABLEVARIABLEVARIABLEVARIABLE

X (

A

ALEATORIA VARIABLE VALORES ALEATORIA VARIABLE VALORES

ALEATORIA VARIABLE VALORES ALEATORIA VARIABLE VALORES

X( A

1

)=X(CC)=

CONCEPTO Y TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS

J. DE HARO

SUCESOSSUCESOSSUCESOSSUCESOS

AAAA

3333

= FC= FC= FC= FC

AAAA

4444

== F==

F

F

FF

F

F

F

ALEATORIAALEATORIAALEATORIAALEATORIA VARIABLEVARIABLEVARIABLEVARIABLE

X (

A

i

nº de caras

ALEATORIA VARIABLE VALORES ALEATORIA VARIABLE VALORES

ALEATORIA VARIABLE VALORES ALEATORIA VARIABLE VALORES

1

X(A

2

)= X(CF)= 1

X( A

3

)= X(FC)=

X( A

4

)=X(FF)= 0

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. FUNCIÓNDE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN

Definición

Se dice que una variable aleatoria es

discreta

v

a

d

si

sólo

puede

tomar

un

número

finito

de

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

v

a

d

si

sólo

puede

tomar

un

número

finito

de

puntos

o

valores,

ó

un

número

infinito

pero

numerable.

X toma los valores

x = x

1

, x

2

, x

3

,……

En general,

x

i

,

i=1,2,3,…..

Si toma un número finito de valores

se indica

así

x = x

1

, x

2

,……, x

n

i=1,2,…, n

J. DE HARO

Ejemplos

de variables discretas son: número de

piezas defectuosas que aparecen en un procesode fabricación; número de llamadas telefónicasrecibidas

en

una

centralita

en

un

intervalo

de

tiempo

;

lanzar

dos

monedas

una

vez

y

ver

el

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

tiempo

;

lanzar

dos

monedas

una

vez

y

ver

el

número de caras que aparecen etc.

Infinito pero numerable sería ver el número de

caras que aparecen al lanzar una moneda infinitasveces, etc.

J. DE HARO

f(x)=P(X=x)

si

f(x)=P(X=x)

si

f(x)=P(X=x)

si

f(x)=P(X=x)

si

f(x)

≥

∀

x = x

1

, x

2

; o

f(x

i

≥

i=1,2,3,….

FUNCIÓN DE DENSIDAD PARA v.a.d. DEFINICIÓN

J. DE HARO

Al ser una probabilidad:

0

≤

f(x)

≤

1

2.-

∑

x

x

f

)

(

= 1

Su representación gráfica

es

un diagrama de barras.

Función de distribución de una v.a.d. Propiedades También se le llama función acumulativa y es análogaa la distribución acumulada de frecuencias usada enEstadística Descriptiva, sólo que aquí se acumulanprobabilidades. Se define como

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

indica

la

probabilidad

acumulada

hasta

un

valor

concreto,

x,

de

la

v.a,

X

o

lo

que

es

igual:

la

probabilidad de que X sea menor o igual a un valorespecífico x.

J. DE HARO

F(x)=P(X

≤

x)=

∑

≤

x

i

x

i

x

f

)

(

i=1,2,3,….

5.5.5.5.-

• -- Su representación gráfica es un diagrama

Su representación gráfica es un diagrama

Su representación gráfica es un diagrama Su representación gráfica es un diagrama

en escalera.en escalera.en escalera.en escalera.

Es

una

función

no

decreciente

en

forma

de

escalera

(diagrama

en

escalera)

de

manera

que

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

escalera

(diagrama

en

escalera)

de

manera

que

para X=x

i

produce un salto de cuantía f(x

i

), tal

que F(x) es continua por la derecha y discontinuapor la izquierda.

J. DE HARO

Ejercicio:

Represente gráficamente la función de probabilidad

f(x) y la función de distribución F(x) de una variable

aleatoria

discreta definida como:

X = Número en la cara de un dado.

X

tiene como posibles valores

x

= 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con

probabilidad 1/

1 6

1

F(x)

0

1

x

f(x)

1

0

x

6

6

Función de probabilidad, f(x)

Función de distribución, F(x)

Solución:

X: número de caras.

X=0,1,2,

E = {ccc, cc+, c+c, c++, +cc, +c+, ++c, +++}

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Según la regla de Laplace podemos asignar las

probabilidades:

P(X=0)= 1/

P(X=1)=3/

P(X=2)=3/

P(X=3)=1/

J. DE HARO

a)

La función de cuantía f(x) viene dada por:

f(0)=1/

para x=

f(

para

x=

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

f(

para

x=

f(x) = P(X=x)=

f(2)= 3/8 para x=2f(3)=1/

para x=

J. DE HARO

∑

x

x

f

f(x)

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

x<

0

≤

x<

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

F(x) = P(XF(x) = P(XF(x) = P(XF(x) = P(X

x x

x x) =

J. DE HARO

≤

0

x<

≤

x<

≤

x<

3

≤

x

C)

P(X

≥

2) = f(2) +f(3)=4/8=1/

P(X

≥

2)=1-P(X<2)=

=1-F(1)=1-4/8= 4/8=1/

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

J. DE HARO

P[(X=1)

∪

(X=2)]= incomp

atibles

= P(X=1) + P(X=2) = f(1)+f(2)