variables aleatorias, Apuntes de Estadística

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Variables aleatorias

usuales

Elisa Mª Molanes López

Universidad Complutense de Madrid

1. Introducción
2. Tipos de variables aleatorias (v.a.) Discretas Continuas
3. Función de probabilidad (para v.a. discretas)
4. Función de densidad (para v.a. continuas)
5. Función de distribución (para v.a. discretas y v.a. continuas)
6. Esperanza, varianza y percentiles de una v.a.
7. Proceso de Bernoulli v.a. de Bernoulli v.a. Binomial
8. Proceso de Poisson v.a. de Poisson v.a. Exponencial
9. Distribución Normal o Gaussiana Teorema Central del Límite Aproximación de la Binomial y la Poisson mediante la Normal

Variables aleatorias usuales

Introducción

• Asociado al espacio muestral E de un experimento aleatorio se define una v.a. como una aplicación X que asigna un número real a cada posible resultado del espacio muestral

X : E ➙ ℝ

• El conjunto de posibles valores que toma la v.a. X constituyen su rango, RX
• Ejemplo:

Asociado al experimento de lanzar una moneda 2 veces se define la v.a. X=”nº de caras obtenidas” R (^) X = {0, 1, 2}

Variables aleatorias usuales

1. Introducción
2. Tipos de variables aleatorias (v.a.) Discretas Continuas
3. Función de probabilidad (para v.a. discretas)
4. Función de densidad (para v.a. continuas)
5. Función de distribución (para v.a. discretas y v.a. continuas)
6. Esperanza, varianza y percentiles de una v.a.
7. Proceso de Bernoulli v.a. de Bernoulli v.a. Binomial
8. Proceso de Poisson v.a. de Poisson v.a. Exponencial
9. Distribución Normal o Gaussiana Teorema Central del Límite Aproximación de la Binomial y la Poisson mediante la Normal

Variables aleatorias usuales

1. Introducción
2. Tipos de variables aleatorias (v.a.) Discretas Continuas
3. Función de probabilidad (para v.a. discretas)
4. Función de densidad (para v.a. continuas)
5. Función de distribución (para v.a. discretas y v.a. continuas)
6. Esperanza, varianza y percentiles de una v.a.
7. Proceso de Bernoulli v.a. de Bernoulli v.a. Binomial
8. Proceso de Poisson v.a. de Poisson v.a. Exponencial
9. Distribución Normal o Gaussiana Teorema Central del Límite Aproximación de la Binomial y la Poisson mediante la Normal

Función de probabilidad (para v.a. discretas)

• Para que una v.a. discreta esté bien definida es necesario conocer su rango de valores RX y su función de probabilidad pX.
• Función de probabilidad de una v.a. discreta: pX (x) = Pr(X = x)
• Ejemplo: X = “nº de caras obtenidas al lanzar una moneda dos veces” RX = {0, 1, 2} pX (0) = ¼ pX (1) = ½ pX (2) = ¼ pX (x) = 0, para todo x que no esté en RX

Función de densidad (para v.a. continuas)

• Para que una v.a. continua X esté bien definida hay que conocer su rango de valores RX y su función de densidad f (^) X (x)
• La función de densidad de una v.a. continua ha de cumplir dos condiciones:

 f(x) ≥ 0 para todo x ∊ ℝ

∫ℝ f(x) d x = 1

• Con la función de densidad podremos calcular probabilidades de que una v.a. continua tome valores en un intervalo:

Pr(a < X ≤ b) = ∫(a,b] f (^) X(x ) d x

Variables aleatorias usuales

1. Introducción
2. Tipos de variables aleatorias (v.a.) Discretas Continuas
3. Función de probabilidad (para v.a. discretas)
4. Función de densidad (para v.a. continuas)
5. Función de distribución (para v.a. discretas y v.a. continuas)
6. Esperanza, varianza y percentiles de una v.a.
7. Proceso de Bernoulli v.a. de Bernoulli v.a. Binomial
8. Proceso de Poisson v.a. de Poisson v.a. Exponencial
9. Distribución Normal o Gaussiana Teorema Central del Límite Aproximación de la Binomial y la Poisson mediante la Normal

Variables aleatorias usuales

1. Introducción
2. Tipos de variables aleatorias (v.a.) Discretas Continuas
3. Función de probabilidad (para v.a. discretas)
4. Función de densidad (para v.a. continuas)
5. Función de distribución (para v.a. discretas y v.a. continuas)
6. Esperanza, varianza y percentiles de una v.a.
7. Proceso de Bernoulli v.a. de Bernoulli v.a. Binomial
8. Proceso de Poisson v.a. de Poisson v.a. Exponencial
9. Distribución Normal o Gaussiana Teorema Central del Límite Aproximación de la Binomial y la Poisson mediante la Normal

Esperanza, varianza y percentiles de una v.a.

• Esperanza de X: es la medida de centralización más utilizada y se denota por μ o E[X]
• E[X] se calcula de forma diferente según el tipo de v.a.:  Si X es discreta: μ = E[X] = ∑i x (^) i p(x (^) i)

 Si X es continua: μ = E[X] = ∫( -∞, ∞ ) x f X(x ) d x

• Varianza de X: es la medida de dispersión o variabilidad más utilizada y se denota por σ^2 o Var[X]
• Var[X] = E[(X - μ)^2 ] = E[X 2 ] - (E[X]) 2 = E[X 2 ] - μ^2
• Var[X] se calcula de forma diferente según el tipo de v.a.:  Si X es discreta: σ^2 = Var[X] = ∑i (x (^) i - μ)^2 p(x (^) i) = ∑i x (^) i^2 p(x (^) i) - (∑i x (^) i p(x (^) i))^2  Si X es continua: σ^2 = Var[X] = ∫(-∞, ∞) (x - μ)^2 f(x ) d x = ∫(-∞, ∞) x 2 f(x ) d x - (∫(-∞, ∞) x f(x ) d x )^2

Variables aleatorias usuales

1. Introducción
2. Tipos de variables aleatorias (v.a.) Discretas Continuas
3. Función de probabilidad (para v.a. discretas)
4. Función de densidad (para v.a. continuas)
5. Función de distribución (para v.a. discretas y v.a. continuas)
6. Esperanza, varianza y percentiles de una v.a.
7. Proceso de Bernoulli v.a. de Bernoulli v.a. Binomial
8. Proceso de Poisson v.a. de Poisson v.a. Exponencial
9. Distribución Normal o Gaussiana Teorema Central del Límite Aproximación de la Binomial y la Poisson mediante la Normal

Proceso de Bernoulli

• Un experimento aleatorio da lugar a un proceso de Bernoulli si se cumplen las siguientes condiciones: 1. Existen 2 resultados posibles cada vez que se realiza el experimento (éxito / fracaso) 2. Las repeticiones se realizan de manera independiente unas de otras 3. La probabilidad del éxito se mantiene constante a lo largo de las repeticiones y, como consecuencia, también la probabilidad del fracaso se mantiene constante

Proceso de Bernoulli

• Se dice que Y es una v.a. Binomial con parámetros n y p, Y ~ Bin(n,p), si se define como Y = “nº de veces que ocurre éxito en n repeticiones del experimento” y la probabilidad de éxito en cada repetición es p
• Nótese que Y = X 1 + … + X (^) n siendo X 1 , … , X (^) n n v.a. de Ber(p) independientes entre sí
• Y es una v.a. discreta ya que RY = {0, 1, … , n}, un conjunto finito
• Su función de probabilidad es pY (y) = Pr(Y=y) = ( n!/(y! (n-y)!) ) py^ (1-p)n – y^ si y = 0, 1, … , n
• Su media es E[Y] = n p
• Su varianza es Var[Y] = n p (1-p) = n p q
• Ejemplo: nº de reacciones negativas ante un fármaco administrado a 40 pacientes

Ejemplo

Un hombre y una mujer, cada uno con un gen recesivo (Azul) y uno dominante (Marrón) para el color de los ojos, son padres de 3 hijos.

¿Cuál es la función de probabilidad de la v.a. Y = “nº de hijos con ojos azules”?

Proceso de Bernoulli