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Bibliografía: Estadística Aplicada, Julián de la Horra Navarro; Díaz de Santos (2003)
3.1. Introducción:
Tenemos un experimento aleatorio ξ K {“3 lanzamientos de moneda”}; ω 1 ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 Espacio muestral: Ω = {(c,c,c),(c,c,x),(c,x,c),(x,c,c),(x,x,c),(x,c,x),(c,x,x),(x,x,x)} card (Ω) = 2^3 = 8 P({ω 1 }) = P({ω 2 }) = ... = P({ω 8 }) = 1/8, son sucesos equiprobables
Transformamos Ω por medio de una función X que a cada suceso le asigna un número real, una imagen.
X : Ω
ω X(ω)
En nuestro ejemplo podemos considerar el nnúmero de caras:
ω 1 X(ω 1 ) = 3 ω 2 X(ω 2 ) = 2 ω 3 X(ω 3 ) = 2 ω 4 X(ω 4 ) = 1 ω 5 X(ω 5 ) = 2 ω 6 X(ω 6 ) = 1 ω 7 X(ω 7 ) = 1 ω 8 X(ω 8 ) = 0
X = “nº de caras en 3 lanzamientos de moneda”
Llamamos variable aleatoria a una medición con respecto a un experimento aleatorio. Ahora nos olvidamos del espacio muestral y nos preocupamos de la probabilidad de las imágenes. Ahora Ω se transforma en un espacio muestral contenido en , el espacio muestral es {0, 1, 2, 3} B
Queremos asignar una probabilidad a cada valor {0, 1, 2, 3}, lo denotamos por PX ({0, 1, 2, 3}, PX) PX ({0}) = P({ω 8 }) = 1/ PX ({1}) = P({ω 4 }) + P({ω 6 }) + P({ω 7 }) = 3/ PX ({2}) = P({ω 2 }) + P({ω 3 }) + P({ω 5 }) = 3/ PX ({3}) = P({ω 1 }) = 1/
Si tengo X = nº de caras en n lanzamientos de moneda. card(Ω) = 2n^ elementos del espacio muestral 2 n^ sucesos elementales con prob = 1/2n Y sabemos las imágenes de la variable aleatoria xq sabemos que saldrán de 0 a n caras, así nos podemos olvidar del espacio muestral de partida y nos centramos en los n valores posibles de imagen, a los que tenemos que dar una probabilidad. Espacio de imágenes = {0, 1, 2, 3, ..., n} ({0, 1, 2, ..., n}, PX) PX ({0}) = 1/2n PX ({1}) = ... PX ({n}) = 1/2n
Ahora tenemos para cada suceso del espacio muestral una imagen
Se dan clases particulares de IP FC EDI POO ATC y Estadística 686810826 (Garci) [email protected]
Antes: PX ({1}) = 3/8 = · (1/2)^1 · (1/2)^2 Probabilidad de 2 cruces Probabilidad de 2 caras Un lugar de un total de 3
Si hago n lanzamientos: PX ({k}) = · (1/2)k^ · (1/2)n-k Quiero n-k cruces Quiero k lugares con cara k posiciones de n en total
Si la moneda está trucada => p(c) = p , p(x) = 1 – p
PX ({k}) = · (p)k^ · (1-p)n-k
Para que esté bien definida tiene que verificarse:
Σk=0n^ (p)k(1-p)n-k^ =¿?^1
Si se cumple, ya que esta es la expresión para el binomio de Newton:
(α + β)n^ = Σk=0n^ (α)k(β)n-k^ , que si sustituimos en la primera expresión por p y 1-p => => (p + 1 – p)n^ = 1n^ = 1 Toda probabilidad que tenga esta forma la llamaremos binomial. Es una variable aleatoria binomial.
Función de masa: para una variable aleatoria la función de masa recoge la probabilidad de todos y cada uno de los valores que toma esa variable. En el ejemplo anterior: PX ({k}) = · (p)k^ · (1-p)n-k^8 HVODIXQFLyQGHPDVD
(ξ, Ω, P) X : Ω ω X(ω)
A B => PX(A) = P(X-1(A)) = P(ω tq X(ω) ∈ A)
PX(A) es la probabilidad inducida por la variable aleatoria X ( ,PX) es el espacio de probabilidad inducido por la variable aleatoria X
3 1 k n k n n k n k k n
Definición: Función de Distribución asociada a una variable aleatoria X: FX FX : x FX (x) = PX (-.,x]
punto que fijamos probabilidad del intervalo (-.,x]
Ejemplo: X K “número de caras en 3 lanzamientos de moneda”
PX({0}) = 1/8 Que también podríamos definir como: PX({1}) = 3/ PX({2}) = 3/8 PX({ω}) = PX({3}) = 1/
Por ejemplo, vemos el valor de esta función en 1/2: FX(1/2) = PX(-., ½] = PX({0}) = 1/
0 si x < 0 solo puede haber 0 caras 1/8 si 0 t x < 1 FX(x) = 4/8 si 1 t x < 2 Ejemplos:
7/8 si 2 t x < 3 FX (3.1) = PX (-.,3.1] = 1 1 si 3 t x FX (2.7) = PX (-.,2.7] = 7/
Si tengo n monedas:
Pk = PX({k}) = · pk^ (1 – p)n-k k = 0, 1, 2, 3 ...
0 si x < 0 p 0 si 0 t x < 1 p 0 + p 1 si 1 t x < 2 FX(x) = p 0 + p 1 + p 2 si 2 t x < 3 ... p 0 + p 1 + ... + pk si k t x < k+ 1 si n t x
Hay otras funciones que no valen 1 hasta el infinito, por ejemplo la función del ejemplo de las flores, donde: PX({k}) = p (1 – p)k, (^) k = 0, 1, 2, 3 ...
Todas las gráficas de las variables aleatorias discretas tienen la misma pinta:
Esto se parece mucho al histograma de frecuencias. Lo que hacemos en el análisis de datos es acercarnos al modelo teórico, que es el comportamiento real.
1/8 si ω = 0, ω = 3 3/8 si ω = 1, ω = 2
n k
A partir de la función de distribución podemos saber la probabilidad de la variable aleatoria en cada punto o intervalo, por ejemplo: Si me preguntan PX(a,b] = ¿? (a,b] = (-.,b] – (-.,a] PX(a,b] = PX(-.,b] - PX(-.,a] = FX(b) - FX(a)
En cambio, si me preguntan la probabilidad en un punto procederíamos de esta forma: PX({k}) = PX(-.,k] – limx :N-^ PX(-.,x] = PX(-.,k] - PX(-.,k) = FX(k) - FX(k - )
Si es una continua dará cero. Los puntos que tienen probabilidad no nulos son aquellos en los que la función presenta discontinuidad por la izquierda, y el valor de la probabilidad en ese punto se corresponde con la altura del salto.
Ejemplo: en el ejercicio de los 3 lanzamientos de moneda PX({2.5}) = PX(-.,2.5] – PX(-.,2.5) = 7/8 – 7/8 = 0 => es imposible que salgan 2.5 caras PX({3}) = PX(-.,3] – PX(-.,3) = 1 – 7/8 = 1/
Una variable aleatoria es continua si su función de distribución es continua. Vemos a qué variable aleatoria pertenece la función de distribución:
P (^) X(-.,x] = FX(x) =
f(x) = F’(x) =
œ-..^ f(x) dx = œ-.^0 0 dx + œ 0.^ e -x^ dx = (-e –x)x=0.^ = 1
œ-.x^ f(z) Que es la función de distribución
Así tenemos que FX(A) = (^) œA f(z) dz
Es irrelevante que ponga PX(a,b] ó PX(a,b), ya que la probabilidad de b es 0, da igual que lo incluya o no.
PX(a,b] = FX(b) – FX(a) œab^ f(z) dz = œ-.b^ f(z) dz – œ-.a^ f(z) dz
3.4. Resumen v.a. discretas / v.a. continuas:
X : Ω ω X(ω)
V.a. discreta: V.a. continua:
P(X=xk) = PX({xk}) = Pk K función de masa Σk=1.^ pk = 1
A B => PX(A) = Σx (^) k ∈ A pk ∀ x ∈ => FX(x) = PX(-.,x] = Σx (^) k t x pk P(X=xk) = FX(xk) – FX(xk-)
∀ x ∈ => FX(x) = PX(-.,x] = œ-.x^ fX (z) dz œ-..^ fX(x) dx = 1 F’X(x) = fX(x) u 0 (xq es siempre monótono no decreciente) A (^) B => PX(A) = (^) œA fX (x) dx
0 si x < 0 1 – e –x^ si x u 0
0 si x < 0 e –x^ si x u 0
=x < 0 0 =x u 0 œ-.^0 0 dz + œ 0 x^ e -z^ dz = (-e –z)z=0x^ = 1 – e -x
3.7. Vectores aleatorios:
ξ ~ (V,,P) X : Ω Y : Ω ω X(ω) ω Y(ω)
Variable aleatoria bidimensional: (X,Y) : Ω 2 ω (X(ω),Y(ω))
A B 2 => P(x,y) = P(ω t.q. (X(ω),Y(ω)) ∈ A)
Definición de probabilidad inducida en una variable bidimensional
∀ (x,y) ∈ 2 => F(X,Y)(x,y) = P(X,Y)((-.,x] (-.,y]) = P(ω t.q. X(ω) t x,Y(ω) t y)
(x,y)
