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- Concepto de variable aleatoria
- (^) 2.1. FunciónVariables aleatorias discretas de probabilidad 2.2. Función 2.3. Valor esperado y varianza de distribución 1. 2. Valor esperadoVarianza y desviación típica 2.4. Juegos de azar 2.5. Relaciones entre dos variables aleatorias discretas: covarianza y correlación
- Variables aleatorias continuas 3.1. Definición 3.2. Función de densidad de probabilidad 3.3. Función de distribución 3.4. Valor esperado y varianza de 3.5. Covarianza y correlación de v.a. v.a. continuas continua
- Modelos de distribuciones de probabilidad^ 3.6. Obtención de probabilidades con^ v.a.^ continuas
Es conveniente representar los sucesos elementales resultado de los experimentos aleatorios por medio de números. En estos casos aparece la noción de variable aleatoria: Función que asigna un número real y sólo uno a cada suceso elemental del espacio muestral de un experimento aleatorio Formalmente una variable aleatoria, X, es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento aleatorio un número real. Los valores que toma la variable aleatoria X ( x) son valores numéricos que se corresponden con del experimento aleatorio resultados Sobre los resultados de un mismo experimento pueden definirse distintas variables aleatorias.
V.A. Número de puntos resultantes V.a. Obtener un múltiplo de 3
Igual que hacíamos en estadística descriptiva en los temas anteriores distinguiendo entre variables discretas y continuas, ahora hablamos de variables aleatorias discretas y continuas. Las variables aleatorias discretas se definen sobre espacios muestrales finitos o infinitos numerables (números enteros). Las variables aleatorias continuas se definen sobre espacios muestrales infinitos no numerables.
Por convención las v.a. se denotan con letras mayúsculas (X, Y, Z,….) Para referirnos a los valores que toma la v.a. lo hacemos con las correspondientes letras
minúsculas ( xi)
Para las variables discretas, nos referimos a la
probabilidad de que X tome un valor dado x como
P(X=x), que con frecuencia se simplifica a P(x) La probabilidad asociada a cada valor de la variable es la probabilidad unión de los sucesos elementales que dan lugar a ese valor (Ej. En la v.a.”Múltiplo de 3”, con valores 1(múltiplo), 0 (no múltiplo), la P(X=0) = 4/6 y P(X=1) = 2/6)
F es una función monótona creciente
Son análogas a las ya tratadas para la media en estadística descriptiva
Desviación típica
Los conceptos son similares a los que ya vimos en Estadística a propósito de la distribución conjunta de dos variables, pero en vez de hablar de frecuencias relativas, hablaremos ahora de probabilidades: ◦ Función de probabilidad conjunta ◦ Función de probabilidad marginal de X ◦ Función de probabilidad marginal de Y ◦ Función de probabilidad condicional de X dado Y=yj ◦ Función de probabilidad de Y dado X=xi También hablaremos de independencia y dependencia de v.a. Cuando las variables son cuantitativas, puede definirse su relación lineal, podemos obtener la covarianza y la correlación TODO ES IGUAL A LO QUE HEMOS VISTO EN LAS TABLAS DE CONTINGENCIA
Extraemos al azar una bola de una urna que tiene bolas rojas y blancas, todas ellas numeradas con números del 1 al 4, ambos inclusive Sobre los resultados del experimento aleatorio definimos dos variables aleatorias X e Y ◦ Variable X: X: Si la bola es Roja, X= Si la bola es blanca X= ◦ Variable Y: Número que aparece escrito en la bola extraída ◦ La frecuencia relativa de cada tipo de bola nos da las probabilidades
1 2 3 4 f(x)
1 0,10 0,20 0,15 0,20 0,
0 0,08 0,02 0,10 0,15 0,
f(y) 0,18 0,22 0,25 0,35 1,
Función de probabilidad conjunta f(xi,yj): es la probabilidad de que simultáneamente X=xi e Y=yj: Función de probabilidad marginal de X: es la función de probabilidad de X (P(X=x de Y o para todos los valores de Yi) independientemente de los valores Función de probabilidad marginal de Y:es la función de probabilidad de Y (P(Y=y de X o para todos los valores de Xj) independientemente de los valores Función de probabilidad de X condicionada a Y=yj, representa la probabilidad de que X tome valores xi dado que Y asume el valor Y=y en que Y=yj. Supone una reducción del espacio muestral al caso j.
- Función de probabilidad de Y condicionada a X=xi, representa la probabilidad de que Y tome valores yj dado que X asume el valor X=xi. Supone una reducción del espacio muestral al caso en que X=xi.
f ( xi , y (^) j ) P [( X xi ) ( Y yj )]
f ( xi | yj )
f ( yj | xi )
i j i j i j i j i j
f x y f x f y x f y f x y f x f y
Dos variables aleatorias X e Y son independientes si para todo par de valores posibles (xi,yj) se verifican las condiciones de independencia:
( | ) ( ) ( | ) ( ) ( , ) ( )* ( )
i j i j i j i j i j
f x y f x f y x f y f x y f x f y
Los valores que toma la función de probabilidad conjunta son los presentados en las casillas del interior de la tabla. Así f(1,1)=0,10, f(1,2)=0,20,…….., f(0,4) =0, Función de probabilidad marginal de X: f(1) = 0, =0,10+0,20+0,15+0,20; f(0)=0,35 = 0,08+0,02+0,10+0,15. Obsérvese que la suma de las dos probabilidades es 1 Función de probabilidad marginal de Y, adopta los siguientes valores: f(1) =0,18 = 0,10+0,08, f(2)=0,20+0,02=0,22, f(3) =0,25 = 0,15+0,10; f(4) =0,35 = 0,20+0,15. Obsérvese que la suma de las 4 probabilidades, es decir, de las asignadas a todos los valores de Y suma 1
Función de probabilidad de X condicionada a un valor de Y. Sea por ejemplo f(x|Y=4). Tendremos dos probabilidades: f(1|Y=4)=0,20/0,35=0,5714, f(0|Y=4)=0,15/0,35=0, Función de Probabilidad de Y condicionada a un valor de X. Sea por ejemplo X=1. Tendremos cuatro probabilidades para cada uno de los valores de Y: f(1|X=1)=0,10/0,65=0,1538, f(2|X=1)=0,3077, f(3|X=1)=0,15/0,65=0,2308, f(4|X=1)=.20/0,65=0,3077. Su suma es 1. Finalmente veamos si X e Y son independientes, comprobando si para todas las casillas o pares de valores la probabilidad conjunta es igual al producto de las correspondientes probabilidades marginales. Vemos que en la primera casilla 0,10≠0,65 x 0,18. Basta que no se cumpla en una de las casillas para establecer que no son independientes
Espacio discretizado en 8 sectores
Espacio continuo
1
3 5 4
6
7 2
8
(a) (^) (b) Los puntos donde se puede detener una flecha que gira representan una variable aleatoria continua (b) que puede hacerse discreta como en (a)
(a) Discreta (b) Continua
Para ver como se asocian las probabilidades a los valores de las v.a. continuas, lo aproximaremos desde las v.a. discretas, Sea una variable continua, la estatura, comenzamos discretizándola a intervalos de 10 cm.
Dividimos ahora cada uno de los intervalos anteriores en dos partes, incluyendo cada una un rango de 5 cm., como en la figura siguiente
Dividimos ahora cada una de las anteriores en otras dos, de 2,5 cm., cada una
Podríamos continuar con este proceso de partir en dos cada intervalo indefinidamente, de modo que al tender a infinito, también lo haría el número de rectángulos, tendiendo a 0 la base, como en la figura siguiente: Por este motivo no podemos hablar de función de probabilidad que asigna probabilidades a valores concretos de la variable, como en las v.a. discretas,
sino que hablamos de función de densidad de
probabilidad en torno a un valor
Discretizada en 10 intervalos
Continua
No puede obtenerse para valores discretos, dado que entre dos valores siempre se pueden encontrar otros. Pueden obtenerse probabilidades para intervalos de valores.
Se define la función de distribución acumulada
(cdf) para la variable aleatoria continua X a aquella
que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta alcance como mucho este valor y se representa como F(x), es decir:
En la mayor parte de los casos de variables
definidas sobre resultados de experimentos
aleatorios nos encontramos con variables cuya
función de probabilidad o de densidad de
probabilidad se ajusta o aproxima a modelos
concretos o conocidos y no es necesario
trabajar con las funciones anteriores
Conocer y saber utilizar estos modelos suele
ser suficiente para resolver la mayor parte de
los problemas reales.
En el tema siguiente veremos las principales
distribuciones, discretas y continuas. Algunas
tienen interés en sí mismas, como binomial,
Poisson o normal. Otras se incluyen porque
surgen en la distribución muestral de
estadísticos y son necesarias en la estadística
inferencial, como t, ji-cuadrado y F
